В рамках этого материала мы разберем важное действие, называемое делением. Дав общее представление о нем и объяснив его смысл, мы введем основные термины и обозначения на письме. В последнем пункте мы расскажем, для решения каких задач нам пригодится умение делить натуральные числа.
В данном материале мы разберем, как разделить одно натуральное число на другое с остатком. Для начала сформируем общее представление о таком действии, определимся с терминами и обозначениями, а потом посмотрим, какие задачи можно решить с его помощью. В последнем пункте попробуем объяснить, какие связи существуют между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления.
Основное свойство частного
Частное не изменится, если делимое и делитель одновременно умножить или разделить на одно и то же число.
Основное свойство частного в общем виде: если
a : b = c,
(a · m) : (b · m) = c
(a : m) : (b : m) = c.
Пример. Возьмём, например, такое деление: 60 : 15 = 4. Если увеличить делимое и делитель в 5 раз, то получим:
(60 · 5) : (15 · 5) = 300 : 75 = 4.
Частное не изменилось, потому что от увеличения делимого частное увеличивается, а от увеличения делителя оно уменьшается во столько же раз.
Если уменьшить делимое и делитель в 5 раз, то получим:
Частное не изменилось, потому что от уменьшения делимого частное уменьшается, а от уменьшения делителя оно увеличивается во столько же раз.
В этой статье мы рассмотрим правила и алгоритмы деления натуральных чисел. Сразу отметим, что здесь мы смотрим только на деление нацело, то есть без остатка. О делении натуральных чисел с остатком читайте в нашем отдельном материале.
Перед тем, как формулировать правило деления натуральных чисел, нужно понять связь деления с умножением. После того, как мы установим эту связь, последовательно рассмотрим самые простые случаи: деление натурального числа на себя и на единицу. Далее разберем деление с помощью таблицы умножения, деление методом последовательного вычитания, деление на числа, кратные числу 10, различные степени числа 10.
Для каждого случая приведем и подробно рассмотрим примеры. В конце статьи покажем, как проводить проверку результата деления.
Что такое деление натуральных чисел
Само по себе понятие деление неразрывно связано с процессом разъединения некоторого множества предметов на несколько отдельных множеств.
Объясним на примере.
В быту мы часто употребляем слова”делиться”, “поделиться”, например, поделиться угощением с друзьями. Это слово означает, что угощение мы поделили на некоторые части и отдали часть одним людям, а часть другим (или оставили себе). С помощью этого простого примера деление можно представить как последовательное вычитание из одного большого множества. Что такое вычитание и как его выполнять, мы уже разбирали с вами ранее.
Проще всего понять процесс деления на равные части. У нас есть исходное множество, которое возможно разделить на некоторое количество одинаковых множеств. Например, мы разделили конфеты между друзьями так, что у каждого стало, например, по 5. Тогда мы можем сказать, что поделили угощение поровну. В этом смысле деление обратно умножению (см. понятие об умножении натуральных чисел). Далее по ходу статьи мы будем разбирать только деление на равные части. Делению с остатком посвящен отдельный материал.
Основные понятия, используемые при делении с остатком
Здесь мы определимся с основными терминами, которые будем использовать, если речь идет о делении с остатком.
То натуральное число, которое делят на части, принято называть делимым, а то, на которое делят – делителем. Получившиеся в результате два числа мы называем соответственно остатком и неполным частным. К примеру, если мы разделим 8 на 3, то в итоге неполным частным будет 2, и остатком тоже 2.
Знак деления, используемый при решении примеров с остатком, аналогичен тому же знаку «разделить» (две точки, расположенные вертикально), что и при делении нацело. В некоторых источниках можно встретить обозначение «÷», смысл которого тот же самый. Так, числовое выражение 16:3 означает деление одного натурального числа на другое с остатком.
Обозначим неполное частное буквой с, остаток – d, исходное число – a, а делитель – b. Тогда суть процесса деления в буквенном виде мы можем выразить как a:b=c (ост. d).
Также можно записать это в виде схемы: делимое: делитель = неполное частное (ост. остаток).
Из самого понятия о делении с остатком следует, что в любом случае остаток будет меньше делителя. Если бы он был равен ему или был нулевым, то это уже было бы деление нацело, поскольку у нас в итоге вышло бы несколько равных множеств.
Основные понятия процесса деления
В этом пункте мы укажем основные обозначения и понятия, используемые в делении натуральных чисел.
Чтобы обозначить деление в записи, обычно используют знак двоеточия: «:». Иногда можно встретить вместо него знак «÷», который означает то же самое. Первым мы записываем число, которое будем делить, потом знак деления, а потом число, на которое делим. Числовое выражение вида 10:5 означает, что мы делим десять на пять.
То число, которое делим, называем делимым. То, на которое делим – делителем. Итог вычислений правильно называть частным. Само числовое выражение, состоящее из делимого, делителя и знака деления, тоже называется частным.
В примере 30:6 натуральное число 30 – это делимое, 6 – делитель, а 5, получившаяся в итоге, – частным.
Когда мы говорим о том, что нужно определить число, являющееся результатом деления одного натурального числа на другое, нужно использовать выражения “найти частное” или “вычислить частное”.
Все вместе – делимое, делитель и частное со знаками деления и равенства – обычно записывается в виде равенства. Например,5 является частным от деления 30 на 6. Мы можем записать это так:
Запись читается как “тридцать разделить на шесть равно пяти” или “частное от деления тридцати на шесть равно пяти”.
Схематично процесс деления можно отобразить как ” делимое : делитель = частное.”.
Основной смысл процесса деления
На основе того, что мы озвучили, можно придать определенный смысл делению одного натурального числа на другое (отдельно выделим число, которое делят, и то, на которое делят). Мы помним, что понятие натуральных чисел проще всего соотнести с количеством некоторых предметов. То число, которое необходимо поделить, выражает число предметов исходного множества. В зависимости от того, какой смысл мы придаем второму числу (т.е. тому, на которое делят), можно выделить два основных подхода к пониманию смысла деления. Возможны такие варианты:
1. Исходное число, на которое осуществляется деление, соотносится с количеством предметов в тех множествах, что мы получили в результате деления. Тогда полученное после деления число будет означать количество получившихся множеств. Например, мы разделили 10 конфет на кучки по 2 штуки в каждой. Поделив 10 на 2, мы узнаем число кучек.
2. Исходное число, на которое мы делим, соответствует количеству получившихся множеств. Тогда результат деления будет показывать нам, сколько элементов входит в каждое такое множество. Вернувшись к примеру выше, мы увидим, что если 10 конфет разложить на 5 кучек, то число 2, получившееся в итоге, соответствует количеству конфет в каждой кучке.
Разделить одно натуральное число на другое без остатка возможно далеко не всегда. Так, 10 конфет мы можем ровно разделить на 2 или 5 кучек, а на 3 нет, потому что в одном из множеств окажется отличное от других число конфет. Разложить 10 конфет по 15 или 20 кучкам мы также не в состоянии. Смысл таких действий объясняется в материале про деление с остатком.
Если мы можем поделить одно натуральное число на другое, то получившееся в итоге число также будет натуральным.
Основные связи между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления
Для установления этих связей сразу разберем конкретный пример.
У нас есть некоторое множество предметов, обозначим его буквой a. Распределим его по кучкам, количество которых равно b. Всего в каждой кучке у нас будет c предметов. Остаток обозначим d. В буквенном виде это выражение можно записать как a:b=c (ост. d). Теперь проанализируем связи, которые есть в этом равенстве.
Если у нас есть значения делителя, неполного частного и остатка, мы можем найти делимое. Если мы объединим все имеющиеся кучки и добавим к ним остаток, то получим множество из исходного количества предметов.
Учитывая смысл умножения и сложения натуральных чисел, мы можем записать это в виде равенства c·b+d=a. А наличие у умножения и сложения переместительных свойств позволяет нам переформулировать его как a=b·c+d. Получается следующее правило:
Чтобы найти делимое, нужно сложить остаток с произведением делителя на неполное частное.
Верное равенство, полученное в итоге, будет полезно для решения задач с неизвестным делимым, то есть таких, где нужно найти исходное число предметов. Приведем пример:
Вычислите делимое, если неполное частное равно одиннадцати, остаток двум, а делитель семи.
Имеем b=7, c=11 и d=2. Это все данные, которые нам нужны для вычислений. Подставим нужные значения: b·c+d=7·11+2. Следуя правильному порядку выполнения математических действий, получим в итоге 7·11+2=77+2=79 (если нужно, повторите основы умножения и сложения натуральных чисел).
Если нужно проверить верность результата действия деления с остатком, то для этого мы также проверяем справедливость равенства a=b·c+d.
Если нам известны значения делимого, делителя и неполного частного, то мы можем найти остаток.
Вспомним, что остаток от деления, который мы выше договорились обозначить буквой d, представляет собой число элементов, оставшееся в исходном множестве после его разделения на равные части. Значит, d=a−b·c. Записать это равенство мы можем благодаря свойствам умножения и вычитания натуральных чисел. Сформулируем определение:
Чтобы найти остаток от деления одного натурального числа на другое, нужно вычесть из делимого произведение делителя на неполное частное.
У нас получилось буквенное выражение d=a−b·c, которое будет нам полезно при нахождении остатка от деления. Разберем такую задачу.
Мы разделили 67 на 15 и получили неполное частное 4. Вычислите остаток от деления.
Имеем a=67, b=15, c=4. Если мы подставим в выражение a−b·c исходные значения, то сможем подсчитать остаток: 67−15·4. Поскольку 15·4=60, то 67−15·4=67−60=7.
Мы также можем найти неполное частное, если знаем значение делимого, делителя и остатка. Исключим из исходного множества те элементы, которые образуют остаток. Благодаря свойствам вычитания натуральных чисел количество элементов в множестве мы теперь можем записать как a−d. После этого уже можно произвести деление без остатка, в результате которого получится b множеств по c элементов в каждом. Мы получили равенство (a−d):b=c. Его также можно записать в виде c=(a−d):b.
Если нужно найти неполное частное, нужно из делимого вычесть остаток и результат разделить на делитель.
Мы разделили 221 на 52 и получили остаток 13. Вычислите неполное частное.
Отнимем остаток от делимого и результат разделим на делитель. Считаем: (221−13):52=208:52=4 (для подсчета мы использовали метод подбора частного).
Осталось разобрать последний случай: как быть, если нужно найти делитель при известных значениях делимого, остатка и неполного частного? Начнем опять же с исключения остатка из делимого, то есть запишем a-d. Вспомнив смысл деления одного натурального числа на другое, запишем следующее равенство: (a−d):c=b. Также будет верно b=(a−d):c. Сформулируем правило:
Найти делитель можно, если вычесть из делимого остаток и получившуюся разность разделить на неполное частное.
Возьмем пример решения такой задачи.
Было выполнено деление 877 на некоторое число с остатком 2, неполное частное при этом составило 35. Найдите значение делителя.
Вычтем остаток из делимого и получим 875. Результат нужно разделить на известное нам неполное частное 35. В итоге получится нужное нам значение делителя. Вычислим столбиком:
Ответ: делитель равен 25.
МОУ Черниговская СОШ, Агаповский район, Челябинская область
Учитель начальных классов: Батурина Елена Владимировна
Программа «Школа России»
Тема урока: «Делимое, делитель, частное»
Тип урока: знакомство с новым
становить взаимосвязь между компонентами и результатом действия деления; сформировать умение читать выражения, используя названия компонент деления; совершенствовать навыки счета, повторить таблицу умножения и деления на включать учащихся в оценочную деятельность;
: развивать мышление, внимание, математически грамотную речь, творческие способности;
: воспитывать познавательный интерес у учащихся;
групповая, фронтальная, индивидуальная, самостоятельная
: MicrosoftPowerPoint, MicrosoftWord, ресурсы ИНТЕРНЕТа
опорные схемы , презентация , мультимедийный проектор
Пусть сегодня для нас всех,
На урок придёт успех!
С ними нам вдвойне теплей,
Пожелайте нам удачи,
И успешности в придачу!
Возьмите карточку личных достижений и отметьте знаком “+” , чего бы ты хотел достичь на уроке.
II.Подготовка учащихся к восприятию нового материала
Игра «Молчанка». Запишите только ответы в тетради
Дан ряд чисел: 7 12 9 16 10 2 20
Что повторили выполняя это задание? (таблицу умножения и деления на 2).
Посмотрите на ряд чисел, который у вас получился. Оцените свою работу по эталону(
Я даю образец, эталон, как должно быть: 14 6 18 8 5 4 10
Сравните. У кого, так как у меня?
Поднимите руку те, кто свою работу оценил правильно.
У кого есть ошибки? Где ошибся?
(упражнения для мозгового кровообращения)
В) Постановка целей и формулирование темы урока.
Что общего? Прочитайте используя математические термины
Какие же главные слова будут звучать на уроке математики сегодня?
делимое делитель частное
Это тема нашего урока. Мы будем учиться находить компоненты действия деления
III.Работа по теме урока. Актуализация опорных знаний
А) Сейчас вы займетесь исследовательской деятельностью и все потом расскажите: какой компонент неизвестен и как его нашли.
6: =2 8: =2
: 2 = 7 : 5= 2
Что будем делать? (находить неизвестное делимое и делитель)
Работа в парах(Пара, которая справится с заданием, поднимает руки вверх)
Учащиеся объясняют, какой компонент был неизвестен, как его нашли.
Перед тем, как будете работать в паре, вспомним правила дружной работы:
- Выслушай мнение соседа;
- Придите к единому мнению;
Как находили число в «окошке»?
Открыли учебник с.16, сверяем свой вывод с учебником
Поработали, ребятки, а теперь все на зарядку!
Мы ногами топ – топ, мы руками хлоп – хлоп,
Мы глазами миг – миг, мы плечами чик – чик.
Раз – присели, два – привстали, руки к верху мы подняли,
Сели – встали, сели – встали и на месте зашагали.
Но закончилась игра – заниматься нам пора.
Б)Первичное закрепление (
Работа с таблицей.(
Сверь с экраном:
Оцени себя. Поставь «+», если ты справился верно.
IV.Закрепление опорных знаний.(слайд 7)
Задание дети выполняют на листочках
а) Подчеркни выражения, в которых надо найти частное.
б) В данных равенствах подчеркни делитель.
16 : 2 = 8 3 * 5 = 15 2 * 7 = 14 8 : 4 = 2
в) В данных равенствах обведи кружочком делимое.
15 : 3 = 5 3 * 2 = 6 14 : 2 = 7 9 – 4 = 5
г) В данных равенствах подчеркни частное чисел.
2 * 9 = 18 18 : 3 = 6 12 : 4 = 3 10 : 2 = 5
д) Подчеркни правильный ответ на вопрос:
«Какое самое большое число при делении?»
частное делимое делитель
для учащихся 1 ряда – 5; 2 ряда– 4;
Кому нужна помощь?
Взаимопроверка с соседом.
Решаем с комментированием.
с.16 №4 + для знатоков математики задание на смекалку
(нашли задание, что будем отрабатывать? Вопросы)
Запись домашнего задания в дневнике
VI.Итог урока. Рефлексия.( слайд 9)
Вспомните цели, которые ставили в начале урока. Достигли мы этих целей?
Какое задание было самым трудным?
Кто набрал за урок 4 плюса, вы молодцы!
Проверка деления
28 : 4 = 7,
где 28 — это делимое, 4 — это делитель, а 7 — частное. Чтобы узнать правильно ли было выполнено деление, можно:
- Умножить частное на делитель:
7 · 4 = 28,
или умножить делитель на частное:
4 · 7 = 28,
если получится делимое, то деление было выполнено верно. - Разделить делимое на частное, если получится делитель, то деление было выполнено верно:
28 : 7 = 4.
Задачи с применением деления
Приведем примеры задач, для которых нужно уметь делить одно натуральное число на другое.
1. Первый тип задач – это те, в которых нужно найти, сколько множеств получится после деления исходного множества на равные части, а также близкие к ним задачи на вычисление количества предметов в каждом множестве после деления. Ранее мы уже приводили примеры таких задач. Добавим еще несколько.
Допустим, у нас есть 40 ручек, которые нужно распределить поровну между 4 коробками. Как вычислить, сколько ручек положить в каждую из них?
Разделить 40 на 4.
На ужин было приготовлено 12 котлет. Каждому члену семьи должно достаться по две. Сколько всего человек будут ужинать?
Разделим 12 на 2.
2. Второй тип задач очень схож с первым, однако в них необходимо вычислить не количество предметов, а изменения физических величин (времени, температуры, длины и др.)
Например, у нас есть полная бочка молока объемом 100 л. Сколько надо взять двухлитровых бутылок, чтобы перелить туда все имеющееся молоко?
Для решения задачи нам надо разделить 200 на 2.
30-метровый шнур надо разрезать на 10 равных частей. Какой длины будет каждая из них?
Здесь опять же нам надо вычислить частное 30:10.
3. Третий тип задач – это те, где нужно найти, во сколько раз уменьшилось исходное количество чего-либо, или выяснить, во сколько одно множество предметов или величина больше, чем другое. Например:
Планировалось построить дом площадью 120 кв м., но в итоге построили в два раза меньше. Какую площадь имеет в итоге построенный дом?
Для решения этой задачи нам нужно разделить 120:2.
С одной яблони мы собрали 60 яблок, а с другой – в три раза меньше. Сколько яблок сорвали со второй яблони? Чтобы дать ответ на это вопрос, требуется разделить 60 на 3.
Связь деления с умножением
Чтобы проследить связь между делением и умножением, вспомним, что деление представляется, как разбиение исходного делимого множества на несколько одинаковых множеств. Умножение связано с объединением нескольких одинаковых множеств в одно.
Деление – действие, обратное умножению. Что это значит? Приведем аналогию. Представим, что у нас есть b множеств, в каждом из которых – по с предметов. Общее количество предметов во всех множествах равно a. Умножение – это объединение всех множеств в одно. Математически оно запишется так:
Обратный процесс разбиения полученного общего множества на b множеств по с предметов в каждом соответствует делению:
Если произведение натуральных чисел c и b равно a, то частное чисел a и b равно c. Перепишем в буквенном виде.
Пользуясь переместительным свойством умножения, можно записать:
Отсюда также следует, что a÷с=b.
На основании сказанного можно сформулировать общий вывод. Если произведение чисел c и b равно a, то соответственно частные a÷b и a÷c равны c и b.
Подытожим все изложенное выше и дадим определение деления натуральных чисел.
Деление натуральных чисел
Деление – нахождение неизвестного множителя по известному произведению и другому известному множителю.
Это определение станет базой, на основе которой мы будем строить правила и методы деления натуральных чисел.
Делимое, делитель и частное
Делимое — это число, которое делят. Делитель — это число, на которое делят. Например, в записи:
12 — это делимое, 3 — делитель. Делитель показывает на сколько равных частей нужно разделить делимое.
Частное — это число, которое получается в результате деления. Например, в записи:
4 — это частное. При этом сама запись 12 : 3 тоже называется частным.
Эта запись читается так: частное двенадцати и трёх равняется четырём или двенадцать разделить на три равно четырём.
Увеличение или уменьшение делимого
Если увеличить (или уменьшить) делимое в несколько раз, то частное увеличится (или уменьшится) во столько же раз.
В общем виде: если записать частное в виде равенства
то изложенное свойство частного можно записать так:
(a · m) : b = c · m
(a : m) : b = c : m.
Пример. Возьмём частное двух чисел: 12 : 3 = 4 и проследим, как оно изменится при увеличении или уменьшении делимого в несколько раз. Так, если увеличить делимое, например, в 2 раза, то получится:
(12 · 2) : 3 = 24 : 3 = 8.
Новое частное оказалось больше прежнего в 2 раза. Так оно и должно быть, потому что, если 3 в 12 содержится 4 раза, то 3 в сумме 12 + 12 очевидно содержится 8 раз, т. е. в 2 раза больше, чем оно содержится в 12.
Если уменьшить делимое, например, в 2 раза, то получится:
(12 : 2) : 3 = 6 : 3 = 2.
Новое частное оказалось меньше прежнего в 2 раза, потому что, если 3 в 12 содержится 4 раза, то 3 в 6 содержится 2 раза, т. е. в 2 раза меньше, чем оно содержится в 12.
Следовательно, если увеличить или уменьшить делимое в несколько раз, то частное увеличится или уменьшится во столько же раз.
Представление делимого в виде разности натуральных чисел
Иногда делимое проще и удобнее представлять в виде разности, а не суммы. Это может значительно ускорить и облегчить процесс деления. Как именно? Покажем на примере.
Пример 13. Деление натуральных чисел
Если воспользоваться алгоритмом из предыдущего пункта, мы получим в результате:
Однако, если число 594 представить в виде разности 600-6, все становится гораздо очевиднее. Оба числа 600 и 6) делятся на 6. По свойству деления разности натуральных чисел, мы получаем:
Результат тот же, но действия объективно легче и проще.
Решим еще один пример тем же методом. Отметим, что важно уметь правильно заметить, какую манипуляцию сделать с числами, чтобы провести деление легко. Скажем даже, что в этом присутствует некоторый элемент искусства.
Пример 14. Деление натуральных чисел
Вспоминаем таблицу умножение и понимаем: число 483 удобно представить в виде 483=490-7.
Общее представление о делении с остатком
Ранее мы указывали, что сам процесс деления сводится к разъединению одного множества на два или несколько. Чаще всего мы встречаемся с делением на равные части, то есть множества, получившиеся в результате, будут одинаковыми. Но так разделить возможно далеко не всегда. К примеру, 8 конфет разделить поровну на троих детей не выйдет: у каждого будет по 2 конфеты, а две останутся лишними. В данном случае мы имеем остаток 2, то есть остались две конфеты. Этот пример отображает основной смысл деления с остатком. Запишем определение:
Разделить с остатком – значит представить исходное множество в виде некоторого числа равных множеств и еще одного дополнительного, элементов которого недостаточно для создания требуемого множества.
Деление на 10, 100, 1000 и т.
Сразу сформулируем правило деления на натуральных чисел на 10, 100, 1000 и т.д. Сразу будем считать, что деление без остатка возможно.
Деление на 10, 100, 1000 и т.д.
Результатом деления натурального числа на 10, 100, 1000 и т.д. является такое натуральное число, запись которого получается из записи делимого если справа от него отбросить 1, 2, 3 и т.д. нулей.
Отбрасывается столько нулей, сколько из есть в записи делителя!
Например, 30÷10=3. От числа 30 мы отбросили один нуль.
Частное 120000÷1000 равно 120 – от числа 120000 отбрасываем справа три нуля, именно столько их содержится в делителе.
Обоснование правила строится на правиле умножения натурального числа на 10, 100, 1000 и т.д. Приведем пример. Пусть нужно разделить 10200 на 100.
Увеличение или уменьшение делителя
Если увеличить (или уменьшить) делитель в несколько раз, то частное уменьшится (или увеличится) во столько же раз.
a : (b · m) = c : m
a : (b : m) = c · m.
Пример. Возьмём частное двух чисел: 24 : 6 = 4 и проследим, как оно изменится при увеличении или уменьшении делителя в несколько раз. Так, если увеличить делитель, например, в 2 раза, то получится:
24 : (6 · 2) = 24 : 12 = 2.
Новое частное оказалось меньше прежнего в 2 раза. Так оно и должно быть, потому что 12 есть произведение 6 · 2, а чтобы разделить на произведение, можно разделить делимое на первый сомножитель (на 6) и полученное число (4) разделить затем на второй сомножитель (на 2), отчего оно уменьшится (в 2 раза).
Если уменьшить делитель, например, в 2 раза, то получится:
24 : (6 : 2) = 24 : 3 = 8.
Новое частное оказалось больше прежнего в 2 раза. Так как 6 в 24 содержится 4 раза, а 3 в два раза меньше 6, то 3, будучи меньше 6 в 2 раза, будет содержаться в 24 в 2 раза больше, т. е. 8 раз.
Следовательно, если увеличить или уменьшить делитель в несколько раз, то частное увеличится или уменьшится во столько же раз.
Предполагается, что деление совершается без остатка. Если же есть остаток, то частное может измениться иначе, чем было до этого указано.
23 : 5 = 4 (остаток 3),
и увеличим делимое в 3 раза. Получим:
по сравнению с делимым, частное увеличилось более, чем в 3 раза.
Деление на единицу
Основываясь на свойствах натуральных чисел, можно также сформулировать правило деление натурального числа на единицу.
Частное от деления любого натурального числа на единицу равно самому делимому числу.
Представление делимого в виде суммы
Еще один способ, который может помочь найти частное – это представить делимое в виде суммы нескольких натуральных чисел, каждое из которых легко делится на делитель. После этого нам пригодится свойство деления суммы натуральных чисел на число. Вместе с примером рассмотрим алгоритм и ответим на вопрос: в виде каких слагаемых представлять делимое?
Пусть делимое равно 8551, а делитель равен 17.
- Вычислим, на сколько в записи делимого больше знаков, чем в записи делителя. В нашем случае делитель содержит два знака, а делимое – четыре. Значит в записи делимого на два знака больше. Запоминаем число 2.
- Справа в делителе дописываем два нуля. Почему два? В предыдущем пункте мы как раз и определили это число. Однако, если записанное в результате число окажется больше делителя, из числа, полученного в предыдущем пункте, нужно вычесть 1. В нашем примере, дописав нули к делителю, мы получили число 1700<8551. Таким образом, отнимать единицу из двойки, полученной в первом пункте, не нужно. В памяти так же оставляем число 2.
- К числу 1 справа приписываем нули в количестве, определенном числом из предыдущего пункта. Тем самым мы получаем рабочую единицу разряда, с которым будем оперировать далее. В нашем случае, к единице приписываются два нуля. Рабочий разряд – сотни.
- Проводим последовательное умножения делителя на 1, 2, 3 и т.д. единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее, чем делимое. 17·100=1700; 17·200=3400; 17·300=5100; 17·400=6400; 17·500=8500; 17·600=10200Нас интересует предпоследний результат, так как следующий после него результат произведения больше делимого. Число 8500, которое получено на предпоследнем шаге при умножении, и является первым слагаемым. Запоминаем равенство, которое мы будем использовать далее: 8500=17·500.
- Вычисляем разность между делимым и найденным слагаемым. Если она не равна нулю, возвращаемся к первому пункту и начинаем поиск второго слагаемого, используя вместо делимого уже полученную разность. Повторяем пункты до тех пор, пока в результате не получим нуль. В нашем примере разность равна 8551-8500=51. 51≠0, поэтому, переходим к пункту 1.
- Сравниваем количество знаков в новом делимом 51 и делителе 17. В обоих записях по две цифры, разность количества знаков равно нулю. Запоминаем число 0.
- Так как мы запомнили число 0, в записи делителя не нужно дописывать дополнительных нулей.
- К единице также не будем добавлять нулей. Опять же, потому что в первом пункте мы запоминали число 0. Таким образом, нашим рабочим разрядом являются единицы
- Последовательно умножаем 17 на 1, 2, 3,.. и т.д. Получаем: 17·1=17; 17·2=34; 17·3=51.
- Очевидно, на третьем шаге мы получили число, равное делителю. Это и есть второе слагаемое. Так как 51-51=0, на этом этапе останавливаем поиск слагаемых – он завершен.
Теперь осталось найти частное. Делимое 8551 мы представили в виде суммы 8500+51. Запишем:
Результаты делений в скобках известны нам из проведенных ранее действий.
Рассмотрим еще несколько примеров, уже не комментируя каждое действие столь детально.
Пример 10. Деление натуральных чисел
1. В записи делимого на один знак больше, чем в записи делителя. Запоминаем цифру 1.
2. Справа у делителя приписываем один нуль.
3. К числу 1 приписываем один нуль и получаем единицу рабочего разряда – 10. Рабочий разряд, таким образом – десятки.
Первое найденное слагаемое – число 60.
Равенство 60÷2=30 ещё пригодится нам в будущем.
5. Ищем второе слагаемое. Для этого вычисляем разность 64-60=4. Число 4 делится на 2 без остатка, очевидно, это и есть второе слагаемое.
Теперь находим частное:
Пример 11. Деление натуральных чисел
1. Видим, что в записи делимого на два знака больше, чем в делителе. Запоминаем число 2.
2. К делителю справа добавляем два нуля. Получаем число 3100.
3. К единице справа добавляем один нуль и получаем рабочий разряд – десятки.
4. Умножаем 31 на 10, 20, 30, .. и т.д.
5. Вычисляем разность 1178-930=248. С числом 248 на месте делимого начинаем искать второе слагаемое.
1. В записи числа 248 на один знак больше, чем в числе 31. Запоминаем цифру 1.
3. Так как мы запомнили число 0, то к единице не нужно приписывать дополнительных нулей, и разряд единиц – рабочий разряд.
4. Последовательно умножаем 31 на 1, 2, 3, .. и т.д., сравнивая результат c делимым.
Таким образом, именно число 248 и является вторым слагаемым, которое делится на 31.
5. Разность 248-248 равна нулю. Заканчиваем поиск слагаемых, запоминаем соотношение 248÷31=8 и находим частное.
Постепенно увеличиваем сложность примеров.
Пример 12. Деление натуральных чисел
В данном случае описанный выше алгоритм нужно будет применить три раза. Не будем приводить все выкладки, просто укажем, в виде каких слагаемых будет представлен делитель. Вы можете проверить себя, и провести вычисления самостоятельно.
Первое слагаемое равно 12800.
Второе слагаемое равно 960.
Третье слагаемое равно 224.
Казалось бы, мы рассмотрели практически все возможные способы деления натуральных чисел. На этом, тему можно считать закрытой. Однако, есть способ, который в ряде случаев позволяет провести деление быстрее и рациональнее.
Рассмотрим его напоследок.
Представление делимого в виде произведения
При делении натуральных чисел не стоит забывать о свойстве деления произведения двух чисел на натуральное число. Иногда делимое можно представить в виде произведения, один из множителей в котором делится на делитель.
Рассмотрим типичные случаи.
Пример 2. Представление делимого в виде произведения
Делимое 30 можно представить в виде произведения30=3·10.
Воспользовавшись свойством деления произведения двух чисел, получаем:
Приведем еще несколько аналогичных примеров.
Пример 3. Представление делимого в виде произведения
Представляем делимое в виде 7200=72·100. При этом, результат деления будет следующим:
Пример 4. Представление делимого в виде произведения
В более сложных примерах удобно пользоваться таблицей умножения. Проиллюстрируем это.
Пример 5. Представление делимого в виде произведения
Таблица умножения подсказывает нам, что 54 делится на 9, поэтому делимое целесообразно представить в виде произведения:
Теперь закончим деление:
Для закрепления данного материала рассмотрим еще один пример, уже без подробных словесных пояснений.
Пример 6. Представление делимого в виде произведения
Посчитаем, сколько будет 120 разделить на 4.
Деление натуральных чисел, оканчивающихся на нуль
При делении чисел, записи которых оканчиваются цифрой 0, полезно помнить свойство деления натурального числа на произведение двух чисел. При этом, делитель представляется в виде произведения двух множителей, после чего указанное свойство находит применение в совокупности с таблицей умножения.
Как всегда, поясним это на примерах.
Пример 7. Деление натуральных чисел, оканчивающихся на 0
Используя свойство деления натурального числа на произведение, можно записать:
Деление на 10 мы уже разобрали в предыдущем пункте.
Для закрепления разберем еще один, более сложный пример.
Пример 8. Деление натуральных чисел, оканчивающихся на 0
Возьмем числа 54000 и 5400 и разделим их.
Представим 5400 в виде 54·100 и запишем:
Теперь делимое 540 представляем в виде 54·10 и записываем:
Подведем итог по изложенному в данном пункте.
Если в записях делимого и делителя справа присутствуют нули, то нужно избавиться от одинакового количества нулей как в делимом, так и в делителе. После этого выполнить деление получившихся чисел.
Например, деление чисел 64000 и 8000 сведется к делению чисел 64 и 8.
Деление равных натуральных чисел
Согласно свойствам натуральных чисел, сформулируем правило, как делить равные натуральные числа.
Деление равных натуральных чисел
Частное от деления натурального числа на равное ему натуральное число равно единице!
Задачи, в которых используется деление с остатком
В результате процесса деления, описываемого в этой статье, всегда получаются два числа, одно из которых является остатком, а другое – неполным частным. Поэтому оно будет полезно для решения двух разных типов задач:
1. Нахождение количества необходимых равных множеств, которые можно составить из заданного количества предметов, или же количества предметов в равных множествах, полученных в результате деления.
У нас есть 67 шаров, которыми мы будем наряжать елки. Если на каждую елку нужно 15 шаров, сколько всего елок можно нарядить? Результат мы получим после деления с остатком.
У нас есть 162 книги, которые нужно упаковать в 40 ящиков. Число книг, которое мы будем класть в каждую коробку, можно определить в результате деления 162 на 40.
Вычислять мы можем не только количество предметов, но и изменения величин (массы, времени, длины и др.)
Например, на заводе произведено 6 113 л молока. Его нужно разлить в бутылки по 2 л. Мы можем вычислить неполное частное и понять, сколько бутылок будет в итоге. Или же если на производство какого-то изделия тратится 3 часа, то мы можем найти, сколько можно их выпустить за один восьмичасовой рабочий день.
2. Задачи второго типа направлены на вычисление количества предметов в исходном множестве, которые остались после деления. Это могут быть не только предметы, но и величины.
У нас есть 197 конфет, которые раскладываются по коробкам. Мы знаем число этих коробок – оно равно 20. Деление 197 на 20 подскажет нам, сколько конфет остались неупакованными.
Чтобы изготовить бетонную плиту, надо израсходовать 750 кг цемента. Если мы закупили 12 900 кг, на сколько плит нам хватит? Результат мы вычислим в результате деления с остатком.
Деление с помощью таблицы умножения
Таблица умножения – удобный инструмент, который позволяет найти произведения однозначных натуральных чисел. Однако, ее можно использовать и для деления.
Таблица умножения позволяет находить не только результат произведения множителей, но и множитель по известному произведению и другому множителю. Как мы выяснили ранее, деление – это как раз и есть нахождение неизвестного множителя по известному произведению и еще одному множителю.
С помощью таблицы умножения можно проводить деление любого числа на желтом фоне на любое однозначное натуральное число. Покажем, как это делать. Есть два способа, применение которых мы будем рассматривать на примерах.
В столбце, верхняя ячейка которого содержит делитель 6, находим делимое 48. Результат деления при этом находится в крайней левой ячейке строки, содержащей делимое. Он обведен синей окружностью.
Сначала в строке с делителем 6 находим делимое 48. Результат деления при этом находится в крайней верхней ячейке столбца, содержащем делимое. Он обведен синей окружностью.
Итак, мы разделили 48 на 6 и получили 8. Результат был найден по таблице умножения двумя способами. Оба способа абсолютно идентичны.
Для закрепления рассмотрим еще один пример. Разделим 7 на 1. Приведем рисунки, иллюстрирующие процесс деления.
В результате деления числа 7 на 1, как вы уже догадались, получается число 7. В делении с помощью таблицы умножения очень важно знать эту таблицу наизусть, так как не всегда можно иметь ее под рукой.
Настоятельно рекомендуем выучить таблицу умножения!
Деление методом последовательного вычитания
Только что мы говорили о делении в контексте умножения. На основе этого знания можно проводить операцию деления. Однако, существует еще один, достаточно простой и достойный внимания подход – деление методом последовательного вычитания. Этот способ понятен интуитивно, поэтому рассмотрим его на примере, не приводя теоретических выкладок.
Сколько будет 12 разделить на 4?
Иными словами данную задачу можно сформулировать так: имеется 12 предметов (например, апельсинов), и их нужно разделить на равные группы по 4 предмета (разложить в коробки по 4 штуки). Сколько будет таких групп или коробок по четыре апельсина в каждой?
Шаг за шагом будем отнимать от исходного количества по 4 апельсина и формировать группы по 4 до того момента, пока апельсины не закончатся. Количество шагов, которые нам придется сделать, и будет ответом на изначальный вопрос.
Из 12 апельсинов откладываем первую четверку в коробку. После этого в исходной куче апельсинов остается 12-4=8цитрусовых. Из этих восьми в другую коробку забираем еще 4. Теперь в исходной куче апельсинов осталось 8-4=4штуки. Из этих четырех штук как раз можно сформировать еще одну, отдельную третью коробку, после чего в исходной куче останется 4-4=0 апельсинов.
Итак, мы получили 3 коробки, по 4 предмета в каждой. Иными словами, мы разделили 12 на 4, и получили в результате 3.
Работая с числами, не нужно каждый раз проводить аналогию с предметами. Что мы делали с делимым и делителем? Последовательно вычитали делитель из делимого, пока не получили нуль в остатке.
При делении методом последовательного вычитания количество операций вычитания до получения нулевого остатка и есть частное от деления.
Для закрепления рассмотрим еще один, более сложный пример.
Пример 1. Деление последовательным вычитанием
Вычислим результат деления числа 108 на 27 методом последовательного вычитания.
Более действий не требуется. Мы получили ответ:
Отметим, что данный метод удобен только в случаях, когда необходимое количество последовательных вычитаний невелико. В остальных случаях целесообразно применять правила деления, которые мы рассмотрим ниже.
Метод подбора частного
Прежде чем рассматривать этот способ деления, введем некоторые условия.
Пусть числа a и b делятся друг на друга, причем произведение b·10 дает число, большее, чем a. В таком случае частное a÷b является однозначным натуральным числом. Иными словами, это число от 1 до 9. Это типичная ситуация, когда метод подбора частного удобен и применим. Последовательно умножая делитель на 1, 2, 3, .. , 9 и сравнивая результат с делимым, можно найти частное.
Пример 9. Подбор частного
Начнем подбор частного.
Бинго! Частное найдено методом подбора:
Деление чисел
Деление — это арифметическое действие, с помощью которого можно узнать, сколько раз одно число содержится в другом.
Деление можно представить, как неоднократно повторяемое вычитание. Например, число 6 разделить на 2 — значит узнать, сколько раз число 2 содержится в 6:
1) 6 – 2 = 4,
2) 4 – 2 = 2,
3) 2 – 2 = 0.
Повторив вычитание 2 из 6, мы узнали, что 2 содержится в 6 три раза. Это можно проверить сложив три раза по 2 или умножив 2 на 3:
2 + 2 + 2 = 2 · 3 = 6.
Для записи деления используется знак : (двоеточие), который ставится между числами. Например:
Эта запись означает, что 6 надо разделить на 2. Справа от записи деления ставится знак = (равно), после которого записывается полученный результат:
Задача. В магазин привезли 9 морковок. Продавщица связала их в пучки по 3 морковки в каждом пучке. Сколько получилось пучков?
Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько раз по 3 содержится в числе 9. Для этого разделим 9 на 3. Получим 3.
Решение можно записать так:
Ответ: 3 пучка.
Пример. Решить примеры на деление с помощью схем.
1) 4 : 2 = 2;
2) 12 : 4 = 3, 12: 3 = 4.
Кратное и делитель
Если одно натуральное число делится без остатка на другое натуральное число, то первое называется кратным второго, а второе — делителем первого.
Кратное числа — это делимое, которое делится на данный делитель без остатка.
Делитель числа — это делитель, на который делимое делится без остатка.
Число 6 делится на число 3 без остатка. Следовательно, число 6 — кратное числа 3, а число 3 — делитель числа 6.
Пусть m и n — натуральные числа, если число m является кратным числа n, то говорят: m кратно n или m делится на n
Пример. 6 кратно 3 (шесть кратно трём) или 6 делится на 3 (шесть делится на три).
Самым маленьким кратным любого натурального числа является само это число, так как любое натуральное число можно разделить само на себя без остатка (в частном всегда будет единица).
Пример. Для числа 7 наименьшим кратным является число 7, для числа 2 — число 2:
7 : 7 = 1 (семь кратно семи);
2 : 2 = 1 (два кратно двум).
Для любого натурального числа существует бесконечно много кратных. Получить кратное для данного числа достаточно легко, можно просто умножить его на любое натуральное число, полученное произведение и будет его кратным.
Пример. Получим кратное числа 5, умножив его, например, на 2:
5 · 2 = 10.
Число 10 — кратное числа 5:
Так как на единицу делится любое натуральное число, то число 1 является делителем любого натурального числа.
В чем состоит смысл деления с остатком?
В случае натуральных чисел деление с остатком имеет следующий смысл. Мы уже знаем, что понятие натурального числа тесно связано с количеством чего-либо. Допустим, у нас есть некое число предметов (обозначим его a), а после его деления образуется остаток, условно d. У нас остались числа b и c. Есть два основных подхода к их обозначению:
1) если b –количество элементов в каждом равном множестве, полученном после деления, то c – это количество множеств, которое у нас получилось.
2) если b – это количество множеств, то c – это число предметов в каждом из них.
Поясним нашу мысль на конкретных числах. Допустим, натуральное число 13 было разделено на 4. В итоге мы имеем два числа – 3 и 1. Мы можем рассмотреть эту ситуацию с двух сторон:
1) тринадцать предметов были сгруппированы по 4. У нас получилось 3 группы, а в исходном множестве остался всего 1 предмет;
2) тринадцать предметов разложили по 4 группам. У нас получилось, что в каждой группе по 3 предмета, а остаток равен 1.
Если натуральное число a всегда можно разделить с остатком на любое натуральное b, то можно выделить следующие ситуации:
1. A можно разделить на b без остатка, то есть все предметы можно разделить на равные множества. При этом «лишних» у нас не останется, тогда d будет равно 0. Получается, что деление без остатка – это частный случай деления с остатком.
2. A может быть меньше b. Тогда ни одного требуемого множества мы из него составить не можем, и число c будет равно нулю, а остаток равен a (то есть числу предметов в исходном множестве).
3. A может делиться на b с остатком. Тогдазначения a, b, c и d будут натуральными числами.
Результат деления натуральных чисел a и b с остатком – это два числа c и d, которые либо оба являются натуральными, либо одно из них равно нулю.
Проверка результата деления
Проверка никогда не бывает лишней, особенно, если мы делили большие числа. Как проверять, правильно ли выполнено деление натуральных чисел? При помощи умножения!
Проверка результата деления
Чтобы проверить правильно ли выполнено деление, нужно частное умножить на делитель. В результате должно получится делимое.
Если выходит иначе, можно сделать вывод о том, что где-то закралась ошибка.
Смысл этого действия очень прост. Например, у нас было a предметов, и эти a предметов мы разложили на b кучек. В каждой кучке оказалось по с предметов. Математически это выглядит так:
Теперь объединим обратно все b кучек по с предметов. В результате должно получится та же совокупность предметов a.
Рассмотрим проведение проверки на двух примерах.
Пример 15. Проверка результата деления натуральных чисел
Число 475 разделили на 19. В результате получилось 25. Правильно ли выполнено деление?
Умножим частное 25 на делитель 19 и выясним, верно ли разделили числа.
Число 475 равно делимому, значит, деление выполнено верно.
Пример 16. Проверка результата деления натуральных чисел
Разделите и проверьте результат:
Будем представлять делимое в виде суммы слагаемых и осуществлять деление.
Вывод: деление выполнено верно.
Проверка результата деления чисел делением
Рассмотренный выше способ проверки основан на умножении. Существует также проверка делением. Как ее проводить?
Чтобы проверить верно ли найдено частное, нужно делимое разделить на полученное частное. В результате должен получится делитель.
Правило основано на той же связи между делимым, делителем и частным, что и правило из предыдущего пункта.
Пример 17. Проверка результата деления натуральных чисел
Верно ли равенство:
Разделим делимое на частное:
В результате получился делитель, значит, деление выполнено верно.
Пример 18. Проверка результата деления натуральных чисел
Вычислим и проверим: 240÷15=?