5.4.5. Примеры на приведение обыкновенных дробей к наименьшему общему знаменателю

Сложение дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями это, пожалуй, самая сложная тема математики 5 класса. Чтобы не допускать ошибок в будущем и настоящем, разберем подробнее эту тему и выявим наиболее распространенные ошибки.

Что такое дробь?

Дробью называют незавершенную операцию деления. Это значит, что любую дробь можно превратить в привычное число, поделив числить на знаменатель. Чаще всего результатом такого деления является десятичная дробь. Почему люди не используют все время десятичные дроби, если все равно все сводится к такому виду записи.

Проблема в том, что большая часть обыкновенных дробей не переводится в десятичные. Получается бесконечная дробь. А сокращение дроби в результате деления приведет к уменьшению точности вычислений. Поэтому и используются обыкновенные дроби.

Если переводить это определение в реальную жизнь, то можно сказать, что знаменатель это количество частей, на которое разделили целое, а числитель – части, которые взяли себе, отбросив в сторону основные.

Почему нельзя складывать дроби с разными знаменателями?

Несколько сотен лет назад этого правила не было. Тогда в расчетах купцов часто встречались следующие рассуждения: 3 сотые части бочонка были куплены вместе с двумя третьими соболиного меха и так далее. Такой метод исчисления крайне неудобен.

Просто потому, что это разные числа. Поэтому для того, чтобы сложить

Как найти общий знаменатель дробей?

В знаменателе всегда стоит какое-то число. Общим знаменателем дробей называется наименьшее общее кратное этих чисел. В самом простом случае, оба знаменателя представлены простыми числами. Тогда кратное находится как произведение этих чисел.

В произвольном случае, нужно следовать правилу:

• Числа раскладываются на простые множители. Не обязательно чисел будет два. Ведь не всегда складывается две дроби, в примере может быть любое количество чисел.
• В знаменателях ищут общие простые множители. Эти множители желательно выделить отдельно. Так мы находим общую часть чисел.
• Если общей части у чисел нет, то кратное находится как произведение чисел друг на друга.
• Кроме общей части у чисел остаются множители, характерные для каждого числа в отдельности. Для того, чтобы найти кратное, выписывается общая часть и умножается на каждый из уникальных множителей

Рассмотрим отдельно пример нахождения НОК для чисел 27 и 48

• 27=3*3*3
• НОК=3*(3*3)*(2*2*2*2) – произведение 3 было взято из разложения числа 27, произведение 2 является уникальной частью числа 48
• Подведем итог: НОК=3*9*16=432

Большие числа часто получаются при нахождении общего знаменателя. Ученики могут испугаться этого и начать искать ошибку, теряя время. Поэтому нужно верить в свои силы.

Пример

Рассмотрим небольшой пример сложения дробей:

Для того, чтобы найти сумму дробей нужно домножить 3/22 на 2.

Пример принимает следующий вид:

Что мы узнали?

Мы поговорили о дробях. Узнали, зачем нужно приводить дроби к одному знаменателю перед сложением. Поговорили о том, как найти общий знаменатель. Рассмотрели небольшой пример сложения дробей с разными знаменателями.

Тест по теме

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

Оценка статьи

А какая ваша оценка?

Приведение дробей к общему знаменателю

• Общий знаменатель обыкновенных дробей
• Как привести дроби к общему знаменателю, алгоритм
• Примеры задач с подробным решением

Общий знаменатель обыкновенных дробей

Любые дроби с разными знаменателями в математике можно привести к одному и тому же общему знаменателю — заменить на равные им дроби с одинаковым знаменателем.

Есть два вида знаменателей:

• Общий — их существует бесконечное множество для любых двух и более дробей.
• Наименьший общий — для любых двух и более дробей такой знаменатель есть лишь один.

Общий знаменатель — это число или выражение, которое является знаменателем для двух и более обыкновенных дробей.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Наименьший общий знаменатель — наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей.

Производить данную операцию необходимо в ряде случаев.

• При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями. При умножении, делении и возведении в степень это необязательно.
• Для сравнения дробей, поскольку это значительно упрощает операцию.
• При решении задач с дробными выражениями: например, задач на доли или проценты.

Как привести дроби к общему знаменателю, алгоритм

Чтобы осуществить операцию приведения, необходимо применить основное свойство дробей: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, отличное от нуля, дробь не изменится. То есть если подобрать правильные множители, то можно привести знаменатели к одному и тому же числу. Искомые множители называют дополнительными.

Это объяснение лежит в основе общего правила приведения дробей.

• Найти общий знаменатель.
• Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Для этого необходимо разделить общий знаменатель на знаменатель каждой дроби.
• Умножить обе части дроби на дополнительный множитель.

Существует несколько способов привести дроби к общему или наименьшему общему знаменателю.

Умножение «крест-накрест»

Самый простой способ — умножение «крест-накрест». Применяется следующий пошаговый алгоритм:

• Умножить первую дробь на знаменатель второй дроби.
• Умножить вторую дробь на знаменатель первой дроби.
• При возможности — сократить получившиеся выражения.

Недостаток этого метода — в размерах вычислений. При умножении могут получиться большие числа, которыми тяжело оперировать.

Метод общих делителей

Иногда один из знаменателей дроби уже делится на другой без остатка. В таком случае нет нужды перемножать их, количество действий сокращается.

• Поделить больший знаменатель на меньший. Результат деления — это искомый дополнительный множитель.
• Умножить дробь с меньшим знаменателем на дополнительный множитель. Другую дробь умножать ни на что не нужно.

Этот метод хорош тем, что является более кратким вариантом умножения «крест-накрест». При этом его невозможно использовать при решении примеров, в которых числа в знаменателях не делятся друг на друга.

Метод наименьшего общего кратного

Суть приведения заключается в том, чтобы найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. К этому числу и необходимо привести знаменатели обеих дробей.

Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее число, на которое делится каждый из знаменателей. Обозначается он как НОК (a; b).

НОК (3; 4) = 12; НОК (8; 12) = 24.

Иногда найти НОК можно «на глаз», не выполняя дополнительных расчетов. К примеру, НОК (6; 9) = 18. Однако иногда на это может понадобиться больше времени. Описание примера таких вычислений приведено в примерах решения задач ниже.

Таким образом, основное преимущество это метода заключается в краткости вычислений. При этом его недостатком является сложность нахождения НОК в некоторых случаях.

Примеры задач с подробным решением

Для начала применим метод «крест-накрест». Тогда:

Получившуюся дробь можно сократить на 5:

Однако решение можно сократить, применив метод общих делителей. 15 делится на 5 без остатка. При таком делении дополнительным множителем для первой дроби будет число 3:

Решить эту задачу методом общих делителей невозможно, ведь 20 не делится без остатка на 15. При этом оба числа являются большими:

Вычисление методом «крест-накрест» будет слишком большим.

Оптимальным вариантом решения является метод наименьшего общего кратного.

Число 15 можно представить как . Число 20 можно представить как .

Множитель 5 является общим для обоих выражений, а числа 3 и 4 взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме . Тогда:

(НОК (15; 20) = 5cdot3cdot4=60)

При делении 60 на знаменатели обеих дробей получаются дополнительные множители 4 и 3. Используем их для вычислений:

Получившуюся дробь можно сократить на 30:

Насколько полезной была для вас статья?

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой

Расскажите, что не так

Паша
и Саша решили сходить в кафе. Саша заказал пиццу и попросил разрезать её на 6
равных частей. Паша заказал точно такую же пиццу, но попросил разрезать её на 8
равных частей. Когда пиццы принесли, мальчишки принялись их пробовать и при
этом не забыли обсудить свои школьные успехи. Как вдруг Саша заметил:

–
Паша, тебе не понравилась пицца?

–
Почему? – удивился Паша. – Она очень вкусная!

–
Но ты её совсем не ешь, – сказал Саша.

–
Я уже съел целых 4 кусочка своей пиццы, – ответил Паша. – А сколько ты съел
кусочков?

–
Я тоже съел 4 кусочка пиццы, – посчитал Саша, – но у меня осталось только 2
кусочка.

–
А у меня осталось ещё 4 кусочка, – сказал Паша.

–
Как-то странно получается, – задумался Саша, – съели мы с тобой по одинаковому
количеству кусочков пиццы, но почему-то у тебя пиццы осталось больше, чем у
меня!

–
Согласен, странно это, – сказал Паша. – Не понимаю, как так могло получиться. А
давай спросим у Мудряша. Он уж точно найдёт объяснение.

–
Ребята, прежде чем я вам расскажу о приведении дробей к общему знаменателю и
сравнении дробей, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, –
предложил Мудряш.

–
Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было
получиться!

–
Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. — В кафе вы заказали 2
пиццы, причём Сашина пицца была разрезана на 6 равных кусочков, а Пашина – на 8.
Каждый из вас съел по 4 кусочка своей пиццы. Обыкновенной дробью мы можем это
записать так:

. 
В итоге вы заметили, что у Паши осталось больше кусочков пиццы.

–
Да! Всё было именно так, – согласились мальчишки. – Но разве такое возможно?

–
Конечно! – ответил Мудряш. Мы с вами записали, что Саша съел

пиццы,
а Паша –

.
Давайте попробуем сравнить эти дроби.

–
Но мы умеем сравнивать только дроби с одинаковыми знаменателями, – сказали
мальчишки. Здесь же записаны дроби, у которых разные знаменатели. А как
сравнивают дроби с разными знаменателями?

–
Если научиться заменять такие дроби на равные им, но с одинаковыми
знаменателями, то решение новой задачи сведётся к решению уже знакомой вам задачи,
– сказал Мудряш. – Дроби

–
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число,
то получится равная ей дробь:

Молодцы!
– похвалил ребят Мудряш. – Тогда имеем: числитель и знаменатель дроби

умножим
на 4 получим дробь

;
числитель и знаменатель дроби

умножим
на 3 получим дробь

.
Мы с вами сейчас дроби

–
А почему мы умножали дроби

именно
на числа 4 и 3? – решили спросить мальчишки. — Можно же было и на другие числа умножить.

–
Хороший вопрос! – обрадовался Мудряш. – Эти дроби можно привести и к другим
знаменателям, например: к знаменателю равному 48, при этом дополнительный
множитель к первой дроби будет равен 8, ко второй – 6; можно привести и к
знаменателю равному 72, при этом дополнительный множитель к первой дроби будет
равен 12, ко второй – 9.

–
А как ты выбираешь дополнительные множители к дробям? – спросили ребята.

–
Найденные общие знаменатели 24, 48, 72 являются общими кратными чисел 6 и 8 –
знаменателей дробей

–
Запомните! – сказал Мудряш. – Общий знаменатель двух
дробей – это общее кратное их знаменателей. При приведении дробей к общему
знаменателю удобнее приводить их к наименьшему общему знаменателю, равному
наименьшему общему кратному знаменателей этих дробей.

таким
наименьшим общим знаменателем будет число 24.

–
Запомните! – продолжил Мудряш. – Чтобы привести дроби к
наименьшему общему знаменателю, надо:

1)
найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей;

2)
найти дополнительные множители для каждой, разделив общий знаменатель на
знаменатели данных дробей;

3)
умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

–
Тогда получается, что я съел больше пиццы? – удивился Саша. – Ведь дробь

–
Правильно! – согласился Мудряш. – Вы знаете, что при сравнении дробей с
одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. В
нашем случае числитель первой дроби 16 больше числителя второй дроби 12. Отсюда,
дробь

–
Запомните! – сказал Мудряш. – Чтобы сравнить две дроби с разными
знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правило
сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

–
Давайте сравним дроби

–
Для начала приведём эти дроби к наименьшему общему знаменателю, – начал Паша.
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей

равно
240. Тогда дополнительный множитель к первой дроби равен 15, ко второй дроби – 4.
Поскольку дробь

,
то и дробь

–
Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы
всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание
первое: приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: а)

Решение:
первая пара дробей

.
Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей равно 84. Тогда
дополнительный множитель к первой дроби равен 7, ко второй 2. Получим дроби

.
Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей также равно 84. Тогда
дополнительный множитель к первой дроби равен 3, ко второй – 7. Получим дроби

Следующее
задание: расставьте дроби в порядке возрастания: а)

Решение: для
начала нужно привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Не трудно
догадаться, что в нашем случае наименьший общий знаменатель будет равен 12.
Тогда дополнительный множитель к первой дроби будет равен 3, ко второй – 1, к
третьей – 4, к четвёртой – 2. Получим дроби:

.
Мы знаем, что при сравнении дробей с одинаковыми знаменателями больше та
дробь, числитель которой больше. Тогда самой маленькой дробью будет дробь

,
следом за ней будет стоять дробь

и
последней будет стоять дробь

.
А значит, наши первоначальные дроби будут стоять в таком порядке:

Зачастую выясняется, что действия с дробями не вызывают сложностей у учеников. Основной проблемой становится нахождение общего знаменателя. Чтобы разобраться с этим вопросом, нужно запомнить правило приведения дробей к общему знаменателю и понимать, зачем вообще этот общий знаменатель нужен.

В 5 классе ученикам объясняют, что дробь это разделенное на кусочки целое. Причем знаменатель обозначает количество частей, на которое разделили какой-то предмет, а числитель количество этих частей, которое взяли для расчета.

Но в математике существует другое определение: дробью зовут незавершенную операцию деления. Это значит, что как любую дробь можно превратить в деление, так и любое деление можно превратить в дробь. Например:

Можно бесконечно приводить примеры, но смысл от этого не изменится: черта дроби заменяет знак деления.

Зачем нужно находить общий знаменатель?

Для того, чтобы сложить или вычесть две дроби, нужно превратить две операции деления в одну. Это возможно только при условии одинакового делителя. В виде формул это выглядит так:

То есть для того, чтобы сложить или вычесть дроби, потребуется привести их к общему знаменателю. Иначе просто не получится правильно решить пример.

Для умножения и деления дробей, приводить дроби к общему знаменателю не требуется. Для этих операций существует другое теоретическое обоснование, которое предполагает другой порядок действий.

Для того, чтобы найти общий знаменатель дробей, нужно найти наибольшее общее кратное знаменателей. Приведем пример, решим небольшое выражение:

Найдем НОК знаменателей. Число 15 делится на число 5, значит

Привести дроби к общему знаменателю можно только пользуясь основным свойством дроби. Формулировка этого свойства звучит так: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Это значит, что при приведении дроби к общему знаменателю, требуется учитывать и увеличение числителя.

НОК можно найти аналитически, как мы это сделали в примере. Но чаще всего приходится прибегать к разложению на простые множители. Для того, чтобы найти НОК двух чисел следует:

• Разложить эти числа на простые множители
• Проверить, каких простых множителей не хватает в разложении.
• Берется число с наименьшим количеством множителей и к его разложению добавляют числа, которое есть в других разложениях, но отсутствуют в основном. При этом учитывается и количество чисел. Это значит, что если в основном разложении одно число 3, а в других разложениях два числа 3, то нужно домножить основное разложение на две тройки.

Мы поговорили о приведении дробей к общему знаменателю. Рассказали, зачем это нужно, и какие операции с дробями можно выполнять без приведения к общему знаменателю. Привели пример и рассказали, как меняется числитель при приведении дробей к общему знаменателю.

После рассмотрения натуральных чисел и действий над ними переходят к изучению правил сложения и вычитания дробей. На математике в 5 классе этой теме уделяется несколько уроков. Преподаватель не только даёт алгоритм вычислений, но и учит школьников применять знания на практике. Научиться правильно и быстро выполнять эти алгебраические действия важно, так как в дальнейшем это умение приходиться использовать практически при изучении любой науки.

Общие сведения

Дробные числа получаются в том случае, если один предмет необходимо разделить на несколько одинаковых частей. Проще всего разобраться в понятии можно на простом примере. Пусть имеется пирог круглой формы. Если разрезать его на четыре равные части, то говорят о четвертине, а если на две — половине. Но в математике эти слова имеют свои названия. Четвертину называют одна четвёртая, половину — одна вторая. Записывают их как отношение и используют для этого дробную черту.

По сути, дробное выражение представляет собой операцию деления. Например, если имеющийся торт нужно разделит на три равные части, то это действие можно записать как 1: 3. Полученные куски называют долями, а в математике — дроби. То есть каждая часть в примере, будет составлять от целого одну третью. Записывают это так: 1 / 3. Число, стоящее под чертой, показывает то, что торт был разделён на три равные части, а над ней — обозначает количество взятых долей.

Так как справедливо записать равенство 1:3 = 1 / 3, то к числам можно применить терминологию, использующуюся при делении. Верхнее называют делимым, а нижнее — делителем. Но для понимания, что речь идёт о дроби, в таких выражения используют свои названия — числитель и знаменатель. Черту же называют дробной. Поэтому можно сказать, что знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое число, а числитель — сколько одинаковых долей было взято.

Например, был испечён один торт. За ужином съели от него 4 / 6. Руководствоваться нужно тем, что в знаменателе стоит число, которое показывает, как было разделено целое, а в числителе, сколько забрано. Поэтому можно утверждать, что торт был разделён на шесть кусков, из которых четыре были съедены. Так как одна доля равняется 1 / 6, то на столе останется 2 / 6.

Существующие дроби разделяют по видам. Они бывают:

• правильные — выражения у которых значение числителя меньше знаменателя;
• неправильные — делимое больше или равно делителю;
• смешанные — комбинированное дробное выражение, состоящее из целого числа и неправильной дроби.

Так как дробные выражения, по сути, числа, то над ними можно выполнять любые арифметические операции, например, складывать, отнимать. Но при этом перед тем как решать задания на сложение и вычитание обыкновенных дробей, в 5 классе учат их вначале преобразовывать и упрощать.

Свойства дробей

Пусть дана некоторая дробь вида a / b. Оказывается, что, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, например, с, результат действия не изменится: a / b = (a * c) / (b * c). Этот закон получил название — основное свойство дроби. Он особенно актуален при выполнении операций сложения и вычитания, так как позволяет привести выражение к простому виду.

Доказать правило можно следующим образом. Пусть есть отношение a / b равное к. Из него можно выразить числитель, используя определение частного: a = b * k. Это выражение можно умножить на некое число неравное нулю. В результате получится равенство: a * c = (b * k) * c. В правой части записано произведение. Поэтому можно воспользоваться переместительным законом и переписать уравнение как a * c = (b * c) * k. Из полученного выражения k = (a * c) / (b * c). Отсюда следует, что a / b = (a * c) / (b * c). Свойство доказано.

При решении определённых примеров есть смысл приводить дроби к одному виду. Для этого существуют следующие правила:

• Чтобы привести смешанную дробь в неправильную нужно целую часть умножить на знаменатель, а потом прибавить к полученному результату числитель. Затем, делитель оставить без изменения, а в числитель записать сумму. Например, 3 (½) = ((3 * 2) + 1) / 2 = 7 / 2.
• Для преобразования неправильного выражения в смешанное нужно выделить из дроби целую часть, а остаток занести в числитель, оставив знаменатель без изменения. Для нахождения целого можно воспользоваться правилом деления в столбик. Например, 18 / 5 = 3 (3/5).

Стоит отметить, особенность смешанной дроби. Её запись вида c (a / b) подразумевает, что между целой частью и отношением стоит знак плюс. То есть, по сути, c (a / b) = с + (a / b).

Усвоив рассмотренные правила, можно переходить к непосредственному изучению математических алгоритмов складывания и вычитания дробей.

Правила действий

Чтобы научиться быстро прибавлять и вычитать дроби, нужно понимать правило приведения к общему знаменателю. Когда имеются выражения, над которыми необходимо выполнить действия, при этом у них разные делили, нужно выполнить преобразование. Например, пусть имеется дробь 3 / 5. Надо сделать так, чтобы в делителе стояло число 40. Согласно основному свойству числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же число. Поэтому можно записать так: 3 / 5 = (3 * 8) / 40 = 24 / 40. Другими словами, числитель увеличивается на множитель, равный числу, на которое поменялся знаменатель.

Таким образом, если имеются две дроби с разными делителями, то чтобы найти для них общее число, следует подобрать наименьшее значение, которое делится на один и другой знаменатель без остатка. Фактически это получается наименьшее общее кратное. Найти его можно, выполняя следующую последовательность действий:

• разложить каждый знаменатель на множители;
• из полученного ряда убрать повторяющиеся цифры;
• найти произведение оставшихся чисел, которое и будет искомым общим знаменателем.

Итак, существует два случая, с которыми можно столкнуться при прибавлении или вычитании. Первый достаточно простой, но при этом является частным случаем второго. Для лучшего восприятия алгоритм для каждого из случаев удобно записать в виде таблицы.

Нужно отметить, что операции со смешанными дробями ничем не отличаются от рассмотренных выше. Единственно, действия с целыми частями выполняются отдельно от дробных, а затем записывается совместный результат.

Примеры решений

Подробное решение примеров дробей для 5 класса с объяснением поможет лучше разобраться в теоретическом материале. При этом полученный опыт позволит самостоятельно решать задания любой сложности. Вот типичные задачи, которые используются в рамках подготовки учеников в средних образовательных школах:

• Найти результат действия: 3 / 14 + 10 / 21. Дроби в выражении имеют разные знаменатели. Согласно алгоритму, их нужно привести к общему знаменателю, а затем с его помощью найти дополнительные множители. Для этого 14 и 42 следует разложить на простые числа: 14 = 2 * 7; 42 = 2 * 3 * 7. Отсюда следует, что НОЗ = 2 * 7 * 3 = 42. Далее, всё по алгоритму: ((3* 3) / 42) + ((2 * 10) / 42) = (9 / 42) + (20 / 42) = (9 + 20) / 42 = 29 / 42.
• Определить разность: 26 / 40 — 9 / 25. Пример решается аналогично предыдущему, но перед поиском НОЗ, первый член можно упростить. Для этого числитель и знаменатель нужно разделить на два: 26 / 40 = 13 / 20. Придерживаясь последовательности действий решение можно записать так: 13 / 20 — 9 / 25 = ((13 * 5) / 100) — ((9 * 4) / 100) = (65 — 36) / 100 = 29 / 100.
• Вычислить ответ: 3 (5/8) — 1 (9/10). В этом случае удобно целые части вычесть отдельно от дробных. Тогда, решение будет выполнено за два действия. Первое 3 — 1 = 2. Второе (5 / 8) — (9 / 10) = ((5 * 5) / 40) — ((4 * 9) / 40) = (25 — 36) / 40 = – 11 / 40. Таким образом, ответ будет: 2 (-11/40). Такая запись некорректная, поэтому из целого нужно вычесть дробное выражение. В итоге получится: (2 / 1) — (11 / 40) = (80 — 11) / 40 = 69 / 40 = 1 (29 / 40).
• Найти результат действия: 1 (2/5) + 4 / 5. В этом случае смешанное число удобно перевести в неправильную дробь, а уже после, выполнить сложение. Так, 1 (2/5) = ((1 * 5) + 2) / 6 = 7 / 5. Теперь получились две дроби с одинаковым знаменателем. Воспользовавшись алгоритмом из таблицы, найти их сумму будет несложно: 7 / 5 + 4 / 5 = (7 + 4) / 5 = 11 /5 = 2 (1/5).

Следует отметить, что последний пример можно решить, и не преобразуя смешанную дробь в неправильную. Можно выражение расписать как 1 (2/5) + 4 / 5= 1/ 1 + 2 / 5 + 4 / 5, а затем рассчитать ответ за два действия. Какой способ использовать, принципиальной разницы нет, но, пожалуй, первый удобнее и быстрее.

Приведение дробей к общему знаменателю.

Любые две дроби можно привести к одному и тому же знаменателю, или иначе к общему знаменателю.

Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей (например, произведение знаменателей).

Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

Для приведения дробей к общему знаменателю надо

• найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей (наименьший общий знаменатель);
• разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;
• умножить числитель и знаменатели каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Примеры приведения дробей к общему знаменателю

Привести к общему знаменателю дроби:

18/6 = 3 — дополнительный множитель первой дроби,
18/9 = 2 — дополнительный множитель второй дроби.

108/27 = 4 — дополнительный множитель первой дроби,
108/36 = 3 — дополнительный множитель второй дроби.

5 класс. Математика. 5.4.5. Примеры на приведение обыкновенных дробей к наименьшему общему знаменателю

Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей. (см. тему «Нахождение наименьшего общего кратного»:  5.3.5. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) данных чисел

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Примеры. Привести следующие дроби к наименьшему общему знаменателю.

Пример 1

Находим наименьшее общее кратное знаменателей: НОК(5; 4)=20, так как 20 — самое меньшее число, которое делится и на 5 и на 4. Находим для 1-й дроби дополнительный множитель 4 (20:5=4). Для 2-й дроби дополнительный множитель равен 5 (20:4=5). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 4, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 5. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (20).

Пример 2

Наименьший общий знаменатель этих дробей — число 8, так как 8 делится на 4 и на само себя. Дополнительного множителя к 1-й дроби не будет (или можно сказать, что он равен единице), ко 2-й дроби дополнительный множитель равен 2 (8:4=2). Умножаем числитель и знаменатель 2-й дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (8).

Пример 3

Данные дроби не являются несократимыми.

Пример 4

Находим наименьший общий знаменатель НОЗ(5; 6 и 15)=НОК(5; 6 и 15)=30. Дополнительный множитель к 1-й дроби равен 6 (30:5=6), дополнительный множитель ко 2-й дроби равен 5 (30:6=5), дополнительный множитель к 3-ей дроби равен 2 (30:15=2). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 6, числитель и знаменатель 2-й дроби на 5, числитель и знаменатель 3-ей дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (30).

( 7 оценок, среднее 3.29 из 5 )

Цель урока: закрепить основное свойство дроби, научить учащихся применять это свойство на практике приведения к общему знаменателю дробей, показать связь между приведением дробей к общему знаменателю и НОКом знаменателей дробей.

I. Организационный момент

II. Актуализация опорных знаний

Учитель фронтально опрашивает учащихся о основном свойстве дроби. Вспоминают понятие НОКа и способы нахождения НОКа двух чисел:

Поможет нам разобраться с этой темой основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Так, например, по основному свойству дробь 2/3 можно привести к знаменателю 6, умножив и числитель, и знаменатель на 2. Эту дробь можно привести и к знаменателю 9, и 12, и к любому другому числу, кратному 3.

Напомним, что дроби можно приводить только к тем знаменателям, которые кратны исходным.

Ученики по очереди называют числа, к которым можно привести знаменатель дроби ¾.

Дробь ¾ можно привести к знаменателю 4, 8, 12 и к любому другому числу, кратному 4.

III. Изучение нового материала

Говорят, можно 2/3 и ¾ можно привести к общему знаменателю.

То есть если у нас есть две дроби с разными знаменателями, мы можем сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Приведение к общему знаменателю понадобится для сложения и вычитания обыкновенных дробей. Кроме того, сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями очень просто.

Приведем к общему знаменателю дроби 11/12 и 17/18.

Сначала нам нужно найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей.

Учащиеся называют свои варианты чисел.

Таких чисел очень много: 36, 72, 108 и так далее.

Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.

То есть дроби можно привести к одинаковому знаменателю 36, 72, 108, 144 и так далее. Удобнее всего выбирать наименьший из возможных общих знаменателей, так как объем вычислений в этом случае будет минимальным.

11/12=33/36. Чтобы привести 11/12 к знаменателю 36, умножим числитель и знаменатель на 3.

Кстати, число, на которое мы умножаем числитель и знаменатель, называется «дополнительным множителем».

11/12=132/144. Чтобы привести 11/12 к знаменателю 144, умножим числитель и знаменатель на 12. А это немного сложнее, чем умножать на 3.

17/18=34/36. Чтобы привести 17/18 к знаменателю 36, умножим числитель и знаменатель на 2.

17/18=136/144. Чтобы привести 17/18 к знаменателю 144, умножим числитель и знаменатель на 8. Задумались? Поэтому не усложняйте сами себе задачу. Выбирайте наименьший общий знаменатель.

Ученики делают вывод о рациональности приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.

Для чисел 12 и 18 число 36 будет наименьшим общим кратным.

IV.Закрепление и практическое применение знаний

В математике существует много способов нахождения общего кратного чисел, а значит общего знаменателя для дробей.

Поэтому, если перед вами стоит задача приведения дробей к общему знаменателю, не торопитесь. Правильно выбранный способ может сократить ваше решение.

Приведем 7/12 и 5/48 к общему знаменателю. Вначале внимательно посмотрите на знаменатели дробей. Возможно, один из них делится на другой.

Ученики делают вывод, то знаменатель 48 делится на 12.

В этом случае дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать. 48 и будет общим знаменателем обеих дробей. А число, полученное в результате деления 48 на 12, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.

Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он только в случае, когда один знаменатель делится на другой.

Существует способ, который работает для любых дробей. Суть способа заключается в нахождении наименьшего общего кратного знаменателей. Этот способ используется чаще всего.

Приведем к общему знаменателю дроби 7/410 и 5/861.

Для начала найдём НОК чисел 410 и 861.

Разложим эти числа на простые множители. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь быстро раскладывать на простые множители. Главное — помнить признаки делимости и иметь под рукой таблицу простых чисел.

Теперь записываем все множители одного из чисел, например числа 861. Потом добавляем к ним недостающие множители из разложения другого числа. В этом примере в разложении числа 410 три множителя: 2, 5 и 41. Множитель 41 уже есть в записи, а множителей 2 и 5 нет. Эти недостающие множители мы и добавим к выписанным множителям числа 861.

Наименьшее общее кратное чисел 410 и 861 равно 8610.

Теперь найдем дополнительный множитель для дроби со знаменателем 410. Для этого 8610 делим на 410. Получим 21.

Теперь найдем дополнительный множитель для дроби со знаменателем 861. Для этого 8610 делим на 861. Получим 10.

Последний этап — умножение дробей на дополнительные множители.

Если вам сложно раскладывать числа на множители, находить наименьший общий знаменатель, то следующий способ для вас.

Приведём к общему знаменателю 3/10 и 5/6.

Для этого умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби.

А вторую — на знаменатель первой.

В результате знаменатели обеих дробей стали равными произведению исходных знаменателей.

Этот способ простой для понимания. Но приготовьтесь много считать, если используете этот способ для дробей с большими числами в числителе и знаменателе.

Учитель вместе с учениками проговаривают все возможные способы приведения, все достоинства и недостатки.

№ 275, 278, 283.

V. Подведение итогов урока. Рефлексия

Любые две дроби можно привести к одному и тому же знаменателю, или, иначе, к общему знаменателю.

Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

VI. Домашнее задание

§2, п. 10, № 299, 300.

Операция приведения дробей к общему знаменателю в 5 классе используется при выполнении сложения и вычитания, а также для упрощения выражений. Делать это позволяет определенная методика, которой следует придерживаться. Она также оптимизирует вычислительный процесс, экономя драгоценное время и уменьшая число ошибок на начальной стадии обучения. Перед ее изучением математики рекомендуют получить базовые знания.

Базовая информация

Обыкновенная дробь — значение, состоящее из верхней части (числителя) и нижней (знаменателя). Они разделены чертой. Обыкновенные дробные величины бывают трех типов: правильными, неправильными и смешанными. К первой группе относятся значения, числитель которых меньше знаменателя, ко второй — наоборот. Промежуточным значением является смешанное число. Оно состоит из целой и дробной частей.

Чтобы выполнить арифметические операции сложения и вычитания, нужно привести дроби к общему знаменателю (ОЗ). Последнее математическое действие обусловлено нахождением наименьшего общего кратного (НОК). Для этой операции могут потребоваться:

• Знание признаков делимости одного числа на другое.
• Умение переводить смешанную дробь в неправильную.
• Разложение на множители.
• Правильно находить коэффициенты для числителей.

Изучение приведения дробей к ОЗ всегда начинается с признаков делимости.

Признаки делимости

Перед ознакомлением с признаками деления чисел нужно внести определенные термины, чтобы учащиеся не путались в правилах. Цифры — математические символы, которые используются для создания чисел. Числа — количественные характеристики, необходимые для выражения фактических данных. У каждого значения существует разрядная сетка (РС). Она состоит из разрядов, именуемых единицами, десятками, сотнями, тысячами и т. д.

Каждую величину возможно разложить при помощи разрядной сетки, т. е. 1941=1000+900+40+1, где 1000, 900, 40 и 1 — разряды тысяч, сотен, десятков и единиц. Как правило, чтение разрядов происходит слева направо.

Признаки делимости — правила, на основании которых одно число (делимое) нацело делится на другое (делитель). Их существует большое количество, но на практике при решении заданий на уроках алгебры применяются следующие:

• 1: числовая прямая всех действительных чисел R (от минус бесконечности до плюс бесконечности);
• 2: первый разряд (единицы) является четным значением;

Для удобства критерии рекомендуется написать на картоне. Далее нужно рассмотреть алгоритм преобразования смешанной дроби в неправильную.

Работа со смешанными числами

Для преобразования неправильной дроби в смешанное число используется определенный алгоритм. Он имеет такой вид:

• Поделить числитель на знаменатель, выделив целую часть.
• Перемножить знаменатель и целое значение.
• Отнять от искомого числителя величину, полученную во втором пункте.

Специалисты рекомендуют после алгоритма разобрать его реализацию на примере дробного выражения 25/3. Правильная методика преобразования выглядит следующим образом:

Однако нужно уметь выполнять обратную операцию (проверочную) преобразования смешанного числа в неправильную дробь. Для этого требуется выполнить пункты алгоритма в обратном порядке:

Иными словами, следует умножить знаменатель на целую часть, а затем к результату прибавить числитель.

Приведение к одному знаменателю

Приведение к общему знаменателю — довольно простая операция. Для этого необходимо разобрать все случаи, а также алгоритмы, используемые для этого:

• Одна величина делится на другую без остатка (делимое и делитель).
• Знаменатели — простые числа.
• Состоят из общих множителей.

Для каждого из трех вариантов используются различные методики, позволяющие найти знаменатель дроби, которая является результирующей.

Делимое и делитель

Вариант, при котором одну величину возможно разделить на другую без остатка, является наиболее простым. Алгоритм имеет следующий вид:

• Если есть необходимость, нужно выполнить операцию конвертации смешанного числа в неправильную дробь.
• Поделить больший знаменатель на меньший.
• Написать соответствующий коэффициент над дробью с наименьшим знаменателем, а затем перемножить его с числителем.
• Записать найденный знаменатель, а затем выполнить арифметическую операцию разности или суммы.

Для реализации алгоритма следует привести дроби 8/20 и 4/5 к ОЗ. Операция осуществляется таким образом:

• 8/20 и (4*20/5)/20.
• 8/20 и 16/20.

Простые элементы

Иногда знаменатели могут быть простыми элементами. В этом случае приводить их нужно по такому алгоритму:

• Перевести в обыкновенные неправильные дроби.
• Перемножить знаменатели, записав крест-накрест множители над числителями.
• Общий знаменатель — произведение исходных знаменателей.
• Перемножить коэффициенты и числители, записав результаты.

Методика называется «крест-накрест». Чтобы понять, когда ее нужно использовать, требуется окончательно убедиться в принадлежности знаменателей к простым числам. Последние делятся только на 1 или равную им величину, т. е. 7/1 и 7/7. Для примера следует решить задачу на приведение дробей с разными знаменателями к общему (3/7 и 2/5). Задание следует решать по такому алгоритму:

• Преобразовать первое дробное выражение: (3*5)/35=15/35.
• Вторая величина: (2*7)/35=14/35.

Результат выполнения операции преобразования имеет такой вид: 15/35 и 14/35. Суть решения возможно объяснить другими словами: если знаменатели дробей являются простыми числами, то коэффициенты при числителях эквивалентны их противоположным значениям, а результирующий знаменатель — произведение исходных делителей.

Общие сомножители

Иногда следует применить все знания, чтобы привести дроби к знаменателю в 8 классе (дисциплина — «алгебра и начало анализа»), который должен быть общим. Выход из ситуации — нахождение НОК. Операция осуществляется по алгоритму:

• Разложение знаменателей на простые элементы.
• Общий знаменатель эквивалентен произведению наименьшего элемента на недостающие сомножители.
• Поиск коэффициентов для числителей и их перемножение.
• Запись искомого результата.

Специалисты рекомендуют разбирать реализацию алгоритма на примере. Для этого следует привести 2 дроби 3/8 и 5/12 к общему знаменателю:

• 8=2*2*2.
• 12=2*2*3.
• Коэффициент для I дробного значения: 3*3/24=9/24.
• Величина, на которую требуется умножить числитель второй дроби: 5*2/24=10/24.
• Результат: 9/24 и 10/24.

Для проверки результатов можно воспользоваться специальными онлайн-сервисами. Однако их математики рекомендуют применять только для сопоставления с ответами, полученными при решении ручным методом без использования средств вычислительной техники.

Таким образом, для приведения дробей к ОЗ необходимо знать признаки делимости, а также основные методики выполнения этой операции.

Самый простой способ, как привести дробь к общему знаменателю, — верхнюю и нижнюю части первой дроби умножить на значение в знаменателе второй, а верхнюю и нижнюю часть второго дробного числа — на значение в знаменателе первой. Проверочное правило, действующее в этом случае: дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

Даны две дроби: 3/13 и 3/7. После выполнения необходимых действий получится: 3/13*7 = 21/91, 3/7*13 =39/91.

Общий знаменатель (ОЗ) — это любое натуральное число, которое является всеобщим кратным всех данных дробей. Иными словами, это значит, что ОЗ может быть любое число из натуральных, которое обязательно будет делиться на знаменатель каждого дробного числа. Допустим, есть две обычных дробных соотношения 4/8 и 5/10. ОЗ в этом случае может быть любым значением, кратным 8 и 10. А конкретно, это значения: 80, 160, 240, 320, 400 и так далее.

Дано 3 дробных значения: 1/5, 3/10 и 9/15. Вопрос: может ли ОЗ быть числом 330? Ответ: да, потому что оно делится на знаменатель каждого соотношения без остатка: 330/5 = 66, 330/10 = 33, 330/15 = 22.

НОЗ и НОК

При работе с дробями используются наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее натуральное число среди всех ОЗ ряда дробных чисел и наименьшее общее кратное (НОК) — это самый меньший общий делитель данного ряда чисел.

Наименьшее общее кратное — это НОЗ этого ряда. К нему можно прийти поиском НОК.

Например, необходимо провести следующую операцию для двух дробных значений: 7/16, 19/6. Нужно узнать, какой НОК у 16 и 6. Простые множители этих чисел:

16=8*2; 6= 3*2

НОК (16, 6) =8*2*3= 48.

Число 48 и есть искомый НОЗ.

Существует простое правило о том, как перевести дробное число к НОЗ. Вычисления проводятся по порядку:

• Найти НОК.
• Для каждого дробного числа из ряда определить дополнительный множитель. Определить его можно с помощью деления НОЗ на знаменатель каждой из дробей.
• Умножить обе части каждой дроби на их дополнительные множители.

Пример. Есть 2 дробных значения: 3/14 и 18/30. Теперь можно воспользоваться правилом, для того чтобы найти НОЗ:

• Найти НОК: 14 = 2*7; 30 = 5*2*3; НОК (14,32) = 5*2*7*3 = 210;
• Найти дополнительные множители: 210/14 = 15; 210/30 = 7;
• Перемножить верхнюю и нижнюю части с дополнительными множителями: 3*15/14*15 = 45/210; 18*7/30*7 = 126/210.

Примеры с несколькими дробями

Правило поиска ОЗ и НОЗ действует также и в отношении нескольких дробных чисел в ряде. Есть три значения: 3/9, 8/11 и 10/12. Для того чтобы переводить их, нужно совершать те же действия, которые представлены в правиле:

НОК (9; 11) = 99; НОК (99; 12) = 39; НОК (9; 11; 12) = 396;

396/9 = 44; 396/11 = 36; 396/12 = 33;

3*44/9*44 = 132/396; 8*36/11*36 =288/396; 10*33/12*33 =330/396;

Приводить дробные соотношения к ОЗ требуется во многих случаях. Вычисление этой величины необходимо, чтобы получить разность дробей, провести их сложение, умножение или деление, а также при решении задач на доли и проценты, так как процентные соотношения — это обыкновенные выражения, которые содержат дробные соотношения.