Наталья Игоревна Восковская
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Что такое чётная функция
Обратимся к определению чётности функции через формулу.
Другими словами, нужно в формулу функции вместо «» подставить
«». Затем сравнить полученный результат с формулой исходной функцией.
Если в итоге «» будет равен исходной функции
«», значит, эта функция чётная.
Давайте разбираться на практике.
Разбор примера
Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:
у = 2×4
Подставим «» вместо «» в исходную функцию «у = 2×4».
Если в итоге мы получим исходную функцию, значит, она чётная.
При возведении в чётную степень
отрицательного числа всегда
получается положительное число.
у(−x) = 2(−x)4 = 2×4
Проверим, выполняется ли условие чётности функции «у(−x) = у(x)».
После подстановки «»
мы получили исходную функцию «у = 2×4». Условие чётности функции
«у(−x) = у(x)» выполнено.
Ответ: функция «у = 2×4» чётная.
Данный калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции онлайн. Четность и нечетность функции определяет ее симметрию.
Функция y=f(x) является четной, если для любого значения x∈X выполняется следующее равенство: f(-x)=f(x). Область определения четной функции должна быть симметрична относительно ноля. Если точка b принадлежит области определения четной функции, то точка –b также принадлежит данной области определения. График четной функции также будет симметричен относительно центра координат.
Нечетной называется функция y=f(x) при условии выполнения равенства f(-x)=-f(x). График функции нечетной функции, в отличие от четной, симметричен относительно оси координат. Если точка b принадлежит области определения нечетной функции, то точка –b также принадлежит области определения этой функции.
Если функцию нельзя назвать четной или нечетной, то такая функция является функцией общего вида, которая не обладает симметрией.
Для того чтобы определить четность или нечетность функции, необходимо ввести функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.
Расшифровка ответов следующая:
• even – четная функция
• odd – нечетная функция
• neither even nor odd – функция общего вида
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу «На главный экран»
Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу «На главный экран»
Что такое нечётная функция
Функция «» называется , если
у(x) = у(x)
для любого «» из области определения функции.
Порядок анализа функции на нечётность:
- подставить «» в исходную функцию, чтобы получить «»;
- вычислить «»;
- сравнить «» и «». Если они равны,
то функция нечётная.
у = 3x 5
Подставим «» вместо «» в формулу функции
«у(x) = 3x 5».
При возведении в нечётную степень
отрицательного числа получается отрицательное число.
у(−x) = 3(−x) 5 = −3x 5
Теперь получим «».
Для этого умножим левую и правую часть исходной функции
«у = 3x 5»
на «».
−у(x) = −3x 5
Сравним полученные результаты «» и
«».
Ответ: функция «у(x) = 3x 5» нечётная.
Не бывает функций, которые одновременно являются чётными и нечётными.
Поэтому, если при анализе функции вы выяснили, что функция является чётной (или нечётной), нет смысла продолжать ее
анализ на чётность/нечётность. Можно сразу записывать ответ.
Функции, которые не являются ни чётными, ни нечётными
Не все функции обязательно являются чётными или нечётными. Есть функции, которые не являются ни чётными, ни нечётными.
у = x 3 − 2
Проверим, является ли функция «у = x 3 − 2» чётной.
По определению чётной функции
должно выполняться условие
«у(−x) = у(x)».
Подставим «» вместо «» в исходную функцию
«у = x 3 − 2».
Возведение в нечётную степень отрицательного числа даст отрицательное число.
у(−x) = (−x) 3 − 2 =
−x 3 − 2
Сравним исходную функцию «» и полученную «»,
чтобы проверить, является ли функция «у = x 3 − 2» чётной.
Теперь проверим, является ли функция «у(x) = x 3 − 2»
нечётной. По определению
нечётной функции
должно выполняться условие:
«у(−x) = −у(x)».
Функцию «» мы рассчитали выше. Осталось вычислить
«». Для этого умножим левую и правую часть исходной функции
«у = x 3 − 2»
на «».
−у(x) = −(x 3 − 2)
Используем
правило раскрытия скобок.
Так как перед скобкой «(x 3 − 2)» стоит знак минуса, все слагаемые
внутри поменяют знак на противоположный.
Сравним «» и «».
Ответ: функция «у(x) = x 3 − 2» не является ни чётной, ни нечётной.
Другие примеры чётных и нечётных функций
у = x 2 − x + 1
Проверим, является ли функция «у = x 2 − x + 1» чётной,
то есть должно выполняться условие «у(−x) = у(x)».
Подставим «» вместо «» в формулу функции.
При возведении в чётную степень получается положительное число.
у(−x) = (x) 2 − (−x) + 1
Раскроем скобки «» по правилу раскрытия скобок: минус на минус даёт плюс.
у(−x) = (−x) 2 − (−x) + 1 =
x 2
(x) + 1 =
x 2 x + 1
Сравним полученную «» с исходной функцией «».
Проверим, является ли функция «у = x 2 − x + 1»
нечётной функцией.
Для этого должно выполняться условие:
«у(−x) = −у(x)».
Выражение «»
мы уже посчитали выше. Теперь вычислим «».
Умножим левую и правую часть исходной функции на «».
(−1) · у(x) = (−1) · (x 2 − x + 1)
Используем правило раскрытия скобок.
При умножении на «» все слагаемые внутри скобок
поменяют свой знак на противоположный.
−у(x) = −x 2 + x − 1
Сравним полученные «» и «».
Ответ: функция «у = x 2 − x + 1» не является ни чётной, ни нечётной.
Исследуйте на чётность функцию:
у = √ · √
По определению чётности функции «у(−x) = у(x)». Вычислим «»,
подставив «» вместо «».
у() =
√() − 1 · √() + 1 =
Вынесем «» из каждого корня. После этого каждое слагаемое внутри корней поменяет знак на противоположный.
Умножим «» на «»,
используя правило знака: минус на минус дает плюс.
От перемены мест множителей произведение не меняется. Поменяем местами
«√» и
«√».
Проверим, выполняется ли
условие чётности
функции «у(−x) = у(x)».
Ответ: функция «у = √ · √» является чётной.
Показать, что функция не является чётной и не является нечётной:
По определению чётности функции «y(−x) = y(x)».
Вычислим «».
Подставим «» в исходную функцию
«».
Проверим функцию «» на нечётность.
По определению нечётности функции «y(−x) = −y(x)». Функцию
«» мы вычислили ранее. Вычислим «».
Для этого умножим левую и правую часть исходной функции
на «».
Ответ: функция «»
не является ни чётной, ни нечётной.
Нечетные функции
Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть нечетной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться
Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будут также совпадать по модулю и отрицательны по знакам, то график этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).
«Четные и нечетные функции» 👇
Функция общего вида
Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть функцией общего вида, если она не будет ни четной, ни нечетной.
Для того чтобы понять, что данная функция является функцией общего вида, необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $–x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить невыполнение условий определений 1 и 2.
Пример задачи
Исследовать функцию на четность и нечетность и построить их графики.
Изобразим её на графике:
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Четность и нечетность функции
Определения и свойства четных и нечетных функций
(
f(x)
) называется четной функцией, если для любого x из области определения выполняется равенство (
f(-x)=f(x)
)
Функция (
f(x)
) называется нечетной функцией, если для любого x из области определения выполняется равенство (
f(-x)=-f(x)
)
Если ни одно из условий (
f(-x)=f(x)
) или (
f(-x)=-f(x)
) не выполняется, то говорят, что функция (
f(x)
) не является ни четной, ни нечетной (или функцией общего вида)
График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
При исследовании функции на четность и нечетность можно использовать следующие свойства:
1.Сумма двух четных функций четна, а сумма двух нечетных функций нечетна.
2.Произведение двух четных функций является четной функцией, равно как и произведение двух нечетных функций. Произведение четной и нечетной функции — нечетная функция.
Примеры решения задач
Используя определение исследовать на четность и нечетность следующие функции
Исследуем отдельно четность функции, которые находятся в числителе и знаменателе:
то есть функция (
g(x)
) четная; аналогично
а тогда и функция (
h(x)
) четная.
Исследованная функция четная.
Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть четной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться
Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).
Сделаем домашку
с вашим ребенком за 380 ₽
Уделите время себе, а мы сделаем всю домашку с вашим ребенком в режиме online
