Как отличить параллельные линии от прямых? ) также на тему “Параллельные прямые”

Параллельные прямые (опорный конспект)

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 3 Параллельные прямые.

В геометрии нельзя «на глазок» определить, параллельны прямые или нет. Это может быть либо дано, либо доказано. Вы уже знаете, что на плоскости справедлива теорема: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой».

Есть еще три признака параллельности прямых, которые можно объединить в одну теорему, она так и называется: «Признаки параллельности прямых». Данные признаки связаны с углами, которые образуются при пересечении двух прямых третьей прямой. Это так называемые накрест лежащие углы, соответственные углы и односторонние углы.

Оказывается, что если накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые будут параллельны.

Справедливы и обратные утверждения. Если даны две заведомо параллельные прямые, которые пересечены третьей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°.

Ранее мы доказали, что через точку вне прямой можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Можно также доказать, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной. А вот доказать, что такая прямая — единственная, нельзя! Утверждение «Через точку, не лежащую на прямой, можно провести ЕДИНСТВЕННУЮ прямую, параллельную данной» называется аксиомой параллельных прямых. У Евклида эта аксиома называлась пятым постулатом.

На протяжении двух тысячелетий это утверждение вызывало захватывающие и драматичные споры между такими знаменитыми учеными, как Лобачевский, Гаусс и другие. Споры состояли в том, можно или нельзя доказать этот пятый постулат Евклида на основании уже известных теорем. В конце концов работы в этом направлении привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной.

При пересечении двух прямых третьей, которая называется секущей, образуется 4 пары накрест лежащих углов, 4 пары соответственных и 4 пары односторонних.

3 и 5; 4 и 6 — внутренние накрест лежащие углы;
1 и 7; 2 и 8 — внешние накрест лежащие углы;
1 и 5; 2 и 6; 4 и 8; 3 и 7 — соответственные углы;
3 и 6; 4 и 5 — внутренние односторонние углы;
2 и 7; 1 и 8 — внешние односторонние углы.

Признаки параллельности прямых. Если накрест лежащие углы равны, ши соответственные углы равны, ши сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. В первую очередь нужно доказать, что если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Доказательство опирается на уже доказанное нами свойство: две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. Из середины отрезка секущей опускают перпендикуляр на одну из параллельных прямых. Затем перпендикуляр продляют до пересечения со второй прямой. Из равенства полученных треугольников следует, что прямая, проходящая через перпендикуляр, будет перпендикулярна и второй прямой. Дальнейшее просто.

Через точку, не лежащую на данной прямой, МОЖНО провести прямую, параллельную данной. Опустив перпендикуляр из точки на прямую, а затем, восставив перпендикуляр к проведенной прямой, получим две прямые, перпендикулярные третьей, которые будут параллельны. А вот доказать, что такая прямая единственная, нельзя. Поэтому справедлива АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ЕДИНСТВЕННАЯ прямая, параллельная данной».

Теорема о двух прямых, параллельных третьей. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Если бы они пересекались, то через одну точку проходили бы две прямые, параллельные третьей.

Теорема о пересечении параллельных прямых. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Если бы эта прямая не пересекала вторую прямую, то она была бы ей параллельна. Но тогда через одну точку проходили бы две прямые, параллельные третьей. А это невозможно.

Свойства углов при параллельных прямых и секущей. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°. В первую очередь нужно доказать, что если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны. Пусть прямые параллельны, а накрест лежащие углы 1 и 2 не равны. Отложим угол, равный углу 2, как показано на рисунке. Получим еще одну прямую, параллельную нижней прямой (если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны). Но через точку нельзя провести две прямые, параллельные третьей. Значит, наше предположение неверно, и накрест лежащие углы равны. Остальное несложно.

Из указанных свойств параллельных прямых вытекает важное следствие: перпендикуляр к одной из параллельных прямых будет перпендикуляром и к другой. Доказательство следует из равенства соответственных углов.

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами. Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они одновременно острые ши одновременно тупые, и в сумме составляют 180°, если один из них острый, а другой — тупой. Продлив стороны данных углов, получим две пары равных соответственных углов, откуда ∠1 = ∠2. Продлив сторону угла 1 за его вершину, получим доказательство второй части теоремы.

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если они одновременно острые или одновременно тупые, и в сумме составляют 180°, если один из них острый, а другой — тупой. Проведя перпендикулярные лучи из вершины угла 1, получим, что углы 2 и 3 равны и углы 3 и 1 дополняют один и тот же угол 4 до 90°. Значит, ∠1 = ∠3, ∠1 = ∠2. Продлив сторону угла 2 за его вершину, получим доказательство второй части теоремы.

Это опорный конспект № 3 по геометрии в 7 классе «Параллельные прямые (опорный конспект)». Выберите дальнейшие действия:

3. Параллельные прямые

3.2. Признаки параллельности прямых

Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей, то образованные при этом углы имеют следующие названия:1) соответственные углы: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8;2) внутренние накрест лежащие: 3 и 6, 4 и 5; внешние накрест лежащие: 1 и 8, 2 и 7;3) внутренние односторонние: 3 и 5, 4 и 6; внешние односторонние: 1 и 7, 2 и 8.

Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие(внутренние или внешние) углы равны, то такие прямые параллельны.

Дано: прямые , и ; .Требуется доказать: .

Возьмем точку — середину и проведем . Докажем, что . (по стороне и двум прилежащим углам). В них . Но . Следовательно, : . Если будет дано, что равны внешние накрест лежащие углы, то обязательно будут равны и внутренние накрест лежащие углы. И для этого случая теорема доказана.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Воспользуйтесь рисунком и убедитесь, что из равенства соответственных углов следует равенство внутренних накрест лежащих углов (используйте свойство вертикальных углов) и по первому признаку параллельности прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних (внутренних или внешних) углов равна , то прямые параллельны.

Доказывается аналогично второму признаку параллельности (используйте свойство смежных углов).

«Параллельные прямые»

Через точку, не лежащую на данной прямой, на плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Выделенная часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Отказ от пятого постулата ведёт к геометрии Лобачевского. В геометрии Лобачевского через точку, лежащую за прямой, проходит множество прямых, которые не пересекают данную прямую.

Иногда Аксиому параллельных прямых принимают в качестве одного из свойств параллельных прямых, но вместе с тем на ее справедливости строят другие геометрические доказательства.

Примечание. В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.

Свойства и признаки параллельных прямых:

• Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
• Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
• Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.
• Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
• Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:
  – сумма внутренних односторонних углов равна 180°,
  – накрест лежащие углы равны,
  – соответственные углы равны,

Теорема Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложено несколько равных отрезков и через их концы проведены параллельные прямые, не пересекающие другую прямую, то и на ней отложатся равные отрезки.

Это конспект по теме о параллельных прямых. Выберите дальнейшие действия:

Задачи для 7 класса по геометрии на тему параллельные прямые с решением

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ОПОРНЫХ ЗАДАЧ

Задача № 1. Дано: AB = BC, ∠BAC = ∠CAD. Доказать: BC ∥ AD.

Задача № 2. Дано: ΔABC = ΔDEF, AC и DF лежат на одной прямой. Доказать: 1) BC ∥ EF, 2) AB ∥ DE.

Задача № 3. Дано: ∠1 = 61, ∠3 = 119, c ∩ a, c ∩ b. Доказать: a ∥ b.

Задача № 4. Дано: a ∥ b, c ∩ a, c ∩ b, ∠1 + ∠4 = 110°. Найти: ∠2, ∠3.

Задача № 5. Дано: ∠1 = ∠2, ∠4 = 130°. Найти: ∠3.

Задача № 6. Дано: AB ∥ CD, AB = BC, ∠ABF = 45°. Найти: ∠ACD.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ по теме Параллельные прямые». Выберите дальнейшие действия:

Спасибо. Все четко, ясно и понятно.

Добавить комментарий Отменить ответ

• Опорный конспект 1. Окружности
• Опорный конспект 2. Описанные и вписанные окружности
• Опорный конспект 3. Теорема синусов. Теорема косинусов
• Опорный конспект 4. Правильные многоугольники

Найти конспект

Сайт «УчительPRO» — некоммерческий школьный проект учеников, их родителей и учителей. Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie и других пользовательских данных в целях функционирования сайта, проведения статистических исследований и обзоров. Если вы не хотите, чтобы ваши данные обрабатывались, покиньте сайт.

Возрастная категория: 12+

(с) 2021 Учитель.PRO — Копирование информации с сайта только при указании активной ссылки на сайт!

Задачи по теме «Параллельные прямые» 7 класс

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

На рисунке прямые a и b параллельны, угол 1 равен 28 0 . Найдите угол 2 .

На рисунке прямые m и n параллельны, угол 1 равен 56 ∘ . Найдите угол 2 .

На рисунке прямые a и b параллельны, угол 1 равен 38 ∘ . Найдите угол 2 .

На рисунке прямые m и n параллельны, угол 1 равен 75 ∘ . Найдите угол 2 .

На рисунке прямые a и b параллельны, ∠ 1 + ∠ 2 = 250 ∘ . Найдите угол 3 .

На рисунке AB ║ CD , AB = AC , ∠ BCD = 45 0 . Найдите угол BAC .

На рисунке прямые m и n параллельны, k — секущая, угол 1 составляет 60 % угла 2 . Найдите угол 1 .

На рисунке ∠ 1 + ∠ 2 = 180 ∘ , ∠ 3 = 45 ∘ . Найдите угол 4 .

На риунке ∠ 1 = ∠ 2 , ∠ EDF = 145 ∘ . Найдите угол BCF .

«Управление общеобразовательной организацией

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1585638

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

Правительство направит регионам почти 92 миллиарда рублей на ремонт и оснащение школ

Во всех педвузах страны появятся технопарки

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

ОНФ планирует решить проблему с низкими зарплатами водителей школьных автобусов в России

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

«Параллельность прямых. Решение задач». 7-й класс

— продолжить работу над формированием у учащихся базовых теоретических и практических навыков по данной теме (организовать отработку теоретических и практических знаний учащихся по теме “параллельность прямых”);

— продолжить знакомство с различными методами решения задач, организовать работу по составлению алгоритма (способа), схемы рассуждений при решении задач;

1. Организационный момент. Актуализация опорных знаний.

Сегодня мы продолжим изучать тему “Параллельность прямых”.

Давайте вспомним, на каких вопросах мы останавливались:

— определение параллельных прямых;

— следствия из аксиомы параллельности;

— свойства параллельных прямых;

Виды углов:1 и 4, 5 и 6, 7 и 6, 1 и 9, 4 и 11, 3 и 9, 2 и 11, 3 и 10, и т.д.

Сейчас вы в течение 2-3х минут повторяете теоретический материал по обучающим карточкам. (Обучающие карточки представляют собой двухсторонние карточки, на одной стороне которых записывается начало теоремы, следствия, свойства, а на оборотной стороне продолжение. Учащийся начинает формулировать теорему, следствие, свойство не переворачивая карточку, затем переворачивает и проверяет себя. Если все верно, кладет карточку справа от себя, если допустил ошибки, кладет слева. Когда проговорит весь теоретический материал, берет карточки слева и проговаривает снова. И т.д.)

Сколько неверных вариантов осталось по истечении времени?

Каждый из вас знает, какие теоретические вопросы ему нужно повторить ещё раз к следующему уроку. (Таким образом, ученик сам оценивает уровень своей теоретической подготовки по данной теме).

2. Новый материал.

Мы за время с начала урока повторили теоретический материал: определения, свойства, признаки, виды углов.

Как вы думаете, для чего мы всё это повторили? Где все это нам необходимо применять?

При решении задачи

— Записываем число и тему урока в тетрадь.

— А какие именно задачи мы будем решать?

— Где необходимо доказать параллельность прямых или использовать свойства параллельных прямых?

— Каким образом мы можем подойти к параллельности прямых?

— Через равенство углов (какие признаки конкретно к каким углам: односторонние, накрест лежащие, соответственные)?

— Т.е. нам необходимо иметь равные углы (накрест лежащие или соответственные) или дающие вместе 180°. С какими фигурами мы обычно работали, доказывая равенство углов?

— Доказывали, что треугольники равны, а затем делали вывод о равенстве необходимых сторон или необходимых углов.

— Составим схему рассуждения при решении задач на доказательство параллельности прямых:

— найти углы, необходимые для решения;

— доказать равенство треугольников, в которые эти углы входят;

— сделать вывод о параллельности прямых на основании признака параллельности.

3. Решение задач.

— Сформулируйте задачу на доказательство равенства треугольников по данному чертежу.

— Попробуйте сформулировать вопрос (из новой темы) (на доказательство параллельности прямых).

(Учащиеся формулируют вопрос)

3) прямые параллельны,

— Cформулируйте текст задачи и вопрос (из старой темы) (на равенство треугольников).

— Cформулируйте вопрос (из новой темы) (на доказательство параллельности прямых).

По вариантам записать решение (до 3-4 минут).

Вместе с классом проверяют решение (чтение вслух и обсуждение). Можно решение вывести на слайд и попросить учащихся оценить себя по эталону.

Итогом работы является заполненная таблица с пошаговым алгоритмом решения задач.

4. Этап первичного практического закрепления

Учащиеся работают с тестами (приложение , )

Ответы

2. Углы: KMN и PNM, MKP и NPK.

3. Углы: MON и KOP, MOK и NOP.

4. Углы: KOM MON, MON NOP, NOP POK, POK KOM.Вариант 34,2,5,5,6,3,2,3,41. Углы: EAP и KPE, EAK и PKA, PAK и EKA, APE и KEP.

2. Углы: EAP и KPA, AEK и PKE.

3. Углы: EOA и KOP, AOP и KOE.

4. Углы: EOA и AOP, AOP и POK, POK и KOE, KOE и EOA.

Учащиеся проверяют результаты в парах, ставят отметки. Ответы выводятся на экран. Критерии определяет сам учитель исходя из уровня подготовки класса.

5. Подведение итогов, домашнее задание:

Д/з: п.24-29, № 209-обязательный уровень, №213-дополнительно.

— Итак, давайте вспомним, какую задачу мы ставили, начиная урок?

— Выработка алгоритма рассуждений при решении задач по данной теме (проговаривают алгоритм).

— Оценка своей работы на уроке (включая теорию и практику), постановка личных задач, связанных с вопросами, требующих дополнительной проработки дома.

В этой статье будет предоставлена информация о признаках параллельности прямых на плоскости. Смотрите доказательства параллельности прямых, представленные примеры и рисунки для наглядного пояснения данной темы.

Из учебника по геометрии следует, что параллельными прямыми на плоскости считаются прямые, что не имеют общих точек пересечения. Если же трактовать правило в трехмерном пространстве, то параллельными прямыми считают такие две линии, которые расположены на одной плоскости и, опять-таки, не имеют общих точек.

У параллельности линий есть признаки, аксиомы, свойства. Далее подробней изучим 3 признака параллельности двух прямых на плоскости.

Признаки параллельности двух прямых на плоскости

Сначала рассмотрим, какая разница между понятиями: признак, свойство и аксиома. Это позволит не путаться в дальнейшем, что очень важно для точных наук:

• Признаки – это некие факты, именно по признакам и можно установить истинное ли суждение об интересующих предметах или нет.
• Свойства – это точные формулировки (правила), которые невозможно опровергнуть.
• Аксиома – это должное утверждение, совершенно не требующее доказательств. Именно на аксиомах и строятся, в частности в геометрии, доказательства признаков и свойств.

Что такие термины: аксиома, теорема, следствие

Как видите, понятия имеют отличия друг от друга. Дальше больше изучим 3 признака параллельности двух прямых на плоскости, чтобы доказать признаки, придется применять аксиомы, свойства.

Из геометрии известно, что существует 3 признака параллельности двух прямых на плоскости. Это изучалось в седьмом классе.

Признаки параллельности двух прямых – 7 класс:

ВАЖНО: Существуют обратные признаки параллельности линий. Они трактуются в обратной очередности. Точнее, две линии считаются параллельными. Об этом будет говориться в последнем пункте.

Первый признак параллельности двух прямых на плоскости — доказательство

Признаки параллельности двух прямых на плоскости очень часто применяются для решения разнообразных геометрических задач, потому нужно не только знать, как его формулировать, а еще уметь и доказать данное утверждение.

Еще раз повторим – первый признак звучит так:

Когда две линии перпендикулярны третьей, то они между собой не имеют общих точек пересечения и параллельны. К данному изречению следует добавить, если линии лежат в одной плоскости, так как в трехмерном пространстве данное утверждение не совсем верно.

Доказать признак можно легко. Для наглядности ниже представлен рисунок:

Чертеж первого признака о параллельности двух линий

Представьте себе, что из одной точки можно провести две линии от другой линии. Но тогда не получится прямых углов, соответственно последнее утверждение не верное, а признак является верным.

Второй признак параллельности двух прямых – доказательство

Все признаки параллельности двух прямых на плоскости не так сложно и запомнить, но вот второй является самым сложным в плане доказательств.

Смотрите изображение далее, здесь подробно описано, какие образуются углы при пересечении линией двух прямых:

Изучив рисунок выше, теперь вы сможете разобраться, какие углы накрест лежащие, а какие соответственные. Ниже приведено изображение, по которому легко доказать, второй признак параллельности линий.

Второй признак параллельности двух линий

• Итак, точки C, D – это точки пересечений двух линий a, b. Вначале на отрезке путем несложных вычислений находим среднюю точку отрезка DC.
• Это будет K, необходимо через середину отрезка (через точку K) провести линию ⊥ к b.
• Углы в вершине с точкой K будут равны друг другу, потому что они вертикальные, а по условию задано, что ∠ACK=∠KDB. Еще и CK=KD. Из этого следует, что треугольники, образовавшиеся в результате пересечения двух линий, равны.
• Угол CAK равен 90º по условию, поскольку линия AB перпендикулярна прямой a. Значит и углы, образованные линией AB с прямыми a, b, равны 90º и треугольники CAK и KBD прямоугольные.
• А по первому признаку перпендикуляр можно провести только к двум параллельным линиям.

• Опять-таки, первое, что следует сделать провести перпендикуляр к линии a.
• Из равенства треугольников CAK и KBD вытекает, что:
• Угол у основания будет равен 90º по условию и соответственный ∠KBD=90º.
• Значит линия BA является перпендикуляром и для линии a, и для прямой b.

Третий признак параллельности двух прямых – доказательство

• Нужно провести перпендикулярную линию к прямой a, углы, образовавшиеся у основания на линии a, будут равны 90º и 90º=180º.
• Углы в вершине с точкой K будут равны друг другу, потому что они вертикальные. Еще и CK=KD по условию. Из этого следует, что треугольники образовавшиеся в результате пересечения двух линий, равны.
• Значит линия BA является перпендикуляром и для линии a, и для линии b.

Признаки параллельности двух линий на одной поверхности

Исходя из рисунка, ∠1 и ∠4 смежные. Как мы уже знаем, сумма смежных углов (∠1+∠4) равна 180º. При этом ∠1=∠2, как накрест лежащие.

Отсюда вывод: сумма односторонних углов равна 180º(∠2+∠4=180º).

Обратные признаки параллельности двух прямых на плоскости

Еще существуют обратные признаки параллельности двух линий на одной плоскости. И их утверждения звучат с точностью до наоборот:

Далее в видео будут представлены наглядные доказательства признаков параллельности двух линий в одной плоскости.

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

• В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
• Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

• Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
• Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
• Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

• S = a × h, где a — сторона, h — высота.
• S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a2 × sinα.
• Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
  Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почтуРеши домашку по математике на 5.Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

• Противоположные стороны параллелограмма равны.
  ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
  ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
  ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
• Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
  ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
• Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.

  ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.

• В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d12 + d22 = 2 × (a2 + b2 ).

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

• AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
• ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
• Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
  CO = AOBO = DO
• CO = AO
• BO = DO

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

• AC — общая сторона;
• По условию AB = CD;
• ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

• AB = CD
• BC = AD

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

• AC — общая сторона;
• AB = CD по условию;
• BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

• ∠ DCA = ∠BAC
  А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.
• ∠DAC = ∠BCA
  Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

• CO = OA;
• DO = BO;
• углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Учитель математики и информатики МБОУ гимназии №2 г. Сальска Кузьминчук Елена Сергеевна

Открытый урок по геометрии 7 класс

«Решение задач по теме «Параллельные прямые»

• систематизировать, проверить и оценить знания обучающихся по изученной теме;
• формировать умения и навыки применения теоретических знаний при решении задач;
• прививать интерес к предмету, формировать коммуникативные навыки и волевые качества личности;
• развивать любознательность обучающихся, познавательный интерес к математике;
• учить проводить доказательные рассуждения, используя ИКТ (презентации, слайды); содействовать рациональной организации труда;
• развивать творчество школьников.

• повторению основных положений по теме: «Параллельные прямые»;
• закреплению навыков в решении задач по данной теме.

Интегрированный урок систематизации материала по данной теме.

Организационные формы общения:

• Мотивационная беседа с последующей постановкой цели урока.
• Фронтальная работа на знание требуемых фактов.
• Решение задач по готовым чертежам.
• Работа по карточкам.
• Подведение итогов урока.

учебник «Геометрия. 7–9 классы» (авт. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев); мультимедийный проектор, компьютер, экран, карточки.

1. Мотивационная беседа с обучающимися.

– Здравствуйте, ребята. Настройтесь на работу. Открываем тетради, записываем число, классная работа и тема урока «Решение задач по теме «Параллельные прямые»». Как вы справились с домашним заданием, мы проверим в ходе нашего урока. Какую тему мы с вами изучаем?  Давайте повторим основные понятия и положения темы.

2. Фронтальная работа с классом.

– А какие прямые мы назовем параллельными? (непересекающиеся прямые на плоскости называются параллельными).

– Какие углы образуются при пересечении 2х прямых секущей? (накрест лежащие, соответственные и односторонние).

– Выберите верные утверждения.

– Но мы же не всегда можем, глядя на прямые сказать, что они параллельны. С помощью чего мы можем доказать, что прямые параллельны? (с помощью признаков параллельности).

– Сколько таких признаков существует?  Какие это признаки? (по равенству накрест лежащих углов, по равенству соответственных углов, по сумме односторонних углов).

– Сформулируйте I признак параллельности прямых. (Если при пересечении 2х прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны)

– Сформулируйте II признак параллельности прямых. (Если при пересечении 2х прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны)

– Сформулируйте III признак параллельности прямых. (Если при пересечении 2х прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны)

– А какой еще факт о параллельных прямых вы знаете? (Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной). Как этот факт называется? (аксиомой параллельных прямых).

– Какие следствия вытекают из этой аксиомы? (Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и вторую. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны).

3. Решение задач по готовым чертежам.

– Молодцы. А теперь будьте внимательны. Какой вопрос перед нами? Внимание на чертеж.

– Что нам надо доказать?

– С помощью чего мы это будем доказывать? (с помощью признака параллельности прямых).

– Какой признак мы можем здесь использовать? (по равенству накрест лежащих углов).

– Докажите, что прямые параллельны. а они накрест лежащие при прямых a и b и секущей с , значит прямые параллельны по равенству накрест лежащих углов. ч.т.д.)

На основании чего прямые параллельны? Аналогично решаются следующие задачи.

– На карточках (прил. 1) подписали фамилию,  ответили на этот же вопрос и быстренько сдали работы.

– Проверяем. Поднимите руки кто правильно ответил на все вопросы; кто какие ошибки допустил? (не оставлять не объясненными ошибки).

– Молодцы. За доской идут работать 2 ученика . А мы будем работать на местах.

– Не переносим рисунок в тетрадь и самостоятельно решаем.

– Все ли у нас есть, чтобы ответить на вопрос?

– А что мы можем сначала доказать?

– А эту задачу у нас решал _______. Давайте проверим (выходит к доске и объясняет).

– Хорошо. Давайте проверим задачу, которую решал __________ (выходит к доске и объясняет).

– А для чего мы рассмотрели эту задачу? (такой кусочек есть в нашей задаче).

– Итак, мы доказали, что , какой вывод мы можем сделать? (по следствию из аксиомы параллельных прямых).

– Итак, что нам необходимо доказать?

– Что необходимо иметь, чтобы это доказать? (какие-либо данные для использования одного из признаков параллельности).

– Что нам известно? (что угол NKM равен углу BCА).

– А эти углы какие при прямых ВС и NK и секущей АК?

– Делаем вывод. (Прямые NKǁВC по равенству соответственных углов).

– Проверяем вторую часть задачи (сначала идет устная проверка, исправление ошибок, потом дети переносят решение себе в тетради).

– А если нам известно, что прямые параллельны, то, что мы можем сказать об углах, образованных этими прямыми и секущей? (что накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180 Как эти теоремы называются?

– Сформулируйте обратную теорему. (При пересечении параллельных прямых секущей, накрест лежащие углы равны).

– Сформулируйте обратную теорему. (При пересечении параллельных прямых секущей, соответственные углы равны).

– Сформулируйте обратную теорему. (При пересечении параллельных прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180

– Выберите верное утверждение.

– А что произойдет, если мы поменяем местами то, что дано и то, что доказать? (получим обратную задачу).

– Как ее будем решать? (т.к. прямые параллельны, то по теореме накрест лежащие углы будут равны, значит

– Молодцы. Записываем следующую задачу (один у доски).

– Внимательно читаем условие. Какой вопрос перед нами?

– Чтобы решить эту задачу, что будем использовать?

– Почему и какую? (т.к. прямые параллельны, поочередно все три или можем воспользоваться свойствами вертикальных и смежных углов).

– Что нам известно о параллельных прямых, пересеченных секущей? (что накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, сумма односторонних углов равна 180

– Пожалуйста, что мы можем найти?  – Решили задачу?

– Почему мы смогли найти требуемые углы? (т.к. мы знали, что прямые параллельны).

– А чем воспользовались для нахождения углов?

– Возьмите листочки с заданием (прил. 2), подпишите фамилию и класс и быстренько ответьте на вопросы.

Если остается время решаем задачи 9, 10, если не успеваем, то переходим к подведению итогов.

4. Подведение итогов.

– Итак, с какими прямыми мы работали?

– Как доказать, что прямые параллельны? (используя признаки параллельности прямых).

– Какие это признаки? (по равенству накрест лежащих, соответственных углов и по сумме односторонних углов).

– Что мы знаем об углах, образованных при пересечении параллельных прямых секущей? (что накрест лежащие, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов равна 180

5. Домашнее задание.

– Молодцы, открываем дневники записываем Д/з.

Полезным ли для вас был данный урок? Что вы научились делать? Остались ли «темные» места в ваших знаниях по данной теме?

– Урок окончен, спасибо за работу, до свидания.

Параллельность прямых, прямой и плоскости и параллельность плоскостей в пространстве

Помнишь, на плоскости была тема «Параллельные прямые»?

Так вот, в пространстве тоже бывают параллельные прямые.

А еще есть параллельность плоскостей – очень важная штука в стереометрии.

Умея с ней работать, становится легче находить углы и значения величин в задачах, выполнять правильные построения.

Читай статью и будешь знать о параллельности плоскостей все!

Параллельность прямых в пространстве

Прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Обрати внимание! Здесь очень важны слова “лежат в одной плоскости”.

Потому что в пространстве бывают другие, НЕ параллельные прямые, которые тоже НЕ пересекаются. Вот, например, такие:

Видишь, через прямые ( displaystyle a) и ( displaystyle b) никак нельзя провести плоскость, но они и не пересекаются.

Такие прямые называются скрещивающиеся.

Не пересекающиеся! И не параллельные!

Итак, ещё раз:

Прямые в пространстве параллельны, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Признаки параллельности прямых в пространстве

Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.

Пример на признак параллельности прямых в пространстве

Пусть плоскости ( displaystyle ABDC) и ( displaystyle CDFE).

( displaystyle ABparallel EF), значит, ( displaystyle ABparallel CD) по признаку параллельности прямых в пространстве.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость параллельны, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

Вот так: видишь, прямая как бы «висит» над плоскостью.

И представь себе, существует признак параллельности прямой и плоскости. Давай его сформулируем.

Признак параллельности прямой и плоскости

Прямая (displaystyle  a ) параллельна плоскости (displaystyle  alpha ), если в этой плоскости есть (хоть  одна!) прямая (displaystyle b ), параллельная (displaystyle a ).

Можно сказать и немного другими словами, но смысл остаётся тот же.

Если прямая (displaystyle a ) параллельна прямой (displaystyle b), лежащей в плоскости (displaystyle alpha), то прямая (displaystyle  a ) параллельна и всей плоскости (displaystyle alpha ).

Пример на признак параллельности прямой и плоскости

Пусть (displaystyle SABCD) – правильная 4 – угольная пирамида.

Тогда, например, (displaystyle AB parallel  SCD). Почему? Но ведь (displaystyle AB parallel CD), а (displaystyle CD ) лежит в плоскости (displaystyle SCD).

Значит (по признаку) (displaystyle AB parallel SCD).

Плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжали

И так же, как для прямой и плоскости, есть признак параллельности плоскостей. Его формулировка немного длиннее.

Признак параллельности двух плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Параллельность в пространстве

Ух, ну и название! О чём же мы?

А вот ты задумайся над вопросом: правда ли, что если прямая ( displaystyle a ) параллельна прямой ( displaystyle b), a ( displaystyle b parallel c), то ( displaystyle a parallel c)?

И есть ответ: правда! И как раз такой перенос с “( displaystyle a)” через “( displaystyle b)” на “( displaystyle c)” и называется «транзитивность».

Давай-ка теперь рассмотрим несколько вариантов в буквах и картинках:

( displaystyle a parallel b) и ( displaystyle b parallel c Rightarrow a parallel c).

( displaystyle alpha parallel eta) и ( displaystyle eta parallel gamma Rightarrow alpha parallel gamma).

( displaystyle aparallel alphaquad) и ( displaystyle quad alphaparallel etaRightarrow aparallel eta).

( displaystyle aparallel alpha ) и ( displaystyle alpha parallel b) ( displaystyle НЕ Rightarrow ) ( displaystyle aparallel b).

Посмотри – убедись!

Ну вот, мы обсудили определения и признаки параллельности прямых и плоскостей и даже немножко порисовали транзитивности. Давай теперь рассмотрим несколько примеров.

Пример на признак параллельности плоскостей

Пусть в пирамиде ( displaystyle SABC) проведена плоскость ( displaystyle MNK) через середины рёбер ( displaystyle SA), ( displaystyle SB) и ( displaystyle SC).

Тогда ( displaystyle MNKparallel ABC). Почему?

Да просто ( displaystyle MNparallel AB) (средняя линия), ( displaystyle NKparallel BC) (тоже средняя линия, но в ( displaystyle Delta SBC)).

Значит, получилось, что ( displaystyle MN) и ( displaystyle NK) – пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны ( displaystyle AB) и ( displaystyle BC) – пересекающимся прямым в другой плоскости – работает признак ( displaystyle Rightarrow ) ( displaystyle MNKparallel ABC).

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 – WhatsApp/Телеграм для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж – c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);

Краткий конспект учебника по геометрии за 7 класс (А.Г.Мерзляк и др.) в 4-х частях. Цитаты из учебника помогут учащимся, которые сдали учебник в библиотеку при переходе в старший класс, быстро освежить знания, полученные в 7 классе. Часть 3-я.

Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника

Определение
Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

§ 14. Признаки параллельности двух прямых

Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 202). Прямую с называют секущей прямых a и  b. Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними. Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими. Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4 и 8 называют соответственными.

§ 15. Свойства параллельных прямых

§ 16. Сумма углов треугольника

§ 17. Прямоугольный треугольник

§ 18. Свойства прямоугольного треугольника

Параллельные прямые
Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых)
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Признаки параллельности двух прямых
• Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
• Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
• Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
• Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых
• Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.
• Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны.
• Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.

Расстояние между параллельными прямыми
Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Теорема о сумме углов треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°.

Внешний угол треугольника
Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

Свойство внешнего угла треугольника
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Сравнение сторон и углов треугольника
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Гипотенуза и катет
Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами.

Признаки равенства прямоугольных треугольников
• По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
• По двум катетам: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
• По катету и прилежащему острому углу: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
• По катету и противолежащему острому углу: если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного тре угольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны.
• По гипотенузе и острому углу: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Свойства прямоугольного треугольника
• В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
• Катет, лежащий против угла, величина которого равна 30 °, равен половине гипотенузы.
• Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Это конспект по теме «Мерзляк Геометрия 7 Глава 3». Выберите дальнейшие действия:

Набор устных заданий по теме «Признаки параллельности прямых на плоскости»

№1 . Назовите: 1) накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей с; 2) односторонние углы при прямых b и c и секущей а; 3) соответственные углы при прямых a и c и секущей b . Ответ: 1) 6 и 12, 7 и 9 2) 3 и 9, 2 и 10 3) 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7

№2 . Найдите пары параллельных прямых и докажите их параллельность.

№3 . Исходя из данных рисунка, докажите, что прямые a и b параллельны.

№4. Исходя из данных рисунка, докажите, что прямые a и c параллельны.

№5. Докажите, что а) m // n , б) a // b

№6. Найдите пары параллельных прямых и докажите их параллельность.

№7. На рисунке прямые a и b параллельны. Какие из занумерованных углов будут равны?

№8. На рисунке прямые a и b параллельны. Какие из занумерованных углов будут равны? Пусть . Величины каких углов можно определить?

№9. На рисунке a // b . = Найдите 1.

№10. По данным рисунка найдите

№11. По данным рисунка найдите , если AD – биссектриса .

№12. Параллельны ли прямые АМ и ВК, если

№13. Докажите, что РЕ // МК, если и РМ = РЕ.

№14. По данным рисункам докажите, что АВ // DF .

№16. По данным рисункам найти угол Х.

№ 16. По данным рисункам найти углы Х и У.

№17. Найдите параллельные прямые и докажите их параллельность.