4. Сложение и вычитание смешанных чисел (разные знаменатели)

Для сложения смешанных чисел, надо:

• найти общий знаменатель и привести к нему дробные части;
• сложить целые части смешанных чисел, отдельно сложить дробные части;
• если дробная часть сократима, то её сократить;
• если дробная часть — неправильная дробь, выделить из неё целую часть и добавить к целой части.

Числитель и знаменатель дробной части второго числа умножили на (2). Сложили целые части и отдельно сложили дробные части.

В результате получили дробную часть

— это неправильная дробь, поэтому из неё выделили целую часть

и полученное число прибавили к целой части:

Для вычитания смешанных чисел, надо:

• привести дробные части к общему знаменателю;
• при необходимости «занять» единицу из целой части;
• вычесть отдельно целые части и дробные части;
• если можно, сократить дробную часть.

Числитель и знаменатель дробной части второго числа умножили на ( )(4). Вычли целые части, затем вычли дробные части.

После приведения к общему знаменателю дробная часть первого числа

меньше дробной части второго числа

. Поэтому целую часть уменьшили на (1), а эту единицу внесли в дробную часть:

Умение складывать дробей — это очень полезный навык, который пригодится не только в школе, но и в повседневной жизни. В этой статье мы расскажем вам, как складывать дроби.

• Посмотрите на знаменатели (числа под чертой) дробей. Если они одинаковые, вам даны дроби с одинаковыми (равными) знаменателями; в противном случае перейдите в следующий раздел.
• Рассмотрим два примера, на основе которых продемонстрируем, как складывать дроби с равными знаменателями.Пример 1: 1/4 + 2/4Пример 2: 3/8 + 2/8 + 4/8
• Пример 1: 1/4 + 2/4
• Пример 2: 3/8 + 2/8 + 4/8
• Сложите числители (числа над чертой). Если знаменатели дробей равны, просто сложите числители.
  Пример 1: 1/4 + 2/4. Здесь числа «1» и «2» являются числителями, поэтому 1 + 2 = 3.Пример 2: 3/8 + 2/8 + 4/8. Здесь числа «3», «2» и «4» являются числителями, поэтому 3 + 2 + 4 = 9.
• Пример 1: 1/4 + 2/4. Здесь числа «1» и «2» являются числителями, поэтому 1 + 2 = 3.
• Пример 2: 3/8 + 2/8 + 4/8. Здесь числа «3», «2» и «4» являются числителями, поэтому 3 + 2 + 4 = 9.
• Запишите конечную дробь. Найденную сумму числителей запишите в числителе новой дроби. Теперь запишите одинаковый знаменатель в знаменателе новой дроби, то есть исходный знаменатель не меняется.
  Пример 1: 3 — это числитель, а 4 — знаменатель конечной дроби. Таким образом, 1/4 + 2/4 = 3/4.Пример 2: 9 — это числитель, а 8 — знаменатель конечной дроби. Таким образом, 3/8 + 2/8 + 4/8 = 9/8.
• Пример 1: 3 — это числитель, а 4 — знаменатель конечной дроби. Таким образом, 1/4 + 2/4 = 3/4.
• Пример 2: 9 — это числитель, а 8 — знаменатель конечной дроби. Таким образом, 3/8 + 2/8 + 4/8 = 9/8.
• Упростите конечную дробь (если нужно).Если числитель больше знаменателя (как в Примере 2), преобразуйте такую неправильную дробь в смешанное число. Для этого разделите числитель на знаменатель. В нашем примере 9/8 = 1 и остаток 1. Теперь целочисленный результат деления запишите перед новой дробью, в ее числителе запишите остаток, а ее знаменателем будет знаменатель исходной дроби. Таким образом,9/8 = 1 1/8.
• Если числитель больше знаменателя (как в Примере 2), преобразуйте такую неправильную дробь в смешанное число. Для этого разделите числитель на знаменатель. В нашем примере 9/8 = 1 и остаток 1. Теперь целочисленный результат деления запишите перед новой дробью, в ее числителе запишите остаток, а ее знаменателем будет знаменатель исходной дроби. Таким образом,9/8 = 1 1/8.

Советы

• Перед тем как сложить числители дробей, убедитесь, что их знаменатели одинаковы.
• Не складывайте знаменатели. Найдите общий знаменатель и не меняйте его.
• Если нужно сложить правильную или неправильную дробь со смешанным числом, сначала преобразуйте смешанное число в неправильную дробь, а затем используйте действия, описанные в этой статье.

Об этой статье

На первый взгляд складывать дроби с разными знаменателями довольно сложно, но если привести их к общему знаменателю, все станет гораздо проще. Если вы работаете с неправильными дробями, у которых числители больше знаменателей, сделайте знаменатели одинаковыми, а затем сложите числители. Если нужно сложить смешанные числа, преобразуйте их в неправильные дроби, приведите их к общему знаменателю, а затем сложите числители.

• Например, сложите дроби 9/5 + 14/7. Кратными знаменателя 5 являются 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, а кратными знаменателя 7 — 7, 14, 21, 28, 35. Итак, 35 является наименьшим общим кратным.
• В нашем примере умножьте 9/5 на 7, чтобы получить знаменатель 35. Числитель также умножьте на 7; таким образом, вы получите дробь 63/35.
• В нашем примере умножьте 14/7 на 5, чтобы получить дробь 70/35. Таким образом, исходная задача 9/5 + 14/7 перепишется так: 63/35 + 70/35.
• В нашем примере: 63 + 70 = 133. Запишите этот результат над знаменателем, чтобы получить дробь 133/35.
• Например, дробь 133/35 можно превратить в смешанное число 3 28/35. Теперь дробь 28/35 сократите до 4/5. Таким образом, окончательный ответ равен 3 4/5.

• Например, сложите 6 3/8 + 9 1/24. Эти смешанные числа превратятся в дроби 51/8 + 217/24.
• Кратными 8 являются 8, 16, 24, 32, 48, а кратными 24 — 24, 48, 72. Итак, НОК равен 24.
• Например, чтобы дробь 51/8 привести к знаменателю 24, умножьте числитель и знаменатель на 3. Вы получите дробь 153/24.
• В нашем примере вторая дробь 217/24, то есть ее знаменатель уже равен НОК. Таким образом, эту дробь менять не нужно.
• В нашем примере: 153/24 + 217/24 = 370/24.
• В нашем примере 370/24 = 15 10/24, потому что 370/24 = 15 ост. 10. Дробь 10/24 можно сократить до 5/12. Таким образом, окончательный ответ равен 15 5/12.

где a — числитель, b — знаменатель.

Дробь называется — если числитель меньше знаменателя (к примеру, 1/2), — если числитель больше знаменателя (например, 4/3).

Сложение обыкновенных дробей

Сложение дробей — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число, содержащее сумму заданных чисел.

Основные свойства сложения:

• От перестановки мест слагаемых сумма не меняется, т.е. a + b = b + a, где a и b — обыкновенные дроби;
• Если к дроби прибавить 0 — получится тоже самое число.

Как складывать дроби с одинаковыми знаменателями?

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями сводится к сложению их числителей. В общем виде выглядит следующим образом:

Таким образом, чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

Бывают ситуации когда в результате вычисления получается неправильная дробь, т.е. числитель больше знаменателя. В этом случае необходимо сократить дробь, т.е. привести её к смешанному виду:

Подробнее про сокращение дробей — смотрите тут.

Как складывать дроби с разными знаменателями?

В общем виде, сложение дробей с разными знаменателями, выглядит следующим образом:

a ∙ m1 + c ∙ m2

где e — наименьший общий знаменатель (НОЗ — наименьшее число, которое делится без остатка и на b и на d), m1 и m2 — дополнительные множители (m1 = e : b, m2 = e : d).

12 + 5

Подробнее про нахождение НОЗ — смотрите тут.

Как складывать смешанные дроби?

Сложение смешанных дробей сводится к переводу их к неправильному виду и дальнейшим действиям согласно вышеописанным алгоритмам. Перевод смешанного числа в неправильную дробь, в общем виде, выглядит следующим образом:

2 ∙ 5 + 3

13 ∙ 3

39 + 5

Подробнее про сложение смешанных чисел смотрите тут

Правила сложения дробей

Резюмируя вышесказанное, выведем общий алгоритм сложения дробей:

• Если дробь смешанная — приводим её к неправильному виду;
• Если дроби имеют одинаковые знаменатели — складываем числители;
• Если дроби имеют разные знаменатели — находим НОЗ и дополнительные множители, складываем числители;
• При необходимости сокращаем.

Калькулятор сложения дробей

Для того чтобы складывать и вычитать дроби с разными знаменателями, вам нужно привести их к общему знаменателю. Процессы сложения и вычитания дробей очень похожи; только на конечном этапе вы должны либо сложить, либо вычесть числители дробей. Если вы хотите научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями, выполните следующие действия.

• Запишите дроби рядом друг с другом. Напишите их так, чтобы числители дробей (верхние числа) и знаменатели дробей (нижние числа) располагались напротив друг друга. Например, рассмотрим дроби 9/11 и 2/4.
• Уясните, что такое эквивалентные дроби. Если умножить числитель и знаменатель определенной дроби на некоторое число, то вы получите эквивалентную дробь, равную исходной дроби. Например, если вы умножите дробь 2/4 на 2, вы получите дробь 4/8, которая равна (эквивалентна) исходной дроби 2/4. Вы можете проверить это следующим образом:
  Нарисуйте круг, разделите его на четыре равные части и закрасьте две из них (2/4).Нарисуйте еще один круг, разделите его на 8 равных частей и закрасьте четыре из них (4/8).Сравните закрашенные области обоих кругов; они соответствуют дробям 2/4 и 4/8. Размер закрашенных областей будет одинаковым.
• Нарисуйте круг, разделите его на четыре равные части и закрасьте две из них (2/4).
• Нарисуйте еще один круг, разделите его на 8 равных частей и закрасьте четыре из них (4/8).
• Сравните закрашенные области обоих кругов; они соответствуют дробям 2/4 и 4/8. Размер закрашенных областей будет одинаковым.
• Перемножьте два знаменатели, чтобы найти общий знаменатель. Для того чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю; общий знаменатель – это число, делителями которого являются знаменатели данных дробей. Простейший способ найти общий знаменатель дробей – это перемножить их знаменатели. Сделав это, переходите к следующему разделу или продолжайте читать этот раздел и узнаете, как найти наименьший общий знаменатель (НОЗ).
  В нашем примере 11 и 4 – это знаменатели дробей 9 / и 2 /
  Перемножьте эти знаменатели: 11 x 4 = .
• В нашем примере 11 и 4 – это знаменатели дробей 9 / и 2 /
• Перемножьте эти знаменатели: 11 x 4 = .
• Найдите наименьший общий знаменатель (НОЗ). Это наименьшее число, которое делится на знаменатели данных дробей. Для вычисления НОЗ запишите кратные каждого знаменателя данных дробей. Подчеркните наименьшее число, которое встречается в обоих списках. На этот раз рассмотрим такой пример: 5/6 + 2/9.
  В нашем примере знаменатели равны 6 и 9, поэтому для первого знаменателя пишите числа, делящиеся на 6, а для второго – на 9.Кратные 6: 6, 12, , 24Кратные 9: 9, , 27, 36Так как число – это наименьшее число, находящееся в обоих списках, то НОЗ = 18.
• В нашем примере знаменатели равны 6 и 9, поэтому для первого знаменателя пишите числа, делящиеся на 6, а для второго – на 9.
• Кратные 6: 6, 12, , 24
• Кратные 9: 9, , 27, 36
• Так как число – это наименьшее число, находящееся в обоих списках, то НОЗ = 18.

Примеры задач

• 1 / 2 + 3 / 8 =
• 2 / 5 + 1 / 3 = 11 / 15
• 3 / 4 + 4 / 8 =
• 10 / 3 + 3 / 9 =
• 5 / 6 + 8 / 5 =
• 2 / 17 + 4 / 5 = 78 / 85

• 2 / 3 – 5 / 9 =
• 15 / 20 – 3 / 5 = 3 / 20
• 7 / 8 – 7 / 9 = 7 / 72
• 3 / 5 – 4 / 7 = 1 / 35
• 7 / 12 – 3 / 8 = 5 / 24
• 16 / 5 – 1 / 4 =

Калькулятор дробей выполнит основные арифметические действия с дробями и смешанными числами.

Если целая часть заполнена, калькулятор приведет смешанное число в неправильную дробь и выполнит операцию.

Заполните поля калькулятора чтобы найти сумму, разность, произведение и отношение дробей.

Основные операции с дробями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями необходимо: привести дробные части к наименьшему общему знаменателю;
затем сложить их числители. Рассмотрим на примере как сложить две дроби с разными знаменателями.

Наименьшее общее кратное знаменателей (8 и 6) равно 24.

Для нахождения разности дробей необходимо: привести дробные части к наименьшему общему знаменателю; затем выполнить вычитание числителей.

Найти разность дробей

Общее кратное знаменателей НОК(16, 20)=80. Для вычисления наименьшего общего кратного можно воспользоваться калькулятором. Калькулятор вычислит НОК автоматически.

Умножение и деление

Для умножения двух дробей нужно: перемножить их числители и знаменатели

Чтобы разделить дробь на другую нужно: умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

Приведение к общему знаменателю

Чтобы совершать операции с дробями часто требуется привести дроби к общему знаменателю.
Рассмотрим процесс приведения двух дробей

Для сравнения дробей приведем их к общему знаменателю и сравним их числители. Воспользуемся шагами описанными выше и найдем наименьшее общее кратное знаменателей дробей и далее преобразуем:

НОК(18, 4)=36, дополнительный множитель первой дроби

,
доп. множитель второй дроби

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Калькулятор дробей

• Математика
• Арифметика
• Калькулятор дробей

Если вам необходимо произвести математические операции с дробями воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором:

Просто заполните необходимые поля и получите ответ и подробное решение.

Данный калькулятор может работать как с положительными, так и с отрицательными дробями.

При этом нужно помнить, что:

Всегда нужно использовать только последний вариант.

Сложение дробей

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остаётся прежним.

Формула

Для примера сложим следующие дроби с равными знаменателями:

При сложении дробей с разными знаменателями для начала необходимо привести дроби к общему знаменателю. А затем сложить числители.

Формула (универсальная)

a⋅d + b⋅c

Пример №1

Для примера сложим следующие дроби с разными знаменателями:

Пример №2

Существуют также частные случаи, когда знаменатель одной дроби можно привести к знаменателю второй. Например:

Этот же пример можно решить и применяя вышеуказанную универсальную формулу:

Обратите внимание, что мы сократили дробь:

Сложение смешанных чисел

Смешанные числа – это такие числа, у которых есть как дробная часть, так и целая.

Преобразуя в неправильную дробь

Для начала смешанное число (дробь) нужно преобразовать в неправильную дробь, а потом можно складывать как в предыдущих примерах.

b + a ⋅ ce + d ⋅ f

Для примера сложим два смешанных числа:

Обратите внимание, что из полученной неправильной дроби мы выделили целую часть:

Складывая целую и дробную части отдельно

Целую и дробную части смешанных чисел можно складывать по отдельности.

Решим предыдущий пример этим способом:

Вычитание дробей

Вычитание дробей происходит по тем же принципам, что и сложение.

Для примера вычтем одну дробь из другой с равными знаменателями:

Тут также, как и при сложении, дроби нужно подвести под общий знаменатель, а затем вычитать.

a⋅d − b⋅c

Для примера вычтем одну дробь из другой, с разными знаменателями:

Вычитание смешанных чисел

Для начала смешанные числа преобразуем в неправильные дроби, потом приводим полученные дроби к общему знаменателю, а затем вычтем одну из другой. Далее выделяем целую часть если она есть.

При умножении дробей неважно одинаковые или разные у них знаменатели. Числитель одной дроби умножается на числитель другой, а знаменатели тоже перемножаются между собой.

Давайте рассмотрим несколько примеров:

Умножим дроби с одинаковыми знаменателями:

Умножим дроби с разными знаменателями:

Пример №3

Умножим смешанные числа:

Деление дробей

При делении одной дроби на другую также неважно одинаковые или разные у них знаменатели. Чтобы разделить одну дробь на другую нужно перемножить числитель первой дроби и знаменатель второй, а знаменатель первой умножить на числитель второй.