2. Простые числа. Разложение числа на простые множители

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители Реш еду ру

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Любое число, которое больше 1 является либо простым, либо составным. Из свойства делимости имеем, что 1 и число а всегда будут делителями для любого числа а, то есть оно будет делиться само на себя и на 1. Дадим определение целых чисел.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Простые числа: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Они делятся только сами на себя  и на 1. Составные числа: 6, 63, 121, 6697. То есть число 6 можно разложить на 2 и 3, а 63 на 1, 3, 7,9, 21, 63, а 121 на 11, 11, то есть его делители будут 1, 11, 121. Число 6697 разложится на 37 и 181. Заметим, что понятия простых чисел и взаимно простых чисел – разные понятия.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Таблица для всех существующих натуральных чисел нереальна, так как их существует бесконечное множество. Когда числа достигают размеров 10000 или 1000000000, тогда следует задуматься об использовании решета Эратосфена.

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Наименьший положительный и  отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Возьмем, что а является натуральным числом, которое больше 1, b является наименьшим отличным от единицы делителем для числа а. Следует доказать, что b является простым числом при помощи метода противного.

Допустим, что b – составное число. Отсюда имеем, что есть делитель для b, который отличен от 1 как и от b. Такой делитель обозначается как b1. Необходимо, чтобы условие 1<b1<b было выполнено.

Из условия видно, что а делится на b, b делится на b1, значит, понятие делимости  выражается таким образом: a=b·q и b=b1·q1, откуда a= b1·(q1·q), где q и q1 являются целыми числами. По правилу умножения целых чисел имеем, что произведение целых чисел – целое число с равенством вида a=b1·(q1·q). Видно, что b1 – это делитель для числа а. Неравенство 1<b1<b не соответствует, потому как получим, что b является наименьшим положительным и отличным от 1 делителем а.

Простых чисел бесконечно много.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Так как простых чисел очень много, то таблицы ограничивают числами 100, 1000, 10000 и так далее.

Решето Эратосфена

При составлении таблицы простых чисел следует учитывать то, что для такой задачи необходима последовательная проверка чисел, начиная с 2 до 100. При отсутствии делителя оно фиксируется в таблицу, если оно составное, то в таблицу не заносится.

Если начать с числа 2, то оно имеет только 2 делителя: 2 и 1, значит, его можно занести в таблицу. Также и с числом 3. Число 4 является составным, следует разложить его еще на 2 и 2. Число 5 является простым, значит, можно зафиксировать в таблице. Так выполнять вплоть до числа 100.

Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.

Теперь необходимо зачеркнуть все числа, которые кратны 2. Произвести последовательное зачеркивание. Получим таблицу вида:

Далее вычеркиваем все числа, кратные 3. Получаем таблицу вида:

Переходим к вычеркиванию чисел, кратных 5. Получим:

Вычеркиваем числа, кратные 7, 11. В конечном итоге таблица получает вид

Перейдем к формулировке теоремы.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель основного числа а не превосходит a, где a является арифметическим корнем заданного числа.

Из доказанной теоремы видно, что вычеркивание чисел в таблице приводит к тому, что необходимо начинать с числа , которое равняется b2 и удовлетворяет неравенству b2≤a. То есть, если вычеркнуть числа, кратные 2, то процесс начинается с 4, а кратных 3 – с 9 и так далее до 100.

Составление такой таблицы при помощи теоремы Эратосфена говорит о том, что при вычеркивании всех составных чисел, останутся простые, которые не превосходят n. В примере, где n=50,  у нас имеется, что n=50. Отсюда и получаем, что решето Эратосфена отсеивает все составные числа, которые по значению не больше значения корня из 50. Поиск чисел производится при помощи вычеркивания.

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Сумма цифр заданного числа равняется 9·8+9·9=9·17. Значит, число 9·17 делится на 9, исходя из признака делимости на 9. Отсюда следует, что оно составное.

Такие признаки не способны доказать простоту числа.  Если нужна проверка, следует производить другие действия. Самый подходящий способ – это перебор чисел. В течение процесса можно найти простые и составные числа. То есть числа по значению не должны превосходить a.  То есть число а необходимо разложить на простые множители. если это будет выполнено, тогда число а можно считать простым.

Теперь необходимо найти все делители для числа 11723. Необходимо оценить 11723.

Отсюда видим, что 11723<200, то 2002=40 000, а 11 723<40 000. Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200.

Для более точной оценки числа 11723 необходимо записать выражение 1082=11 664, а 1092=11 881, то 1082<11 723<1092. Отсюда следует, что 11723<109. Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

При разложении получим, что 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 – это все простые числа.  Весь данный процесс можно изобразить как деление столбиком. То есть разделить 11723 на 19. Число 19 является одним из его множителей, так как получим деление без остатка. Изобразим деление столбиком:

Отсюда следует, что 11723 является составным числом, потому как кроме себя и 1 имеет делитель 19.

Ответ: 11723 является составным числом.

Отрицательные и целые числа

Иррациональные и действительные числа

Натуральные числа

Ещё в далекие доисторические времена человек освоил такую математическую операцию, как счет. Можно было подсчитать количество соплеменников в племени или животных в стае, на которых велась охота. При этом человек ещё не осознавал понятие числа как некое отвлеченное понятие. Анализ языков народов, находящихся на самых низких стадиях развития, показывает, что они в словосочетаниях «три змеи», «три палки», «три камня» используют разные слова для числа 3. Однако со временем человек осознал, что количество предметов можно определять числом, которое не будет зависеть от природы подсчитываемых объектов. Числа, используемые для счета, сегодня называют натуральными числами. Долгое время человечество не знало никаких других чисел.

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

В качестве примера можно привести следующие натуральные числа: 1, 8, 10, 1000, 64141 и т.п. Если можно представить, что в каком-то множестве содержится N элементов, то N будет натуральным числом.

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Таким образом, можно дать ещё одно определение натуральных чисел – это числа, входящие в натуральный ряд. Традиционно ноль не является натуральным числом, ведь при подсчете предметов счет начинают с единицы. Такой подход используется в большинстве российских источников. Однако стоит отметить, что иногда в зарубежной литературе всё же предпочитают начинать натуральный ряд не с единицы, а с нуля. В этом случае 0 становится натуральным числом. Это деление весьма условно. Для обозначения множества натуральных чисел используется буква N. Очевидно, что натуральных чисел существует бесконечно много, а потому не существует наибольшего натурального числа.

Любые два натуральных числа можно складывать друг с другом и перемножать, при этом в результате будет снова получаться натуральное число. При вычитании может получиться ноль или отрицательное число, а при делении – дробное.

Все натуральные числа можно разбить на три группы:

  • простые числа;
  • единица;
  • составные числа.

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Единицу традиционно не считают ни простым, ни составным числом. Составным же называют натуральное число, делящееся не только на единицу и себя. Можно дать и другие определения, основанные на количестве делителей у числа. Так, единица имеет ровно 1 делитель. У простого числа всегда ровно 2 делителя, а у составного – 3 и более.

В качестве примера простых чисел можно привести: 2, 3, 5, 7, 31, 101, 163. Примерами составных чисел являются:

Среди делителей составного числа могут быть как другие составные, так и простые числа. Например, 50 имеет простые делители 2 и 5 и составные 10 и 25.

Заметим, что если число n делится на m, а m в свою очередь делится на k, то и n делится на k. Так, 45 делится на 9, а 9 делится на 3. Значит, и 45 делится на 3. Из этого свойства чисел вытекает следующее утверждение:

Любое составное число имеет хотя бы один простой делитель, причем им обязательно будет наименьший из всех делителей числа. Докажем это. Пусть число H – составное, и имеет наименьший делитель F. Предположим, что F – составное число. Тогда у него есть делитель L, который меньше его. Но тогда L должен быть делителем и для H. Так как L<F, и L – делитель для H, то F оказывается не наименьшим делителем. Получили противоречие, следовательно, исходное предположение (что F – составное число) неверно. Значит, F – простое число.

Получается, что для проверки простоты числа достаточно проверить, что оно не делится ни на одно простое число, меньшее себя, кроме единицы.

Существует специальный алгоритм, известный как решето Эратосфена. С его помощью можно найти все простые числа вплоть до заданного. Пусть надо найти все простые числа, не большие 30. Запишем их в ряд или, для компактности, в виде таблицы:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Первое простое число – это 2. Выделим ее, а потом зачеркнем в списке чисел все те, которые делятся на 2 (зачеркнуты синим цветом):

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Из незачеркнутых чисел (кроме 1) наименьшим является тройка. Это значит, что она является простым числом, ведь мы не нашли простых чисел, которые меньше ее и которые являются ее делителем. Выделим тройку и также зачеркнем в табличке все числа, кратные ей и не зачеркнутые ранее (зачеркнуты красным цветом):

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Продолжая процесс, можно вычеркнуть в таблице все составные числа, а останутся только простые. В рассматриваемом примере уже не удастся вычеркнуть ни одно составное число, так как они были вычеркнуты ранее:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Есть данные, что понятие простых чисел было известно во времена Древнего Египта или даже в дописьменный период истории, однако только в древнегреческих источниках содержатся первые теоремы о них. Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много.

Действительно, предположим, что существует некий конечный список из n простых чисел:

Перемножим их все, а после добавим единицу:

Получившееся число Q будет давать при делении на числа остаток, равный единице. То есть Q не будет делиться ни на одно число из первоначального списка.

Например, если есть список из простых чисел 2, 3, 5, 7, то число Q будет равно:

Q = 2•3•5•7 + 1 = 210+1 = 211.

Число 211 не делится на 2, 3, 5 и 7.

Получается, что либо число Q– простое (как раз таким является число 211), либо существует простое число, не входящее в первоначальный список (так как все составные числа имеют хоть один простой делитель). Значит, не существует такого списка, который включал бы все простые числа. Следовательно, простых чисел бесконечно много

Существует важное утверждение, которое называют основной теоремой арифметики:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Проиллюстрируем это на примере. Возьмем число 220. Оно является составным, так как делится на 2. Поэтому его можно представить в виде:

220 = 2•110.

В свою очередь число 110 также является составным, так как делится на 2. Значит, его можно разложить:

110 = 2•55.

Тогда и изначальное число 220 можно представить в виде:

220 = 2•110 = 2•2•55.

Продолжая раскладывать множители, можно получить запись:

220 = 2•110 = 2•2•55 = 2•2•5•11.

Теперь в правой части стоят только простые числа 2 (два раза), 5 и 11. Разложение можно представить в виде рисунка:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Основная теорема арифметики утверждает, что таким образом на простые множители можно разложить любое составное число. Действительно, если число составное, то его можно разложить на произведение двух множителей. Если один из них окажется составным, то его снова можно разложить на множители, и так до тех пор, пока в произведении не останутся исключительно простые числа. Таким образом, простые числа являются своеобразными «кирпичиками», из которых можно составить все натуральные числа.

С простыми числами связано множество интересных фактов. Например, существует гипотеза, что любое четное число, большее 2, можно представить как сумму двух простых чисел. Например:

4 = 2+2;

6 = 3+3;

8 = 3+5;

10 = 3+7;

100 = 43+57;

500 = 13+487;

1000 = 89+911.

Это утверждение носит название «гипотеза Гольдбаха». Хотя звучит она очень просто, а сформулирована была в 1742 году, на самом деле до сих пор (на 2019 год) никому не удалось ни доказать, ни опровергнуть это утверждение.

Отрицательные и целые числа

Периодически при решении разнообразных задач оказывалось, что одних натуральных чисел недостаточно для нужд человека. Так, если человек заработал за день 5 монеток, но потратил на еду 6, то насколько увеличился его капитал? Для этого надо вычесть из пяти шесть, то есть из меньшего большее. В Античности подобные операции над числами не допускались. Примерно в VI–VIII веке в Китае, а потом и Индии математики все же стали использовать отрицательные числа, воспринимая их как символ «долга». Выяснилось, что они очень удобны и помогают существенно упростить вычисления.

В Европе первые упоминания об отрицательных числах относятся к XIII веку, однако долгое время они не признавались математиками и считались абсурдными. Лишь в XVII веке, когда произошло развитие аналитической геометрии и появилось наглядное изображение отрицательных чисел с помощью числовой, или координатной оси, отрицательные числа получили всеобщее признание. Однако лишь в XIX веке была создана достаточно строгая теория отрицательных чисел.

На числовой оси отрицательные числа располагаются левее нуля, в то время как натуральные (положительные) правее:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Добавление к числу единицы означает перемещение на одну позицию вправо, а вычитание – на одну позицию влево. Так, если из 3 надо вычесть 6, то это значит, что от точки 3 надо сделать влево шесть шагов:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

В результате получается, что 3 – 6 = – 3.

Если два числа в сумме дают ноль, то они называются противоположными. В своей записи они отличаются только знаком. Так, противоположны друг другу числа 5 и – 5, 10 и – 10, 25 и – 25. Считается, что ноль противоположен сам себе. Ноль, натуральные числа, а также числа, противоположные натуральным, образуют множество целых чисел.

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Для обозначения множества целых чисел используется буква Z.

Рациональные числа

Пока человек использовал числа только для счета и сложения, ему вполне хватало натуральных чисел. Однако уже во время появления первых цивилизаций возникли задачи, связанные с делением. Например, определение площадей участков. Выяснилось, что для расчетов необходимо ввести особые, рациональные числа, то есть дроби. Например, если один пирог разрезать на две равные части, то получится две половины. Если же далее разделить одну из половин еще на две части, то каждая из них будет составлять четверть от изначального пирога.

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

В качестве примера рациональных чисел можно привести дроби:

Стоит заметить, что все целые числа также являются рациональными. Чтобы их представить в виде дроби, надо само число записать в числителе, а в знаменателе поставить единицу:

18 = 18/1;

– 4 = – 4/1;

– 152 = – 152/1;

0 = 0/1.

В определении рационального числа не случайно указано, что в числителе должно находиться целое число, а в знаменателе – натуральное. Это связано с делением на ноль. Сам ноль, который является целым числом, может стоять в числителе. Однако деление на него запрещено, поэтому и указано, что в знаменателе должно стоять только натуральное число. Ноль не считается натуральным числом, а потому не может быть в знаменателе.

Напомним, почему деление на ноль не допускается. Операция деления определяется как операция, обратная умножению. Например, поделить 42 на 6 – это значит найти такое число x, для которого верно равенство:

6•x = 42.

Очевидно это число 7. Поэтому 42:6 = 7.

Теперь рассмотрим деление нуля. Например, поделим его на 5. Чему должен равняться x, чтобы выполнялось равенство

5•x = 0?

Такое значение x существует и равняется нулю:

5•0 = 0.

Значит, 0:5 = 0. Аналогично можно убедиться, что при делении нуля на любое число будет получаться ноль.

Теперь рассмотри деление на ноль. Поделим число 5 на него. В результате получим такое значение x, при котором будет выполняться равенство

0•x = 5?

Однако при любом значении x левая часть будет равна нулю, а потому искомого нами значения x просто не существует. Поэтому невозможно указать результат деления числа на ноль. Из-за этого считается, что эта операция не имеет смысла.

Те рациональные числа, которые не являются целыми, называют дробными.

Все множества рациональных чисел традиционно обозначают буквой Q. Правила вычислений с помощью дробей уже изучались в ранних классах, поэтому кратко напомним их.

Знаменатель и числитель дроби можно умножить на одно и тоже число (кроме нуля), и тогда дробь не изменится. Это правило известно как основное свойство дроби:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Обе части равенства можно умножить на число n:

Теперь поделим обе части на произведение q•n:

v = (p*n)/(q*n)

Приведем пример с числами. Известно, что 5 = 20/4. Это значит, что

5•4 = 20.

Умножим обе части, например, на 3:

5•4•3 = 20•3.

5•12 = 60.

По определению деления получаем, что 5 = 60/12, или

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Получается, что одну и ту же дробь можно записать по-разному. Если числитель и знаменатель имеют общий делитель (за исключением единицы), то есть их можно сократить, то дробь называют сократимой. В противном же случае она именуется несократимой. Так, дробь 4/6 сократимая, так как и 4, и 6 делятся на 2. А вот дробь 2/3 несократима, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей. Любую сократимую дробь можно привести к несократимой.

Если при записи дроби в явном виде используется дробная черта, то такую запись называют обыкновенной дробью. Однако на практике очень часто используют другое представление рациональных чисел, в виде десятичной дроби. Так называют дроби, в знаменателе которых стоит либо число 10, 100, 1000 или любая другая степень числа 10. Их можно записывать без использования дробной черты:

3/10 = 0,3;

8/100 = 0,08;

12345/1 000 = 12,345;

753/100 000 = 0,00753.

Любую десятичную дробь всегда можно записать в виде обыкновенной. При этом можно заметить, что если десятичную дробь записать в виде обыкновенной, а потом, сокращая числитель и знаменатель, получить несократимую дробь, то в результате знаменатель всегда можно будет представить как произведение чисел 2 и 5.

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Это свойство связано с тем, что число 10 в любой степени – это произведение двоек и пятерок:

10 = 2•5;

100 = 10•10 = 2•5•2•5;

1000 =10•10•10 = 2•5•2•5•2•5.

При сокращении дроби мы «вычеркиваем» делители из числителя и знаменателя, а не добавляем их, поэтому в знаменателе так и останутся только двойки и тройки:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Получается, что любой конечной десятичной дроби соответствует несократимая обыкновенная дробь, в знаменателе которой представим как произведение двоек пятерок. Следовательно, обратное действие, перевод несократимой обыкновенной дроби в десятичную, можно выполнить исключительно тогда, когда в знаменателе дроби находится произведение двоек и пятерок. Например:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

А вот дроби 2/3, 4/7, 10/13 невозможно представить в виде конечной десятичной дроби, так как их знаменатели 3, 7 и 13 нельзя представить как произведение двоек и пятерок.

Однако существуют и бесконечные десятичные дроби. В качестве примера можно привести числа:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Десятичная дробь, имеющая период, называется периодической десятичной дробью. Можно представить и непериодические дроби, например:

Между периодическими дробями и рациональными числами существует глубокая связь:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Чтобы произвести разложение обыкновенной дроби в бесконечную периодическую, следует просто выполнить ее деление столбиком. Покажем это на примере дроби 15/11:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

На первой стадии деления столбиком получаем 1 с остатком 4. Далее дописываем к четверке ноль и продолжаем деление, записывая получаемые цифры уже после запятой:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Обратим внимание, что после записи чисел 3 и 6 мы снова получили в остатке 4 (выделено красным квадратом). Если продолжить деление, то вскоре мы снова получим 4 в остатке:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Таким образом, деление можно продолжать бесконечно, постоянно сталкиваясь с одними и теми же остатками. В периоде дроби получаем числа 3 и 6:

Несколько сложнее выполнить обратное преобразование, то есть получить обыкновенную дробь из периодической. Для этого надо составить уравнение. Покажем это на примере дроби 0,4(87). Примем ее за x:

В периоде две цифры, поэтому умножим уравнение на 100. Если бы в периоде была одна цифра, то умножать уравнение следовало бы на 10, а если 3 – то на тысячу. Сколько цифр содержится в периоде, столько и нулей должно быть после единицы у числа, на которое мы умножаем уравнение:

В правой части мы просто передвинули запятую на два разряда вправо. Теперь вычтем из второго уравнения первое:

100*x – x = 48.7(87) – 0.4(87)

Если в правой части произвести вычитание столбиком, то период исчезнет:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

В результате получаем уравнение:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Иррациональные и действительные числа

Долгое время дробей было достаточно человечеству для любых расчетов. Древние греки полагали, что любое отношение величин, которое может встретиться в реальном мире, будет выражаться какой-нибудь дробью. Однако это не так. Один из учеников Пифагора, Гиппас, пытался найти соотношение между стороной квадрата и его диагональю. В результате он осознал, что такой дроби просто не существует.

Это соотношение равно квадратному корню из 2 (что доказывается в курсе геометрии), которое обозначается как

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

При этом она равна дроби 2/1. Следовательно, b*b = 1 , а a*a = 2. Однако не существует такого натурального числа a, которое при умножении на себя дает 2. Получается противоречие, значит,

нельзя представить в виде дроби. Математики говорят, что

был первым иррациональным числом, открытым человечеством. Его значение примерно равно 1,414213562. Способы его вычисления будут освещены позже. Заметим лишь, что у этого числа нельзя найти периода в его десятичной записи.

Вообще любое иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Это значит, что в числах после запятой не будет никакого периода. Чуть раньше мы уже приводили два примера иррациональных чисел:

Для обозначения множества иррациональных чисел используется буква I.

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел, обозначаемое буквой R. Иногда их также называют вещественными числами.

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Слово «вещественное» указывает на физический смысл этого понятия. Любой результат измерения какой-либо величины (длины, площади, объема, массы и т. д.) является вещественным числом.

Важно, что на числовой прямой, или координатной оси, каждой точке в соответствие можно поставить действительное число, и наоборот, каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой. В качестве примера показаны числа π и

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Таким образом, можно составить следующую классификацию чисел, используемых в математике:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Все числа, которые встретятся в ходе изучения школьной программы математики и других наук, будут действительными. Однако стоит отметить, что в высшей математике, изучаемой в университете, будут изучаться и более сложные объекты, называемые комплексными числами.

Разложение на простые множители

Все вещи можно представить в виде чисел.

Рассмотрим привычный всем карандаш. Привычный, обыденный предмет. Большинство людей даже не задумываются, из чего он состоит.

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

На самом деле, для изготовления карандаша понадобится древесина, грифель, краска. И это самый простейший перечень составляющих. Ведь собственные составляющие имеют краска, грифель, древесина. Поэтому список компонентов, необходимых для изготовления обычного карандаша, можно продолжать очень долго. Точно так происходит и с математическими числами. Каждое число имеет свой состав, в зависимости от состава – название.

А из чего состоят числа? Какие бывают? Как разложить число? На эти и многие другие вопросы ищите ответы в нашем уроке!

На столе лежало 2 яблока, 4 апельсина. Сколько детей, смогут полакомиться, каждым видом фруктов?

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно выяснить на какое количество человек можно разделить фрукты, не деля их на части (целыми).

Начнем с яблок

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

В математике такие числа называют простыми

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Получается,  четыре мы можем разделить на 1, на само себя и еще на два. Такой вид чисел в арифметике называют составными:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Разложение на простые множители

В математике возникают ситуации, когда для выполнения определенных вычислений нужно знать, какие множители входят в состав того, или иного числа.

Например в состав 6, входит два простых множителя:

6 = 2 × 3.

А как быть с большими числами, в записи, которых 2 и более знака? Как правильно выполнять и записывать разложение  на простые множители?

Что значит «Разложить на простые множители?».

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

В арифметике для выполнения разложения на простые множители, существует специальный вид записи и алгоритм действий.

Давайте рассмотрим алгоритм действий:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Запись разложения числа на простые множители выполняется столбиком, состоящим из двух колонок. В правой колонке записываем делимое и полученное частное, в левой – пишем подходящие,  простые делители. Между собой колонки разделены вертикальной чертой:

Разложим на множители число 20.

Для выполнения данного задания, используем рассмотренный алгоритм.

20 можно разделить на: 1, 2, 4, 5, 10,20.

Мы подобрали  шесть делителей, значит,  делимое, является составным числом.

Для этого вспоминаем изученные признаки делимости, и проверяем данное число.

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

Делимое 20 оканчивается цифрой 0, значит, оно делится без остатка на 2.

20 : 2 = 10.

Далее, подбираем делитель к полученному частному. Опять начинаем с наименьшего простого числа 2. Так как запись 10, оканчивается 0,  по признаку делимости,  число делится на 2 без остатка:

В результате мы получили простое число, которое  можно разделить, только на само себя (на 1 деление не выполняем, оно не является простым числом).

Когда в частном получилась единица, то говорят, разложение числа на простые множители окончено.

Давайте  запишем данную математическую операцию.

Выполнять запись будем в столбик.

Сначала записываем делимое и проводим вертикальную черту.

Рядом, с правой стороны, пишем первый делитель.

Выполняем деление и записываем частное под делимым.

Выходит, 20 = 2×2×5. Полученное выражение можно записать немного иначе. В записи использовано два одинаковых множителя, повторяющихся два раза. Используя определение степени

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

можно записать 2×2 =22 .

Тогда, 20 = 22 × 5.

Ничего сложного. Главное  – запомнить порядок действий!

Рассмотрим еще один пример.

Чтобы выполнить данное задание  используем правило разложения числа на простые множители.

Выполняем деление и частное запишем под делимым: 156 : 2 = 78.

Полученное частное (78) оканчивается четной цифрой, следовательно,делится на 2. Рядом записываем делитель, выполняем деление:

Новый результат оканчивается нечетной цифрой, поэтому на два разделить нельзя. Смотрим, подойдет ли в качестве делителя следующее  – 3. Вспоминаем признак делимости на 3:

2. 
 Простые числа. Разложение числа на простые множители

В записи 39 использованы цифры 3,9. Найдем их сумму:

3 + 9 = 12.

Полученная сумма делится на 3, следовательно, все число делится на 3.

Записываем делитель и выполняем деление 39 : 3 = 13. Частное, пишем в левый столбик:

Частное 13 – простое, делится на 1 и на само себя. Поэтому:

156 = 2×2×3×13.

Произведение 2×2 заменим выражением 22.

156 = 22 × 3 × 13.

Разложение на простые множители выполнено.

Очень важно запомнить рассмотренные определения и алгоритм, так как умение раскладывать число на простые множители пригодится вам в течение всего учебного процесса!

Минутка истории

Интерес ученых к простым числам проснулся в третьем веке до нашей эры. Первым заинтересовался Евклид, нашел доказательство, что ряд простых чисел бесконечен. К сожалению,перечень известных, пополнялся новыми, очень медленно, пока не появились первые вычислительные машины, самостоятельно подбирающие делители к огромным числовым значениям. В 1952 г. самое большое простое числовое значение, известное науке содержало 157 цифр, уже в 1985 году количество цифр стало 65050. Сегодня, математики продолжают работать над этим вопросом. Результатом проделанной работы стало открытие американскими учеными нового, самого большого простого числового значения, состоящего из 65087 цифр. Научные сотрудники более 12 месяцев проверяли, подходящие под требования числовые значения. Проверено более 350000 чисел, подобрано несколько миллиардов различных делителей.

В декабре 2018,  американский разработчик Патрик Ларош, побил мировые рекорды и открыл наибольшее простое число 282 589 933 – 1. Количество цифр этого числа равно 24 862 048. За свое открытие Патрик получил премию в размере 2 миллионов долларов.

Число 1 имеет только один делитель — единицу. Любое другое натуральное число а имеет по крайней мере два делителя — единицу и само число а. Действительно, а:1 = а, а :а = 1.

Число 5 имеет только два делителя — числа 1 и 5. Только два делителя имеют также, в частности, числа 2, 7, 11, 13. Такие числа именуются простыми.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.

Для комфорта была сформирована таблица простых чисел. Число два – минимальное простое число. Заметим, что это единственное чётное простое число. Фактически, все другие чётные числа имеют минимально три делителя: число 1, число 2 и само число.

Простых чисел бесчисленное множество. Максимального простого числа не бывает.

У чисел 6, 15, 49, 1000 есть больше двух делителей.

Натуральное число принято называть составным, если у него бывает больше двух натуральных делителей.

Поскольку единица имеет только один делитель, то ее не относят ни к простым, ни к составным числам.

Составное число 105 можно различными методами отобразить в виде произведения его делителей.

105 = 15 • 7 = 35 • 3 = 5 • 21 = 3 • 5 • 7.

Отличительной чертой конечного произведения выступает то, что все его множители — простые числа. Указывают, что число 105 разложено на простые множители. Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.

Например: 10=2 •5;

18 = 2 •3 •3;

80 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5;

81= 3 • 3 • 3 • 3;

200 =  2 •2 •2 •5 •5.

Заметим, что любые два разложения числа на простые множители состоят из одних и тех же множителей и могут отличаться только их последовательностью. Как правило, произведение одинаковых множителей в разложении числа на простые множители заменяют степенью.

18 = 2 • 32; 80 = 24 • 5; 81 = 34; 200 = 23 – 52.

При разложении числа на простые множители целесообразно использовать схему, которую продемонстрируем на примере разложения числа 2940:

1) 2940 поделится на 2, 2940 : 2 = 1470;

2) 1470 поделится на 2, 1470 : 2 = 735;

3) 735 не поделится на 2, но поделится на 3, 735 : 3 = 245;

4) 245 не поделится на 3, но поделится на 5, 245 : 5 = 49;

5) 49 не поделится на 5, но поделится на 7, 49 : 7 = 7;

6) 7 поделится на 7, 7 : 7 = 1.

Таким образом, 2940 = 2 • 1470 = 2 • 2 • 735 = 2 • 2 • 3 • 245 = = 2 • 2 • 3 • 5 • 49 = 2  •  2 • 3  • 5  •  7  •  7 = 22 • 3  • 5  • 72.

Последовательность простых чисел имеет много интересных свойств и тайн. Например, ученые Древней Эллады отметили, что среди простых чисел много таких разность которых равна двум, например: 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19 и т.д. Подобные пары чисел именуют простыми числами близнецами. Уже более 25 веков ученные стараются найти существуют ли максимальное число близнец, но до сих пор ответ на этот вопрос не найден.

Составное число — натуральное число, которое больше единицы и которое не является простым. Все составные числа – это произведение 2-х натуральных чисел, которые больше единицы.

3 можно разделить, чтоб не было остатка на 1 и на 3;

5 можно разделить, чтоб не было остатка на 1 и на 5;

8 можно разделить, чтоб не было остатка на 1, на 2, на 4 и на 8;

9 можно разделить, чтоб не было остатка на 1, на 3 и на 9; и т. д.

У единицы есть лишь 1 делитель: единица. Поэтому единица не относится к составным и простым числам.

Каждое составное число кратно 3-м и больше натуральным числам.

В отличие от простых множителей, всякое составное число легко разложить на 2 множителя, и они будут больше единицы.

Свойства составных чисел.

Всякое составное число можно разложить до вида произведения простых множителей и только одним способом.

Докажем, что в натуральном ряду могут быть последовательности составных чисел всякой длины. К примеру:

Таблица разложения на простые множители до 10 000.

Натуральные числа, имеющие только два делителя, называют .

числа (2); (3); (5); (7); (11) — простые, т. к. делятся только на (1) и сами на себя, т. е. имеют два делителя.

Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют .

числа (4); (6); (8); (10) — составные, т. к. делятся не только на (1) и сами на себя, а ещё, например, на (2), т. е. имеют более двух делителей.

Число (1) не относится ни к простым, ни к составным числам.

Число (48) — составное, т. к. кроме (1) и (48) оно делится, например, ещё на (2).

Это число можно представить в виде произведения простых чисел.

Сокращённо нахождение разложения выглядит как столбик: слева от черты записываем делимое, а справа — делитель, результат деления записывают под делимым. Эти действия повторяем до получения (1). Справа от черты и будут записаны простые делители числа.

Зная, что произведение одинаковых множителей можно записать в виде степени, получим:

Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.

Основная теорема арифметики:

любое натуральное число (кроме (1)) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители, причём единственным способом.

В ходе выполнения различных заданий удобно пользоваться таблицей простых чисел.

Таблица простых чисел (до 997)

Оцените статью
Добавить комментарий