Как сравнивать дроби?

Основная суть сравнения дробей, заключается в том, чтобы узнать какая дробь больше, а какая меньше. На конкретных примерах разберем, как сравнивать обыкновенные дроби с одинаковыми и разными числителями и знаменателями, как сравнивать дроби с целыми числами и другие случаи.

Как сравнивать обыкновенные дроби?

Существует несколько способов сравнения дробей. Сегодня поговорим о наиболее распространенных. О перекрестном сравнении дробей и сравнении дробей с промежуточным числом — смотрите на соответствующих страницах.

Как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями?

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями считается самым простым. Для этого необходимо лишь сравнить числители дроби. В общем виде правило выглядит так:

При сравнении двух дробей с одинаковыми знаменателями, больше будет та дробь — числитель которой больше.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Сравнить дроби с одинаковыми числителями не труднее, чем с одинаковыми знаменателями. Для этого сравнить придётся знаменатели двух дробей. Правило гласит:

При сравнении двух дробей с одинаковыми числителями, больше будет та дробь — знаменатель которой меньше.

Числители дробей — одинаковые. Соответственно сравниваем знаменатели 6 и 10. 6 < 10, отсюда:

Как сравнить дроби с разными знаменателями?

Сравнение дробей с одинаковыми числителями, как и с одинаковыми знаменателями — труда не составляет. А вот, сравнить дроби с разными знаменателями потребует чуть больше усилий. Итак:

Сравнение дробей с разными знаменателями сводится к тому, что необходимо привести дроби к одинаковому знаменателю, а затем сравнить числители.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти такое число, которое будет без остатка делиться и на знаменатель первой дроби и на знаменатель второй, т.е. число кратно обоим знаменателям. Ищем такое число для наших знаменателей 5 и 6 — это 30. Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого общий знаменатель разделим на знаменатель каждой дроби:

30 : 5 = 6

30 : 6 = 5

Полученные множители перемножаем с числителями:

Осталось просто сравнить числители. 12 < 15, соответственно:

Отсюда следует, что:

Бывают ситуации когда необходимо сравнить правильную дробь с неправильной. Для подобных случаев существует правило:

При сравнении неправильной дроби с правильной — большая всегда будет неправильная дробь.

Правила сравнения дробей

Резюмируя вышесказанное, выведем общий алгоритм сокращения дробей:

• Если знаменатели одинаковые — сравниваем числители. Большей будет та дробь — числитель которой больше.
• Если числители одинаковые — сравниваем знаменатели. Большей будет та дробь — знаменатель, которой меньше.
• Если знаменатели разные — приводим дроби к общему знаменателю и сравниваем числители. Большей будет та дробь — числитель которой больше.

Калькулятор сравнения дробей

Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.

Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.

Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.

Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

Например, сравним дроби

и ответим какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби

числитель больше, чем у дроби

. Значит дробь

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части.

пиццы больше, чем

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Следующий случай это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

. У этих дробей одинаковые числители. У дроби

знаменатель меньше, чем у дроби

больше, чем дробь

. Так и отвечаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части.

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями. Например, сравнить дроби

Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.

к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби

Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби

Умножим дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:

Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему

. Для этого выделим целую часть в неправильной дроби

. В дроби

После выделения целой части в дроби

Теперь можно легко понять, почему

2 целые пиццы и

пиццы, больше чем

Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.

Вычитая смешанные числа иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко как хотелось бы.

При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.

10 — уменьшаемое

8 — вычитаемое

2 — разность

Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.

А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример

5 — уменьшаемое

7 — вычитаемое

−2 — разность

В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.

Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.

С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.

Например, решим пример

Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая.

поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:

Теперь решим такой пример

Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:

В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.

Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения

Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать как это сделать. Если испытываете затруднения на этом моменте, обязательно изучите действия с дробями.

После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:

Теперь нужно сравнить дроби

А это значит что уменьшаемое

больше, чем вычитаемое

А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:

Пример 3. Найти значение выражения

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю:

Теперь сравним дроби

числитель меньше, чем у дроби

, значит дробь

меньше, чем дробь

А это значит, что и уменьшаемое

меньше, чем вычитаемое

А это гарантировано приведёт нас в мир отрицательных чисел. Поэтому разумнее остановиться на этом месте и не продолжать вычисление. Продолжим его после изучения отрицательных чисел.

Пример 4. Найти значение выражения

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем их к одинаковому (общему) знаменателю:

А это значит, что уменьшаемое

Поэтому мы смело можем продолжить вычисление нашего примера:

Сначала мы получили ответ

. Эту дробь мы сократили на 2 и получили дробь

, но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили целую часть в этом ответе. В итоге получили ответ

Задания для самостоятельного решения

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Например, из двух дробей

большей является дробь с числителем

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

большей является дробь со знаменателем

Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями. Приведение дробей к общему знаменателю

Для того, чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно сначала, пользуясь основным свойством дробей, привести их к соответственно равным дробям с одинаковыми знаменателями (привести к общему знаменателю), а затем сравнить полученные дроби, пользуясь методом сравнения дробей с одинаковыми знаменателями. Например, для того, чтобы сравнить дроби

приведем их к дробям с общим знаменателем, равным произведению знаменателей этих дробей:

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю. Дополнительные множители

В разделе «Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями. Приведение дробей к общему знаменателю» мы сравнивали дроби при помощи их приведения к общему знаменателю, равному произведению знаменателей. Однако этот способ часто приводит к большим вычислениям. Иногда удается сократить вычисления, приводя дроби не просто к общему знаменателю, а к наименьшему общему знаменателю.

Например, для того, чтобы сравнить рассмотренные в разделе “Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями. Приведение дробей к общему знаменателю”  дроби

приведем их к дробям с наименьшим общим знаменателем, равным наименьшему общему кратному знаменателей этих дробей.

Наименьшим общим кратным чисел     и     является число     Далее поскольку

что и требовалось показать.

. Числа     и     полученные из формул

называют дополнительными множителями.