На прошлых занятиях мы рассматривали плоские фигуры.
В реальности же каждый предмет, какой бы он формы не был, занимает некоторую часть пространства.
Даже у самого тонкого листа бумаги имеется толщина.
Если взять стопку таких листов, то объем стопки бумаги будет хорошо заметен.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры и их свойства в пространстве, называется стереометрией.
Слово стереометрия происходит от древнегреческого «стериос»- объемный, пространственный и «метрио»- измерять.
Базовыми фигурами в пространстве, как и на плоскости, является точка, прямая и плоскость, из которых образуются объемные геометрические фигуры, тела, пространства.
Геометрическое тело, состоящее из плоских многоугольников, называют многогранником.
Существует огромное множество многогранников: выпуклые, невыпуклые, правильные и т.д.
На данном уроке познакомимся с выпуклым прямоугольным многоугольником, который называется параллелепипед.
Выясним, как прямоугольный параллелепипед выглядит и из каких элементов он состоит.
Рассмотрим его свойства.
Научимся изображать данный многоугольник на плоскости и вычислять площадь его поверхности.
Разберем несколько примеров решения задач.
Каждый может себе представить и знает, как выглядят детские кубики.
С кубиками и конструктором из брусочков прямоугольной формы многие знакомы с раннего детства: строили домики, башенки, дороги, затем все это радостно рушили.
Всем известно, как выглядит коробка конфет или долька шоколада. Многие получали подарки в красивой красочной коробке с ярким бантом, читали книги с увлекательными рассказами и сказками.
Все эти знакомые вам предметы – это объемные тела, которые в реальности можно посмотреть, потрогать со всех сторон.
Если обратим внимание на форму, то заметим, что все изображенные объекты имеют некоторое сходство, они представляют собой прямоугольный параллелепипед.
Слово «параллелепипед» происходит от двух греческих слов: «параллелос» – идущие рядом и «опипедон» – плоскость.
Прямоугольный параллелепипед-это объемная геометрическая фигура, многогранник, состоящий из шести прямоугольников.
Прямоугольный параллелепипед – это пространственная фигура.
Плоские фигуры, такие как квадрат, прямоугольник, треугольник изобразить на плоскости легко, они являются её частью.
Любую объемную фигуру изобразить на плоскости затруднительно.
Многогранник необходимо изобразить так, чтобы была заметна объемность фигуры.
Для этого все линии многогранника, невидимые глазу, принято изображать на рисунке пунктирными линиями, а видимые – сплошными линиями.
Пунктирная линия дает возможность понять наблюдателю, как расположен многогранник и определить, откуда необходимо смотреть на него.
Если мы изобразим параллелепипед только сплошной линией, то на рисунке будут изображены различные четырехугольники, соединенные между собой, а объемного представления многоугольника данный рисунок не даст.
Даже если нам известно, что изображен прямоугольный параллелепипед, то все равно непонятно какой стороной расположен многогранник к наблюдателю.
Если невидимые линии на рисунке изобразить пунктирными линиями, то у фигуры сразу будет заметен объем.
Прямоугольный параллелепипед изображают так:
Прямоугольники, из которых состоит прямоугольный параллелепипед, называют гранями, причем противоположные грани его попарно равны.
Верхняя грань равна нижней, правая равна левой, передняя грань равна задней.
Грань, на которой стоит прямоугольный параллелепипед, называют нижним основанием, противоположную грань называют верхним основанием параллелепипеда.
Остальные четыре грани называют боковыми гранями.
Стороны граней называют ребрами параллелепипеда.
Концы ребер, т.е. вершины граней, называют вершинами параллелепипеда.
На рисунке вершины изображены точками.
Прямоугольный параллелепипед имеет три линейные величины (три измерения): ширину, длину и высоту.
Величину прямоугольного параллелепипеда определяют длинами трех ребер, исходящих из одной вершины.
Если все три величины прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед называют кубом.
Другими словами, куб – это частный случай параллелепипеда.
Куб – это правильный многоугольник, состоящий из шести одинаковых квадратов.
Куб по-другому называют правильный гексаэдр (от греческого «hex»- шесть и «hedra»- грань).
Куб выглядит так:
Он имеет все те же элементы, что и прямоугольный параллелепипед.
Все шесть граней куба равны, следовательно, и все 12 ребер между собой равны.
Куб так же имеет 2 основания: нижнее, на котором он стоит, и противоположное ему – верхнее.
Остальные четыре его грани – это боковые грани.
Если посмотреть вокруг, то мы можем заметить огромное множество объектов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда или напоминающих его форму.
Так, например, большинство зданий и помещений, шкаф (тумбочка), столешница, аквариум, коробка, кирпичи и многое другое представляют собой прямоугольный параллелепипед.
Такой многогранник имеет широкое применение в различных областях нашей жизни, и это неспроста:
1) прямоугольная форма параллелепипеда удобна для деления целого на части
2) объекты прямоугольной формы легко надстраивать и совмещать
3) прямоугольный параллелепипед является одним из самых устойчивых многогранников
Часто приходится определять площадь поверхности объекта, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда.
Давайте разберемся, как и с помощью каких формул можно вычислить площадь его поверхности.
Допустим, у нас есть коробка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда.
Попробуем изобразить развертку данного геометрического тела.
Развертка параллелепипеда – это изображение его поверхности в виде плоской фигуры, составленной из двух равных оснований: прямоугольников и четырех боковых граней (прямоугольников, попарно равных друг другу).
Площадь этой развертки- это и есть площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Так как прямоугольный параллелепипед состоит из шести граней, имеющих форму прямоугольников, причем противоположные грани равны по величине, то площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда будет равна сумме площадей всех его шести граней.
Пусть для нашего прямоугольного параллелепипеда три ребра, выходящие из одной вершины, имеют значения а, b, h.
а- ширина прямоугольного параллелепипеда
b- длина прямоугольного параллелепипеда
h- высота прямоугольного параллелепипеда
Найдем площадь всех граней.
Воспользуемся формулой для расчета площади прямоугольника: площадь прямоугольника равна произведению его ширины на длину.
Ребра, лежащие напротив ребер а, b, h, будут иметь такие же значения длины, так как противолежащие ребра прямоугольного параллелепипеда равны.
В таком случае получаем:
1) Площадь нижнего основания равна произведению (a ∙ b)
2) Площадь верхнего основания также равна произведению (a ∙ b)
3) Площадь левой боковой и правой боковой граней равны, как противолежащие, площадь каждой из них определяется произведением (b ∙ h)
4) Передняя и задняя боковые грани равны, а значение площади каждой из них будет определяться произведением (а ∙ h)
Сложим площади всех граней прямоугольного параллелепипеда, получим общую площадь его поверхности.
Упростим выражение, вынесем 2 за скобку.
Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда будет выглядеть так:
Площадь двух оснований прямоугольного параллелепипеда (это два прямоугольника) найдем по формуле:
Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле:
Sбок = 2h ∙ (a + b).
В нашем случае а, b- это стороны основания, h- это высота прямоугольного параллелепипеда (боковое ребро).
Так как основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник, то периметр основания прямоугольного параллелепипеда определяется равенством
Роснов = 2 ∙ (a + b).
Подставим Роснов в формулу Sбок = 2h ∙ (a + b) вместо выражения 2 ∙ (a + b).
Тогда площадь боковой поверхности можно найти так:
Sбок = Роснов ∙ h.
Определим площадь поверхности куба.
Известно, что куб – это прямоугольный параллелепипед, поверхность которого состоит из шести одинаковых граней, имеющих форму квадрата.
Чтобы найти площадь поверхности куба, необходимо сложить площади всех его граней.
Площадь одной грани куба найдем по формуле площади квадрата:
S = a2
а- это сторона квадрата (ребро куба).
Так как все 6 граней куба представляют собой равные по площади квадраты, следовательно, чтобы найти площадь всей поверхности куба, необходимо площадь одной грани умножить на их количество.
Формула площади поверхности куба выглядит так:
Рассмотрим решение нескольких практических задач.
В процессе любого строительства или ремонта очень часто встает вопрос о том, сколько необходимо потратить строительного и отделочного материала или как рассчитать расход краски.
Какое количество краски понадобится, чтобы полностью покрасить бак прямоугольной формы?
Ширина бака 2 метра, длина 3 метра, высота 1 метр.
Известно, что на 1 м2 расходуется 200 г краски.
Чтобы рассчитать количество краски, которое нужно затратить на покраску бака, необходимо определить площадь окрашиваемой поверхности, затем, зная норму расхода краски на единицу площади, можно рассчитать расход краски на всю окрашиваемую поверхность.
Пусть m1- масса краски, которая расходуется на 1 м2
m2- масса краски, которая необходима для покраски всего бака.
Сколько квадратных метров стекла понадобится на изготовление аквариума кубической формы длиной 100 см?
Для вычисления площади поверхности аквариума в квадратных метрах необходимо длину аквариума перевести из сантиметров в метры.
Вспомним, 1 м = 100 см.
Если бы аквариум необходимо было изготовить только из боковых стенок и основания, то из стекла пришлось бы вырезать всего 5 квадратных граней.
В таком случае формула для вычисления площади поверхности аквариума приняла бы вид
S = 5 а2.
Хозяйка решила покрасить стены в комнате.
Вычислите площадь поверхности стен комнаты, в которой имеется дверной проем площадью 2 м2 и оконный проем площадью 1 м2.
Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда.
Ширина комнаты 3 метра, длина комнаты 4 метра, высота комнаты 3 метра.
Пусть Sc- общая площадь стен комнаты.
Sд- площадь дверного проема.
Sо- площадь оконного проема.
S- площадь стен комнаты за исключением площади дверного и оконного проемов.
Вокруг нас находится огромное множество объектов – «физических тел».
Все реальные тела занимают некоторое место в пространстве, поэтому часто приходиться сталкиваться с таким понятием как объем.
На этом уроке мы попытаемся выяснить, что такое объем.
Определим его основные свойства.
Узнаем, в каких единицах измерения объем выражается.
Выясним, как взаимосвязаны между собой единицы объема.
Научимся находить объем прямоугольного параллелепипеда и применим эти знания при решении задач.
Итак, любое тело в пространстве характеризуется объемом.
Давайте разберемся, что же такое объем.
Объем слово многозначное.
Выделяют два основных значения слова «объем».
1. Объемом называют величину, которая характеризует содержание чего-либо или количество содержащегося.
В математике объем имеет несколько другое значение.
Рассмотрим понятие объема с геометрической точки зрения.
2. Объем- это величина, характеризующая размер тела в пространстве.
Другими словами, объем- это величина, которая показывает сколько места тело занимает в пространстве.
Обычно объем обозначается латинской буквой V (от лат. volume- объем, наполнение).
Объем тела определяется его формой и размером.
Объем, как и любую другую величину, можно измерять.
Известно, чтобы измерить величину некоторой фигуры, необходимо определить сколько раз в ней помещается другая фигура, принятая за единицу измерения.
На прошлых уроках мы выяснили, что при измерении длины используют линейные меры длины (1 мм, 1 см, 1 дм и т.д.), площадь измеряют квадратными единицами длины (1 мм2, 1 см2, 1 дм2 и т.д.).
Квадратная единица представляет собой квадрат, стороны которого выражены линейными единицами.
Общее количество таких единичных квадратов, содержащихся в фигуре, – это площадь фигуры.
Аналогично дело обстоит с измерением объема фигуры.
Однако, чтобы определить размеры фигуры на плоскости, необходимо знать только две величины: ширину и длину, а для определения размеров пространственной фигуры кроме длины и ширины необходимо знать третью линейную меру – высоту.
Объем измеряют кубическими единицами.
Кубическая единица представляет собой куб, стороны которого выражены линейными единицами. Другими словами, объем измеряется кубическими единицами длины.
Измерить объем фигуры- это значит найти сколько кубических единиц содержится в данной фигуре.
Определим объем уже известной нам пространственной фигуры- прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед- это объемная геометрическая фигура, многогранник, состоящий из шести граней-прямоугольников, причем противоположные грани его попарно равны.
Объем прямоугольного параллелепипеда- это число, которое показывает, какое количество кубических единиц помещается в этот прямоугольный параллелепипед.
Таким образом, если разбить фигуру на n равных единичных кубиков, то объем будет равен n кубических единиц.
Пусть прямоугольный параллелепипед имеет следующие размеры:
Высота прямоугольного параллелепипеда- это расстояние между нижним и верхним основанием.
Выложим на нижнее основание прямоугольного параллелепипеда вдоль самой длинной стороны ряд из единичных кубиков (ребро каждого такого кубика равно одной единице длинны).
В такой ряд поместиться 6 единичных кубиков.
Чтобы закрыть все нижнее основание прямоугольного параллелепипеда, необходимо выложить 3 таких ряда по 6 кубиков в каждом.
Количество единичных кубиков, выложенных в основании, будет определяться выражением 6 ∙ 3.
Найдем значение данного выражения:
6 ∙ 3 = 18 (ед. кубиков).
Слой кубиков, из которых выложено дно прямоугольного параллелепипеда, состоит из 18 единичных кубиков.
Сколько таких слоев можно поместить в прямоугольный параллелепипед зависит от его высоты.
В нашем случае высота прямоугольного параллелепипеда равна двум единицам длины.
Следовательно, в измеряемом прямоугольном параллелепипеде можно уместить 2 слоя (каждый по 18 единичных кубиков).
Общее количество единичных кубиков будет определяться выражением 2 ∙ 18.
2 ∙ 18 = 36 (ед. кубиков).
Следовательно, объем всего прямоугольного параллелепипеда равен 36 кубическим единицам.
По сути, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нам пришлось перемножить длины трех его сторон: ширины а = 3 (ед. длины), длины b = 6 (ед. длины), высоты h = 2 (ед. длины).
V =a ∙ b ∙ h = 3 ∙ 6 ∙ 2 = 36 (кубических единиц).
Запишем правило нахождения объема прямоугольного параллелепипеда.
Правило: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (трех его сторон: ширины а, длины b, высоты h), выраженных в одинаковых единицах измерения.
Запишем правило в виде формулы.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда выглядит так:
Таким образом, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, не обязательно разбивать его на кубические единицы и считать их общее количество, необходимо просто знать длину, ширину и высоту этой фигуры.
Выясним, как выглядит формула объема для куба.
Известно, что куб- это прямоугольный параллелепипед, состоящий из шести одинаковых квадратов, следовательно, все ребра куба равны между собой; значит, ширина, длина и высота имеют одинаковые значения.
Таким образом, вычислить объем куба довольно просто, если знать значение его ребра.
Пусть а- это длина ребра куба.
Тогда для куба справедливо следующее: b = а, h = а.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда V = a ∙ b ∙ h для куба примет вид:
V = a ∙ а ∙ а = а3
Умножив ширину на длину и на высоту, получим произведение трех равных по значению множителей.
Произведение трех множителей – это куб числа.
Правило: чтобы вычислить объем куба, нужно перемножить значения трех его ребер или просто возвести ребро куба в третью степень.
За единицу измерения объема принимают кубическую единицу.
Объем такого куба находится как V = a ∙ b ∙ h.
Исходные линейные меры могут быть любыми: миллиметрами, сантиметрами, дециметрами и т.д.
По правилу, при вычислении объема тела, единицы измерения длины, ширины и высоты должны совпадать.
Значение объема будет непосредственно зависеть от выбранной единицы измерения.
К основным единицам объема относят:
1. Кубический метр- это основная единица измерения объема в системе СИ.
Кубический метр (кубометр)- это куб, у которого ребро равно одному метру (1 м).
Русское обозначение: м3.
Международное обозначение: m3.
V = 1 м ∙ 1 м ∙ 1 м = 1 м3.
Широко используется кубический метр в быту, в науке и технике, в строительстве и архитектуре, на производстве и др.
Обычно в кубических метрах измеряют расход и потребление воды и бытового газа.
В кубометрах измеряют объемы древесины и пиломатериалов, объемы различных сыпучих строительных материалов (гравий, песок и т.д.), объемы самых разнообразных жидкостей и емкостей под них и т.д.
Существуют и другие производные от метра единицы измерения объемов, которые так же являются единицами измерения системы СИ.
2. Кубический миллиметр- это куб, у которого ребро равно одному миллиметру (1 мм).
Русское обозначение: мм3.
Международное обозначение: mm3.
V = 1 мм ∙ 1 мм ∙ 1 мм = 1 мм3.
3. Кубический сантиметр- это куб, у которого ребро равно одному сантиметру (1 см).
Русское обозначение: см3.
Международное обозначение: сm3.
V = 1 cм ∙ 1 cм ∙ 1 cм = 1 см3.
В кубических сантиметрах измеряют, например, объем двигателя.
Шкала медицинского одноразового шприца выражается в кубических сантиметрах.
В медицине существует разговорное обозначение кубического сантиметра, его называют «кубик».
4. Кубический дециметр- это мера объема, равная объему куба с ребром один дециметр (1 дм).
Русское обозначение: дм3.
Международное обозначение: dm3.
V = 1 дм ∙ 1 дм ∙ 1 дм = 1 дм3.
Например, воздухопроницаемость тканей измеряют в дециметрах кубических.
Воздухопроницаемость- это способность материалов пропускать один кубический дециметр (дм3) воздуха через 1 м2 материала за одну секунду.
Этот показатель учитывают при производстве одежды, обуви, упаковочных материалов и т.д.
Например, воздухопроницаемость больше у летней одежды и обуви, чем у зимней.
5. Кубический километр представляет собой куб, у которого ребро равно одному километру (1 км).
Русское обозначение: км3.
Международное обозначение: km3.
V = 1 км ∙ 1 км ∙ 1 км = 1 км3.
Используют данную единицу измерения не часто, в основном для замеров больших объемов водных объектов.
Существуют единицы объема, которые не являются единицами Международной системы единиц СИ (их называют внесистемными единицами), однако они допускаются к применению вместе с единицами системы СИ.
Такой единицей объема является литр.
Литр (от лат.- «мера емкости»)- метрическая единица измерения объема.
Русское обозначение: л.
Международное обозначение: l.
В некоторых странах используют в качестве альтернативного варианта обозначения объема заглавную латинскую букву L.
Литр- это объем куба с ребром в 1 дм.
V = 1 л = 1 дм ∙ 1 дм ∙ 1 дм = 1 дм3.
Один литр равен одному кубическому дециметру.
Так как 1 дм = 10 см.
Следовательно, V = 1 л = 10 см ∙ 10 см ∙ 10 см = 1000 см3
Литр- одна из наиболее используемых единиц в метрической системе, часто используются в быту.
Чаще всего литрами измеряют жидкие и газообразные вещества, литрами измеряют вместимость сосудов и емкостей (например, банок, кувшинов, чайников, ведер, кастрюль и т.д.), а также объемы бытовой и кухонной техники (микроволновой печи, холодильника, электрической печи и т.д.).
На АЗС бензин измеряют литрами, в литрах же выражается объем топливного бака, объем багажного отделения и др.
Кроме самого литра используют производные от него единицы.
Русское обозначение: мл.
Международное обозначение: ml.
Один миллилитр равен одному кубическому сантиметру:
V = 1 мл = 1 см ∙ 1 см ∙ 1 см = 1 см3
Часто используют в медицине и фармацевтике (для определения дозировки лекарственного средства, измерения объемов компонентов медицинского препарата, в лабораторных исследованиях).
В кулинарии для некоторых рецептов указывают объемы ингредиентов в миллилитрах.
Русское обозначение: дал.
Международное обозначение: dal или daL.
Один декалитр равен 10 литрам (10 дм3).
Русское обозначение: гл.
Международное обозначение: hl или hL.
Один гектолитр равен 100 литрам (100 дм3).
Декалитр и гектолитр- это наиболее часто используемые меры объема в виноделии.
Порой при решении задач значения объемов выражены в различных единицах измерения.
Если единицы измерения различны, то их необходимо привести к единой мерной единице.
Чтобы перейти от одной кубической единицы к другой, необходимо знать соотношения между единицами объема.
Выясним, как единицы объема связаны между собой.
Переведем один сантиметр кубический (1 см3) в кубические миллиметры.
Чтобы найти сколько в кубическом сантиметре содержится кубических миллиметров, необходимо вспомнить сколько в одном сантиметре миллиметров.
1 см = 10 мм.
Известно, что 1 см3- это куб, ребро которого равно 1 см.
Так как 1 см = 10 мм, то все ребра такого куба равны 10 мм.
Найдем объем куба с ребром 10 мм.
V = 10 мм ∙ 10 мм ∙ 10 мм = 1000 мм3 = 1 см3
Следовательно, в одном кубическом сантиметре содержится 1000 кубических миллиметров.
1 см3 = 1000 мм3
Следуя логике, изложенной в рассмотренном примере, можно осуществлять перевод любых единиц объема.
Для этого нужно знать и помнить соотношения единиц измерения длины, запишем их.
1 дм = 10 см = 100 мм
1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм
1 км = 1000 м
Запишем соотношения единиц объема:
Запоминать все эти соотношения нет необходимости, достаточно запомнить общий принцип перевода из одной единицы измерения в другую.
Рассмотрим несколько примеров.
Выразим 12 см3 в кубических миллиметрах.
Так как 1 см3 = 10 мм ∙ 10 мм ∙ 10 мм = 1000 мм3, то число кубических миллиметров в 1000 раз больше, чем число кубических сантиметров, следовательно, умножим 12 см3 на 1000.
12 см3 = 12 ∙ 1000 = 12000 мм3.
Ответ: 12 см3 = 12000 мм3.
Выразим 12000 мм3 в кубических сантиметрах.
Так как 1000 мм3- это 1 см3, то разделив 12000 мм3 на 1000, выясним сколько квадратных сантиметров содержится в 12000 мм3.
12000 мм3 = 12000 ÷ 1000 = 12 см3.
Ответ: 12000 мм3 = 12 см3.
Объем цистерны для нефтепродуктов составляет 85 м3.
Выразим объем такой цистерны в литрах.
Так как 1 м3 = 1000 л, то 85 м3 = 85000 л
Ответ: 85 м3 = 85000 л.
Выразим 4 м3 50 дм3 в кубических дециметрах.
Так как 1 м3 = 1000 дм3, следовательно, 4 м3 = 4000 дм3.
В нашем случае 4000 дм3, да еще 50 дм3, получаем:
4 м3 50 дм3 = 4000 дм3 + 50 дм3 = 4050 дм3
Ответ: 4 м3 50 дм3 = 4050 дм3
Объем обладает рядом свойств, перечислим их.
Равные тела имеют равные объемы.
Равенство объемных фигур определяется так же, как и плоских.
Тела называются равными, если их можно совместить наложением.
Тела, которые имеют равные объемы, называют равновеликими.
V1 = V2
Если тело составлено из нескольких частей или разбито на несколько частей, то объем всего тела равен сумме объемов его частей.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий данное свойство.
Пусть прямоугольный параллелепипед, ширина которого равна 4 см, длина- 9 см, высота- 7 см, разделен на две части (на два прямоугольных параллелепипеда).
Объем первой части V1 равен 96 см3.
Объем второй части V2 равен 192 см3.
Определим объем целого прямоугольного параллелепипеда двумя способами.
1. Объем целого прямоугольного параллелепипеда найдем как сумму объемов его частей.
V = V1 + V2
V = 96 см3 + 192 см3 = 288 см3
2. Найдем объем целого прямоугольного параллелепипеда по формуле V = a ∙ b ∙ h
а = 4 см- ширина
b = 9 см- длина
h = 7 см- высота
V = 4 см ∙ 9 см ∙ 7 см = 288 см3
Объем целой фигуры равен 288 см3, такой же результат был получен при сложении объемов частей, на которые прямоугольный параллелепипед был разбит.
В практической и повседневной жизни часто приходится вычислять объемы различных тел.
Рассмотрим решения нескольких практических задач
Найдите объем аквариума, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, если длина его 5 дм, ширина 2 дм, высота 3 дм.
Найденный объем выразите в литрах.
Необходимо изготовить ящик вместимостью 1 м3.
Известно, что длина ящика должна быть равна 20 дм, ширины- 10 дм.
Какой должна быть его высота?
Выразим 1 м3 в кубических дециметрах.
Сколько литров воды необходимо залить в бассейн, чтобы полностью заполнить его?
Длина бассейна 2 м, ширина- 2 м и высота бассейна равна 2 м.
Цель: познакомиться с понятием прямоугольный параллелепипед, его элементами, научиться решать задачи на нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед А В С D А 1 D 1 С 1 В 1
ВЕРШИНЫ A B C D К F М H 8 ВЕРШИНЫ
ДЛИНА ШИРИНА ВЫСОТА
Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны
длина – 5 см, ширина – 2 см 1.Сожмите кисть столько раз чему равна площадь прямоугольника. 2. Хлопните в ладоши столько раз, чему равен периметр прямоугольника 3.Присядьте столько раз, чему равна площадь квадрата со стороной 2 см.
Построение прямоугольного параллелепипеда А C 1 В С D D 1 А 1 В 1
Проверь себя Прямоугольный параллелепипед ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 Вершины: А, В,С, D , A 1 , B 1 , C 1 , D 1 Рёбра :АВ, ВС, С D , D А, A 1 B 1 , B 1 C 1 , C 1 D 1 , A 1 D 1 , А A 1 , В B 1 , С C 1 , DD 1 Грани: A B C D , A 1 B 1 C 1 D 1 , AA 1 D 1 D , BB 1 C 1 C , A A 1 B 1 B , DD 1 C 1 C
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда – сумма площадей его граней b c S = 2ab+2ac+2bc S = 2(ab+ac+bc) S = 6a 2
Тест 1. Любой прямоугольный параллелепипед состоит из граней. Их у него: А) 12; В) 8; С) 6. 2. У каждого прямоугольного параллелепипеда есть рёбра. Это: А) прямоугольники; В) отрезки; С) точки. 3.Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, называется: А) куб; В) прямоугольник; С) квадрат. Ответы к тесту. 1)С; 2) В; 3)А.
Ну-ка проверь дружок Ты готов начать урок? Всё ль на месте, всё ль в порядке, Ручка, книжка и тетрадка? Все ли правильно сидят? Все ль внимательно глядят? Каждый хочет получать Только лишь оценку «5». Тут затеи и задачи, Игры, шутки, всё для вас! Пожелаем же удачи – За работу, в добрый час!
Устный счет 140 : 7 = 46 + 38 = 465 * 1 = 100 – 16 = 0 * 124 = 27 – 27 = 54 : 2 = 0 : 145 = 3 3 = 60 – 40 = 2 3 = 5 2 – 5 = 3 2 + 18 = 6 2 + 12 = А 84 И 8 Р 465 М 18 Д 48 П 20 Т 45 З 9 Е 27 Ж 41 Л 0
Нас окружают предметы, которые сделаны из различных материалов, отличаются размером, цветом. Многие из них имеют одинаковую форму.
Все эти предметы имеют одинаковую форму, отличаются лишь мелкими деталями.
Они напоминают тело, которое называется прямоугольным параллелепипедом.
Какие предметы не имеют форму прямоугольного параллелепипеда?
Классная работа. Прямоугольный параллелепипед.
Фигуры бывают и объёмные
Параллелепипед – слово греческого происхождения. Образовано путём слияния двух слов: « параллелос » – «параллельный, идущие рядом» и « эпидос » – плоскость .
Назовите буквы, которыми отмечены те геометрические тела, которые являются изображениями прямоугольного параллелепипеда
Геометрическая фигура Кол-во Вершины Грани Ребра
А В С D 1 С 1 Вершины – точки Грани – прямоугольники Ребра – отрезки А 1 D В 1 Прямоугольный параллелепипед имеет: Сколько всего вершин, граней и ребер у параллелепипеда ? ( 8 ) ( 6 ) ( 12 )
Геометрическая фигура Кол-во Вершины точки 8 Грани прямоугольники 6 Ребра отрезки 12
c b А В С D А 1 D 1 С 1 В 1 Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения – а длину, ширину и высоту. АВС D А 1 В 1 С 1D1 – параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения — длину, ширину и высоту. Измерения прямоугольного параллелепипеда – это длины трёх рёбер, исходящих из одной вершины.
Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников . Их называют гранями параллелепипеда. Две грани называются противоположными , если у них нет общего ребра. Среди шести граней три пары противоположных . В прямоугольном параллелепипеде противоположные грани рав ны .
Вычислите площадь закрашенных фигур: 5дм 12см 6м 6м 10см 4см 8см 2см S = 600см 2 S = 18 м 2 S = 24 см 2
a S = 2( ab + ac + bc ) L = 4( a + b + c ) L = 4 a b Площадь поверхности: Длина ребер: S = 2 ab + 2 bc +2 ac +4 b +4 c У параллелепипеда : c
Площадь поверхности куба: a S = 6 a 2 L = 12 a Длина ребер куба: a a Куб – это параллелепипед у которого все рёбра равны Грани куба – это 6 одинаковых квадратов КУБ:
Физкультминутка Рисуй глазами треугольник. Рисуй глазами треугольник. Теперь его переверни вершиной вниз. И вновь глазами ты по периметру веди. Рисуй восьмерку вертикально. Ты головою не крути, А лишь глазами осторожно ты вдоль по линиям води. И на бочок ее клади. Теперь следи горизонтально, и в центре ты остановись. Зажмурься крепко, не ленись. Глаза открываем мы, наконец. Зарядка окончилась. Ты – молодец!
8 см 6 см 4 см № 792: Вычисли площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4 см, 6 см и 8 см. 5 см № 795: Вычисли площадь поверхности куба с ребром 5 см.
Эвристическая беседа Классная комната или учебный кабинет являются основным местом проведения обучающихся в школе, где они проводят большую часть времени, поэтому к гигиеническому состоянию этих помещений предъявляются особо высокие требования. Несоблюдение гигиенических требований к воздушному режиму ухудшает восприятие и усвоение учебного материала. Основные нормы отражены в Санитарных правилах, утвержденных СанПиН 2.4.2.2821-10 от 29 июня 2011 г. Комфортные, т. е. физически хорошо воспринимаемые условия для обучающихся в классах следующие: 18-20 градусов C°, атмосферное давление в среднем 760 мм ртутного столба, содержание 21% кислорода, 0,04% углекислого газа. В классной комнате во время урока возрастает концентрация углекислоты и падает содержание кислорода. Минимальная кубатура воздуха, приходящаяся на одного школьника- достигает 4 куб. м.
Объём прямоугольного параллелепипеда
4м 6 м 5 м Воздуха ? м 3
Объём V=a 3 Площадь поверхности S=6a 2 Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны.
– Я работал(а) отлично, в полную силу своих возможностей, чувствовал(а) себя уверенно. – Я работал(а) хорошо, но не в полную силу, испытывал(а) чувство неуверенности, боязни, что отвечу неправильно. – У меня не было желания работать. Сегодня не мой день.
Домашнее задание : № 50.3, 50.4, № 911
Спасибо, ребята, вам всем за урок, Пусть все эти знанья будут вам впрок. Пусть вам пригодятся Все знанья объема, Когда вы ремонт Затеете дома, Когда собираете в путь чемодан, Когда задвигаете в угол диван, Когда наливаете в банку воды, С объемом и площадью будьте на “ты”. Теперь говорю я вам всем “до свидания”, Окончен урок. Благодарю за вниманье. Молодцы !!!
Удачи на следующих уроках!
Технологическая карта урока математики в 5 классе
с использованием приемов технологии развития критического мышления
Харебова Нонна Мухарбековна.
изучение нового материала.
Дидактическая задача урока: Изучить новую геометрическую фигуру и ее элементы.
Цели урока
создание педагогических условий для формирования у обучающихся
положительной мотивации к учению, чувства коллективизма, взаимовыручки и уважения друг к другу, умения вести диалог, аккуратности.
формирование умения ставить цели и задачи, планировать и контролировать деятельность, умения классифицировать объекты, развивать логическое мышление, познавательную активность и навыки научной речи.
формирование умения построения математической модели.
комплект многогранников, кубики (строительный конструктор), мультимедиа- проектор, ноутбук,
Методические приемы
Словесные (беседа, работа с текстом);
Наглядные (иллюстрации в учебнике, комплект наглядных материалов); Практическая работа.
Формы организации учебно-познавательной деятельности: индивидуальная, парная, фронтальная. Основные этапы урока:
- этап включения учащихся в активную деятельность;
- актуализация знаний, умений и навыков;
- этап закрепления, первичной проверки и коррекции изученного материала;
- этап информации о домашнем задании;
– Добрый день, ребята. Я рада вас всех видеть. Чтобы начать работу, проверим, все ли готово к уроку.
(7 – 3) ² (Р)
18 х 2 – 30 (И)
2² + 3² (П)
(в таблице спрятано слово “параллелепипед”)
-Итак, в нашей таблице получилось слово значит, на этом уроке мы будем знакомиться с понятием прямоугольного параллелепипеда.
(все высказывания детей сведутся к единственной цели – познакомится в прямоугольным параллелепипедом)
- А теперь в парах обсудите, какие геометрические тела на рисунке 162 вам уже знакомы, вы знаете их название? (обычно из предложенных дети смогут назвать куб, пирамида).
- Итак, как мы ранее отметили, что все эти тела – многогранники. Предлагаю вам небольшой текст о многогранниках.(Текст дается каждому ученику.).
- Читаем текст, отвечаем на вопросы к параграфу и делаем пометки в тексте. Рядом ставим обозначения:
– уже знал,
– думал иначе,
– не понял, есть вопросы.
Ученики в парах знакомят друг друга с содержанием своих записей. 2-3 ученика по просьбе учителя сообщают известные им сведения о многогранниках всему классу, остальные при необходимости вносят дополнения.
-Итак, мы узнал, что такое прямоугольный параллелепипед.
Учитель помогает ребятам переключиться с одного вида деятельности на другой, снять напряжение для концентрации на уроке.
Фронтальная работа Выполняют разминку.
-Ребята, давайте перед следующим этапом работы сделаем разминку. Встаем. Раз – подняться на носки и улыбнуться.
Два – согнуться, разогнуться. Три – в ладоши три хлопка, Головою три кивка.
На четыре – руки шире. Пять – руками помахать. Шесть – за парту тихо сесть.
Координирует работу учащихся.
Предлагает использовать прием “составления кластера” (т.е. систематизация материала с помощью схемы).
Обсуждение, оформление схемы.
-Давайте в тетради по центру запишем нашу тему «прямоугольный параллелепипед». Вокруг нее заполним крупные смысловые единицы. Из каких элементов он состоит?
Практическая часть урока.
Создание проблемной ситуации. Контроль
Учащиеся выполняют практические задания учителя и записывают свое решение в тетрадь.
Индивидуальна я, фронтальная
Проверка полученн ых знаний и навыков
В данной публикации мы рассмотрим определение, элементы, виды и основные свойства параллелепипеда, в т.ч. прямоугольного. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.
Параллелепипед – это геометрическая фигура в пространстве; шестигранник, гранями которого являются параллелограммы. Фигура имеет 12 ребер и 6 граней.
Параллелепипед – это разновидность призмы с параллелограммом в качестве оснований. Основные элементы фигуры те же, что и у призмы.
Примечание: Формулы для расчета площади поверхности (для прямоугольной фигуры) и объема параллелепипеда представлены в отдельных публикациях.
- Прямой параллелепипед – боковые грани фигуры перпендикулярны ее основаниям и являются прямоугольниками.
- Прямой параллелепипед может быть прямоугольным – основаниями являются прямоугольники.
- Наклонный параллелепипед – боковые грани не перпендикулярны основаниям.
- Куб – все грани фигуры являются равными квадратами.
- Если все грани параллелепипеда – это одинаковые ромбы, он называется ромбоэдром.
1. Противоположные грани параллелепипеда взаимно параллельны и являются равными параллелограммами.
2. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и в ней делятся пополам.
3. Квадрат диагонали (d) прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: длины (a), ширины (b) и высоты (c).
d2 = a2 + b2 + c2
Примечание: к параллелепипеду, также, применимы свойства призмы.
I. Математические понятия СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ взаимосвязаны с математическими терминами СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ.
Все определения даются здесь на множестве натуральных чисел.
Каждой паре чисел ставится в соответствие число, называемое их СУММОЙ.
Сумма состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах (слагаемых) из данной пары.
СУММА есть результат сложения чисел-слагаемых.
Вычитание – это операция, обратная сложению. Она состоит в нахождении одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Данная сумма называется уменьшаемым, данное слагаемое – вычитаемым, а искомое слагаемое – РАЗНОСТЬЮ.
РАЗНОСТЬ – это число, являющееся результатом вычитания, остаток вычитания.
Каждой паре чисел можно поставить в соответствие число, которое состоит из стольких единиц, сколько их содержится в первом числе из пары, взятых столько раз, сколько единиц содержится во втором числе из пары. Это соответствующее таким образом паре чисел (они называются сомножителями) число называется ПРОИЗВЕДЕНИЕМ.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ – это результат умножения.
Деление есть операция, обратная умножению.
Деление – это нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. Данное произведение называется делимым, данный сомножитель – делителем, а искомый сомножитель – это ЧАСТНОЕ, то есть число, полученное от деления одного числа на другое.
II. ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВ СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ.
Все используемые в качестве математических понятий слова могут иметь и другие лексические значения.
СУММА в переносном значении означает совокупность, общее количество чего-либо.
Например. Профессионализм педагога заключается в сумме знаний, умений и навыков, передаваемых им своим ученикам. Отсутствие нужной суммы денег заставило отказаться от покупки.
РАЗНОСТЬ имеет значения разницы, несходства, отличия в чем-либо.
Например. Разность интересов намного хуже разницы в возрасте. Дружба может начаться с представления об общности взглядов , а вражда – с разности взглядов.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ означает что-либо произведенное в процессе труда, создание чего-нибудь, продукт труда, творчества, искусства и т.п.
Например. Высокое художественное произведение заставляет человека думать над своей жизнью. На конкурсе юных пианистов мальчик играл произведение П.И. Чайковского. Эта шкатулка – настоящее произведение искусства.
ЧАСТНОЕ – это что-то личное, персональное, принадлежащее только одному человеку, это его собственность, его и только его достояние. И будь то самоличные мысли, будь то имущество или что-нибудь другое, но оно принадлежит только ему, частному лицу.
Например. Подруга подарила мне записную книжку с надписью “Частное”. Хорошо ли противопоставлять частное общественному?
Произведением чисел в математике называется результат их умножения.
Пример: Найдите произведение чисел.
Здесь 14 и 15 называются — множители.
Пример: Вычислить произведение чисел.
17×12=204 и 12×17=204
Переместительный закон: При перестановке множителей результат не меняется.
Сочетательный закон: Если группу множителей заменить их произведением, результат не изменится.
(15+12)×9=243 и 15×9+12×9=243
Распределительный закон: Умножая сумму на число, можно на это число каждое слагаемое умножить и результаты сложить.
Большие числа, а также десятичные дроби умножают в столбик.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Произведение цифр числа
Произведение суммы и разности чисел
Наименьшее произведение чисел
При умножении любого числа на 0, получится ноль. Наименьшее произведение чисел равно нулю.
Сумма двух произведений чисел
Пример: Найди сумму и произведение чисел 14 и 72
14+72=86 — сумма
14×72=1008 — произведение
