Что такое чётная функция
Обратимся к определению чётности функции через формулу.
Другими словами, нужно в формулу функции вместо «» подставить
«». Затем сравнить полученный результат с формулой исходной функцией.
Если в итоге «» будет равен исходной функции
«», значит, эта функция чётная.
Давайте разбираться на практике.
Разбор примера
Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:
у = 2×4
Подставим «» вместо «» в исходную функцию «у = 2×4».
Если в итоге мы получим исходную функцию, значит, она чётная.
При возведении в чётную степень
отрицательного числа всегда
получается положительное число.
у(−x) = 2(−x)4 = 2×4
Проверим, выполняется ли условие чётности функции «у(−x) = у(x)».
После подстановки «»
мы получили исходную функцию «у = 2×4». Условие чётности функции
«у(−x) = у(x)» выполнено.
Ответ: функция «у = 2×4» чётная.
Нечётными и чётными называются функции, обладающие симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Название связано со свойствами степенных функций: функция чётна, когда чётно, и нечётна, когда нечётно.
— пример нечётной функции
— пример чётной функции
ни чётная, ни нечётная
- Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно центра координат).
- Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (график её симметричен относительно оси ординат).
- Ни чётная, ни нечётная функция (или функция общего вида). В эту категорию относят функции, не попадающие в предыдущие 2 категории.
Что такое нечётная функция
Функция «» называется , если
у(x) = у(x)
для любого «» из области определения функции.
Порядок анализа функции на нечётность:
- подставить «» в исходную функцию, чтобы получить «»;
- вычислить «»;
- сравнить «» и «». Если они равны,
то функция нечётная.
у = 3x 5
Подставим «» вместо «» в формулу функции
«у(x) = 3x 5».
При возведении в нечётную степень
отрицательного числа получается отрицательное число.
у(−x) = 3(−x) 5 = −3x 5
Теперь получим «».
Для этого умножим левую и правую часть исходной функции
«у = 3x 5»
на «».
−у(x) = −3x 5
Сравним полученные результаты «» и
«».
Ответ: функция «у(x) = 3x 5» нечётная.
Не бывает функций, которые одновременно являются чётными и нечётными.
Поэтому, если при анализе функции вы выяснили, что функция является чётной (или нечётной), нет смысла продолжать ее
анализ на чётность/нечётность. Можно сразу записывать ответ.
Функции, которые не являются ни чётными, ни нечётными
Не все функции обязательно являются чётными или нечётными. Есть функции, которые не являются ни чётными, ни нечётными.
у = x 3 − 2
Проверим, является ли функция «у = x 3 − 2» чётной.
По определению чётной функции
должно выполняться условие
«у(−x) = у(x)».
Подставим «» вместо «» в исходную функцию
«у = x 3 − 2».
Возведение в нечётную степень отрицательного числа даст отрицательное число.
у(−x) = (−x) 3 − 2 =
−x 3 − 2
Сравним исходную функцию «» и полученную «»,
чтобы проверить, является ли функция «у = x 3 − 2» чётной.
Теперь проверим, является ли функция «у(x) = x 3 − 2»
нечётной. По определению
нечётной функции
должно выполняться условие:
«у(−x) = −у(x)».
Функцию «» мы рассчитали выше. Осталось вычислить
«». Для этого умножим левую и правую часть исходной функции
«у = x 3 − 2»
на «».
−у(x) = −(x 3 − 2)
Используем
правило раскрытия скобок.
Так как перед скобкой «(x 3 − 2)» стоит знак минуса, все слагаемые
внутри поменяют знак на противоположный.
Сравним «» и «».
Ответ: функция «у(x) = x 3 − 2» не является ни чётной, ни нечётной.
Другие примеры чётных и нечётных функций
у = x 2 − x + 1
Проверим, является ли функция «у = x 2 − x + 1» чётной,
то есть должно выполняться условие «у(−x) = у(x)».
Подставим «» вместо «» в формулу функции.
При возведении в чётную степень получается положительное число.
у(−x) = (x) 2 − (−x) + 1
Раскроем скобки «» по правилу раскрытия скобок: минус на минус даёт плюс.
у(−x) = (−x) 2 − (−x) + 1 =
x 2
(x) + 1 =
x 2 x + 1
Сравним полученную «» с исходной функцией «».
Проверим, является ли функция «у = x 2 − x + 1»
нечётной функцией.
Для этого должно выполняться условие:
«у(−x) = −у(x)».
Выражение «»
мы уже посчитали выше. Теперь вычислим «».
Умножим левую и правую часть исходной функции на «».
(−1) · у(x) = (−1) · (x 2 − x + 1)
Используем правило раскрытия скобок.
При умножении на «» все слагаемые внутри скобок
поменяют свой знак на противоположный.
−у(x) = −x 2 + x − 1
Сравним полученные «» и «».
Ответ: функция «у = x 2 − x + 1» не является ни чётной, ни нечётной.
Исследуйте на чётность функцию:
у = √ · √
По определению чётности функции «у(−x) = у(x)». Вычислим «»,
подставив «» вместо «».
у() =
√() − 1 · √() + 1 =
Вынесем «» из каждого корня. После этого каждое слагаемое внутри корней поменяет знак на противоположный.
Умножим «» на «»,
используя правило знака: минус на минус дает плюс.
От перемены мест множителей произведение не меняется. Поменяем местами
«√» и
«√».
Проверим, выполняется ли
условие чётности
функции «у(−x) = у(x)».
Ответ: функция «у = √ · √» является чётной.
Показать, что функция не является чётной и не является нечётной:
По определению чётности функции «y(−x) = y(x)».
Вычислим «».
Подставим «» в исходную функцию
«».
Проверим функцию «» на нечётность.
По определению нечётности функции «y(−x) = −y(x)». Функцию
«» мы вычислили ранее. Вычислим «».
Для этого умножим левую и правую часть исходной функции
на «».
Ответ: функция «»
не является ни чётной, ни нечётной.
Строгое определениеПравить
Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.
Функции, принимающие нулевое значение на всей своей области определения, причём эта область определения симметрична относительно нуля, являются одновременно чётными и нечётными; например, функции f(x) = 0 и f(x) = 0/х. Любая функция, являющаяся одновременно чётной и нечётной, тождественно равна нулю на всей своей области определения.
ПримерыПравить
- Возведение в степень с нечётным целым показателем: где — произвольное целое число.
- Сигнум:
- Кубический корень и вообще корень любой положительной нечётной степени
- Тригонометрические функции: синус тангенс котангенс косеканс
- Обратные тригонометрические функции: арксинус арктангенс арккосеканс
- Гиперболические функции: гиперболический синус, гиперболический тангенс, гиперболический котангенс и гиперболический косеканс.
- Обратные гиперболические функции: ареасинус, ареатангенс, ареакотангенс, ареакосеканс.
- Специальные и обобщённые функции:
Функция Гудермана и обратная функция Гудермана Интегральный синус Функция ошибок и обратная функция ошибок Функция Доусона.Хи-функция Лежандра.Функции Матьё .Функция Радемахера. - Функция Гудермана и обратная функция Гудермана
- Интегральный синус
- Функция ошибок и обратная функция ошибок
- Функция Доусона.
- Хи-функция Лежандра.
- Функции Матьё .
- Функция Радемахера.
- Возведение в степень с чётным целым показателем: где — произвольное целое число.
- Абсолютная величина (модуль):
- Константная функция:
- Тригонометрические функции: косинус секанс
- Гиперболические функции: гиперболический косинус, гиперболический секанс.
- Специальные и обобщённые функции:
Дельта-функция Дирака Функция Гаусса при b=0.Функция Дирихле.Кардинальный синус (как нормированный, так и ненормированный).Функции Матьё . - Дельта-функция Дирака
- Функция Дирихле.
- Кардинальный синус (как нормированный, так и ненормированный).
- Функции Матьё .
СвойстваПравить
- График нечётной функции симметричен относительно начала координат .
- График чётной функции симметричен относительно оси ординат .
- Произвольная функция может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
где
Функции и называются соответственно нечётной частью и чётной частью функции .
- Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна. Поэтому чётные функции образуют линейное векторное пространство над полем действительных чисел, это же справедливо и для нечётных функций.
- Произведение двух функций одной чётности чётно.
- Произведение двух функций разной чётности нечётно.
- Композиция двух нечётных функций нечётна.
- Композиция чётной функции с нечётной чётна.
- Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
- Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
- Для определённых интегралов от чётных функций выполняется равенство
Соответственно, для определённых интегралов от нечётных функций выполняется равенство
и от нечётных функций:
(v. p. обозначает главное значение несобственного интеграла по Коши).
- Разложение в ряд Маклорена чётной функции содержит только члены с чётными степенями, а нечётной — только с нечётными.
- Разложение в ряд Фурье периодической чётной функции содержит только члены с косинусами, а периодической нечётной — только с синусами.
- Чётные функции образуют коммутативную алгебру над полем действительных чисел. Однако это неверно для нечётных функций, поскольку их множество незамкнуто относительно умножения (произведение двух нечётных функций является чётной функцией).
Четность и нечетность функции
Определения и свойства четных и нечетных функций
(
f(x)
) называется четной функцией, если для любого x из области определения выполняется равенство (
f(-x)=f(x)
)
Функция (
f(x)
) называется нечетной функцией, если для любого x из области определения выполняется равенство (
f(-x)=-f(x)
)
Если ни одно из условий (
f(-x)=f(x)
) или (
f(-x)=-f(x)
) не выполняется, то говорят, что функция (
f(x)
) не является ни четной, ни нечетной (или функцией общего вида)
График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
При исследовании функции на четность и нечетность можно использовать следующие свойства:
1.Сумма двух четных функций четна, а сумма двух нечетных функций нечетна.
2.Произведение двух четных функций является четной функцией, равно как и произведение двух нечетных функций. Произведение четной и нечетной функции — нечетная функция.
Примеры решения задач
Используя определение исследовать на четность и нечетность следующие функции
Исследуем отдельно четность функции, которые находятся в числителе и знаменателе:
то есть функция (
g(x)
) четная; аналогично
а тогда и функция (
h(x)
) четная.
Исследованная функция четная.
