Как умножать дроби с разными знаменателями 5 класс

Данная статья дана для разбора смешанных чисел. Научимся выполнять умножения смешанных чисел и натурального числа.

Похоже, вы используете . Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

Данная статья рассматривает действия над дробями. Будут  сформированы и обоснованы правила сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень дробей вида AB, где A и B могут быть числами, числовыми выражениями или выражениями с переменными. В заключении будут рассмотрены примеры решения с подробным описанием.

Обоснование правил

Существуют следующие математические моменты, на которые следует опираться при вычислении:

• дробная черта означает знак деления;
• деление на число рассматривается как умножение на его обратное значение;
• применение свойства действий с действительными числами;
• применение основного свойства дроби и числовых неравенств.

С их помощью можно производить преобразования вида:

Следующее действие, которое можно выполнять с дробями это деление. Выполнять деление дробей достаточно просто главное знать несколько правил деления. Разберем правила деления и рассмотрим решение примеров на данную тему.

Деление дроби на дробь.

Чтобы делить дробь на дробь, нужно дробь, которая является делителем перевернуть, то есть получить обратную дробь делителю и потом выполнить умножение дробей.

Выполните деление обыкновенных дробей  .

Деление дроби на число.

Чтобы разделить дробь на число, нужно знаменатель дроби умножить на число.

Деление числа на дробь.

Чтобы поделить число на дробь, нужно знаменатель делителя умножить на число, а числитель делителя записать в знаменатель. То есть дробь делитель перевернуть.

Выполните деление числа на дробь.

Деление смешанных дробей.

Перед тем как приступить к делению смешанных дробей, их нужно перевести в неправильную дробь, а дальше выполнить деление по правилу деления дроби на дробь.

Выполните деление смешанных дробей.

Деление числа на число.

Чтобы поделить простые числа, нужно представить их в виде дроби  и выполнить деление по правилам деления дроби на дробь.

Примечание к теме деление дробей:
На нуль делить нельзя.

Вопросы по теме:
Как делить дроби? Как разделить дробь на дробь?
Ответ: дроби делятся так, первую дробь делимое умножаем на дробь обратную дроби делителя.

Как делить дроби с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, все дроби делятся по правилу деления дроби на дробь.

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

Умножение дроби на число.

Воспользуемся этим правилом при умножении.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Умножение алгебраических дробей

При умножении алгебраических дробей используют
правила умножения обыкновенных дробей.

Примеры умножения дробей с переменными

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Тогда можно применять свойство сокращения.

Произвести умножение дробей x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и 3·x213·x+1-2sin2·x-x.

Необходимо выполнить умножение. Получаем, что

Число 3 переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на x2, тогда получим выражение вида

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими
правилами умножения дробей.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

• числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение
  записать в числитель новой дроби;
• знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение
  записать в знаменатель новой дроби;

Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить
дроби. Сокращение дробей при расчётах
значительно облегчит ваши вычисления.

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом
умножения обыкновенной дроби на число.

Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно
знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если
знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Умножение дробей онлайн

Чтобы умножить дробь на дробь нужно перемножить их числители и знаменатели, первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.

Возведение в степень

Перейдем к рассмотрению действия с дробями общего вида с возведением в степень. Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей. Но рекомендовано  использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения А и С, где С тождественно не равняется нулю, а любое действительное r на ОДЗ для выражения вида ACr справедливо равенство ACr=ArCr. Результат – дробь, возведенная в степень. Для примера рассмотрим:

Сложение дробей

При сложении дробей могут встретиться разные случаи.

Как умножить одну обыкновенную дробь на другую

Запишем сначала основное правило:

Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a/b и c/d это можно выразить как ab·cd=a·cb·d.

Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 14 и 18 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8·4=32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 132 от площади всей фигуры, т.е. 132 кв. единицы.

Далее нам надо выделить цветом часть исходного квадрата так, как это сделано на рисунке:

У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 58 числовой единицы и 34 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 58·34 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15, значит, общая площадь составляет 1532 квадратных единиц.

Поскольку 5·3=15 и 8·4=32, мы можем записать следующее равенство:

Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как ab·cd=a·cb·d. Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

Умножьте 711 на 98.

Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9. У нас получилось 63. Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11·8=88. Составим их двух чисел ответ: 6388.

Все решение можно записать так:

Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

Вычислите произведение дробей 415 и 556.

Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

Выполним сокращение дроби: 22090 НОД (220, 90)=10, 22090=220:1090:10=229. В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 229=249.

Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a·cb·d. Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

Вычислите произведение 415·556.

Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:

Поскольку как 4=2·2, 55=5·11, 15=3·5 и 6=2·3, значит,4·5515·6=2·2·5·113·5·2·3.

Далее мы можем просто сократить некоторые множители и получить следующее:

Нам осталось подсчитать несложные произведения в числителе и знаменателе и выделить целую часть из получившейся в итоге неправильной дроби:

Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении. Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей.

Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.

Даны дроби 82,7 и 12,7, то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.

Тогда получаем дробь вида 8+12,7. После выполнения сложения получаем дробь вида 8+12,7=92,7=9027=313. Значит, 82,7+12,7=8+12,7=92,7=9027=313.

Имеется другой способ решения. Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом:

Произведем вычитание из 1-23·log23·log25+1 дроби вида 233·log23·log25+1.

Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе. Получим, что

Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю. Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями.

Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю. То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям.

Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение.

Рассмотрим на примере сложения дробей 235+1 и 12.

В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что 2·35+1. Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен 2, а ко второй 35+1. После перемножения дроби приводятся к виду 42·35+1. Общее приведение 12 будет иметь вид 35+12·35+1. Полученные дробные выражения складываем и получаем, что

Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет.  В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей. Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.

Рассмотрим на примере 16·215 и 14·235, когда их произведение будет равно 6·215·4·235=24·245. Тогда  в качестве общего знаменателя берем 12·235.

Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида.

Для этого необходимо произвести умножение 2+16 и 2·53·2+1.

Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что 2+16·2·53·2+12+1·2·56·3·2+1.  Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения. Тогда 5·332+1:1093=5·332+1·9310.

Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной. Для этого числитель и знаменатель меняются местами. Рассмотрим на примере:

После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь. Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем, что

Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный 1, тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом. Например, выражение 16·74-1·3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 31 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 16·74-1·3=16·74-1·31.

Правила умножения дробей

Произведение двух дробей равно дроби. В числителе которой произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей.

Сложение смешанных чисел

Сочетательное и переместитительное свойства сложения позволяют привести
сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей.

Чтобы сложить смешанные числа нужно.

• Отдельно сложить их целые части.

  Складываем целые части.

• Отдельно сложить дробные части.
  Если у дробных частей знаменатели разные, то
  сначала приводим их к общему знаменателю, а затем складываем.
• Сложить полученные результаты из пунктов 1 и 2.
• Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то нужно
  выделить целую часть из этой дроби и прибавить к полученной
  в пункте 1 целой части.

Ещё один пример на сложение смешанных чисел.

Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида

Числовые дроби общего вида имеют числитель и знаменатель, в которых имеются натуральные числа или числовые выражения. Если рассмотреть такие дроби, как 35, 2,84, 1+2·34·(5-2), 34+782,3-0,8, 12·2, π1-23+π, 20,5ln 3, то видно, что числитель и знаменатель может иметь не только числа, но и выражения различного плана.

Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями. Оно подходит и для дробей общего вида:

• При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остается прежним, а именно: ad±cd=a±cd, значения a, c и d≠0 являются некоторыми числами или числовыми выражениями.
• При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями.  Буквенно это выглядит таком образом ab±cd=a·p±c·rs, где значения a, b≠0, c, d≠0, p≠0, r≠0, s≠0 являются действительными числами, а b·p=d·r=s. Когда p=d и r=b, тогда ab±cd=a·d±c·db·d.
• При умножении дробей выполняется действие с числителями, после чего со знаменателями, тогда получим ab·cd=a·cb·d, где a, b≠0, c, d≠0 выступают в роли действительных чисел.
• При делении дроби на дробь первую умножаем на вторую обратную, то есть производим замену местами числителя и знаменателя: ab:cd=ab·dc.

Как умножать обыкновенные дроби

Для умножения обыкновенных дробей нужно найти произведение числителей и произведение знаменателей. Первое произведение записать числителей а второе знаменателем.

умножим дроби 1/4 × 1/3. Для этого перемножим числители 1 × 1 = 1 и знаменатели 4 × 3 = 12 в итоге у нас получится дробь

Выполнение действие с дробями, содержащими переменные

Правила, рассмотренные в первой статье , применимы для действий с дробями, содержащими переменные. Рассмотрим правило вычитания, когда знаменатели одинаковые.

Необходимо доказать, что A, C и D (D не равное нулю) могут быть любыми выражениями, причем равенство AD±CD=A±CD равноценно с его областью допустимых значений.

Необходимо взять набор переменных ОДЗ. Тогда  А, С, D должны принимать соответственные значения a0, c0 и d0.  Подстановка вида AD±CD приводит разность  вида a0d0±c0d0, где по правилу сложения получаем формулу вида a0±c0d0. Если подставить выражение A±CD, тогда получаем ту же дробь вида a0±c0d0. Отсюда делаем вывод, что выбранное значение, удовлетворяющее ОДЗ, A±CD и AD±CD считаются равными.

При любом значении переменных данные выражения будут равны, то есть их называют тождественно равными. Значит это выражение считается доказываемым равенством вида AD±CD=A±CD.

Как умножить смешанную дробь на целое число

Чтобы умножить смешанную дробь на целое число нужно смешанную дробь перевести в неправильную. Затем числитель неправильной дроби умножить на целое число. Знаменатель оставить без изменения.

умножим смешанную дробь 2 целые 1/4 на целое число .

Перед умножением нужно смешанную дробь перевести в неправильную 2 целые 1/4 = 9/4. Затем умножить числитель неправильной дроби на целое число 9*6 = 54 а знаменатель останется без изменения 4. При необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.

Умножение дроби на натуральное число

Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель
дроби оставить без изменения.

Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то
есть выделить целую часть.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают
числители, а знаменатель оставляют тот же.

C помощью букв это правило сложения можно записать так:

Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.

Правило умножения алгебраических дробей

При умножении алгебраических дробей
умножается на ,
а — на .

Рассмотрим пример умножения алгебраических дробей.

При сокращении алгебраических дробей используют
правила сокращения алгебраических дробей.

Рассмотрим еще один пример умножения алгебраических дробей, которые содержат многочлены и в числителе, и в
знаменателе.

При умножении алгебраических дробей, которые содержат многочлены и в числителе, и в
знаменателе, заключайте многочлены в скобки целиком.

Неправильно

Как перемножить смешанные дроби

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно их перевести в неправильные. Затем перемножить числители и знаменатели.

умножим смешанную дробь 1 целая 2/5 на смешанную дробь 2 целые 1/3.

Переведём смешанные дроби в нерпавильные 1 целая 2/5 = 7/5 и 2 целые 1/3 = 7/3. Затем перемножим числители 7*7 = 49 и знаменатели 5*3 = 15. Получится дробь . При необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.

Сложение дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться
следующими правилами.

Пример. Сложить дроби.

Как найти общий знаменатель

Находим НОК .

НОК (15, 18) = 3 · 2 · 3 · 5 = 90

• Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель (НОК из пункта 1)
  делим по очереди на знаменатель каждой дроби. Полученные числа и будут дополнительными множителями
  для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.
  90 : 15 = 6 — дополнительный множитель для дроби .90 : 18 = 5 — дополнительный множитель для дроби .
• Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель, пользуясь
  основным свойством дроби. После умножения в знаменателях
  обеих дробей должен получиться наименьший общий знаменатель.
  Затем складываем дроби как дроби с одинаковыми знаменателями.
• Проверяем полученную дробь.
  Eсли в результате получилась
  неправильная дробь,
  результат записываем в виде смешанного числа. Проверим нашу
  дробь. 38 < 90 У нас дробь правильная.Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.
• Eсли в результате получилась
  неправильная дробь,
  результат записываем в виде смешанного числа. Проверим нашу
  дробь. 38 < 90 У нас дробь правильная.
• Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.
• Ещё раз весь пример целиком.

Деление у дробей аналогично умножению, так как первую дробь умножают на вторую обратную. Если взять к примеру дробь x+2·xx2·ln x2·ln x+1 и разделить на 3·x213·x+1-2sin2·x-x, тогда это можно записать таким образом, как

x+2·xx2·ln x2·ln x+1:3·x213·x+1-2sin(2·x-x), после чего заменить произведением вида x+2·xx2·ln x2·ln x+1·3·x213·x+1-2sin(2·x-x)

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби лучше представить в виде произведения обыкновенных дробей, умноженное на смешенное число неправильной дробью.

Заменим данное смешанное число 323 при помощи дроби 113, тогда получим, что 323·415=113·415=4·113·15=4445.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Как умножать 3 и более дробей

При умножении 3 и более дробей мы пользумеся теми же правилами что и при умножении двух дробей.

умножим правильную дробь на натуральное число и на смешанную дробь 3 целые 1/8.

Перед умножением нужно смешанную дробь перевести в неправильную 3 целые 1/8 = 25/8. Затем перемножить числители 1*5*25 = 125 и знаменатели 4*8 = 32. Полученное записать в виде дроби . При необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.

Порядок выполнения действий с дробями

Действия над дробями выполняются по определенным правилам. На практике замечаем, что выражение может содержать несколько дробей или дробных выражений. Тогда необходимо все действия выполнять  в строгом порядке: возводить в степень, умножать, делить, после чего складывать и вычитать. При наличии скобок первое действие выполняется именно в них.

Так как имеем одинаковый знаменатель, то 1-xcos x и 1cos x, но производить вычитания по правилу нельзя, сначала выполняются действия в скобках, после чего умножение, а потом сложение. Тогда при вычислении получаем, что

При подстановке выражения  в исходное получаем, что 1-xcos x-1cos x·x+1x. При умножении дробей имеем: 1cos x·x+1x=x+1cos x·x. Произведя все подстановки, получим 1-xcos x-x+1cos x·x. Теперь необходимо работать с дробями, которые имеют разные знаменатели. Получим:

Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

Покажем на примере, как это делается.

Умножьте четыре обыкновенные дроби 120, 125, 37 и 58.

Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 120·125·37·58. Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 120·125·37·58=1·12·3·520·5·7·8.

Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.

Перемножьте 5 чисел 78·12·8·536·10.

Для удобства мы можем сгруппировать дробь 78 с числом 8, а число 12 с дробью 536, поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
78·12·8·536·10=78·8·12·536·10=7·88·12·536·10=71·2·2·3·52·2·3·3·10==7·53·10=7·5·103=3503=11623

Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби ab на натуральное число n  можно записать в виде формулы ab·n=a·nb.

Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

Поясним нашу мысль конкретными примерами.

Вычислите произведение 227 на 5.

В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10. В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 1027. Все решение приведено в этой записи:

Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

Условие: вычислите произведение 8 на 512.

По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 512·8=5·812=4012. Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2, поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 103=313.

В этой записи можно видеть все решение целиком: 512·8=5·812=4012=103=313.

Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

Как умножать натуральное число на дробь

Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно числитель умножить на это число а знаменитель оставить без изменения.

Умножение смешанных чисел

Чтобы перемножить смешанные числа, надо
вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу
умножения обыкновенных дробей.

Умножение смешенного и натурального числа

После того, как произведется замена неправильной дробью, умножение смешенного и натурального числа сводится к умножению обыкновенной дроби  и натурального числа.

Произвести умножение 2518 и 45.

Представляем смешанное число 2518 в виде неправильной дроби 4118, получим 2518·45=4118·45=41·4518. Необходимо заменить на простые множители и выделить целую часть:

Умножение смешенного и натурального числа рассматривается, как решение с распределительным свойством умножения относительно сложения. Получаем, что произведение смешанного  и натурального числа равно сумме произведений целой части на натурально число и дробной части на данное натуральное число, тогда получаем, что abc·n=a+bc·n=a·n+bc·n.

Необходимо заменить смешанное число суммой целой или дробной его части. Далее используем свойство распределительного умножения:

Примеры сложения и вычитания дробей с переменными

Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители. Такая дробь может быть упрощена. Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это  незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования. Например, x23·x13+1 и x13+12 или 12·sin 2α и sin a·cos a. Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели.

Вычислить:1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2), x-1x-1+xx+1.

• Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+1-5-xx+x-2.  После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, чтоx2+1-5-xx+x-2=x2+1-5+xx+x-2=x2+x-4x+x-2
• Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель:​​​​​​lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg2x+4+4x·(lg x+2)
  Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби.  Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим (lg x+2)2 из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, что
  lg2x+4+2·lg xx·(lg x+2)=(lg x+2)2x·(lg x+2)=lg x+2x

Рассмотрим двоякий способ решения.

Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением. Получим дробь вида

В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе.

Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение x-1. Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя. Тогда

Ответ: 1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+x-4x+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg x+2x, 3)x-1x-1+xx+1=x-1+x·x-xx-1.

В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно. Для этого необходимо упрощать дроби. Для сложения или вычитая всегда необходимо искать общий знаменатель, который выглядит как произведение знаменателей  с добавлением дополниетльных множителей к числителям.

Вычислить значения дробей: 1) x3+1×7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·(2x-4)-sin xx5·ln(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x

• Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида 3·x7+2·2, тогда к первой дроби x7+2·2 выбирают как дополнительный множитель, а 3 ко второй. При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2
• Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться  произведение вида x5·ln2x+1·2x-4. Отсюда x4 является дополнительным множителем к первой дроби, а ln(x+1) ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что:
  x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x+1·x4x5·ln2(x+1)·2x-4-sin x·lnx+1×5·ln2(x+1)·(2x-4)==x+1·x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)=x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)

После чего получаем, что

1) x3+1×7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x=2·cos xcos x-x·cos x+x2.

Как умножить алгебраическую дробь на одночлен (букву)

Рассмотрим пример умножения алгебраической дроби на одночлен.

Представим одночлен «» как
алгебраическую дробь со знаменателем «».
Это можно сделать, так как при делении на
«» получается тот же самый одночлен.

При умножении алгебраической дроби не забывайте использовать
правило знаков.

Рассмотрим пример умножения двух отрицательных алгебраических дробей.

Перед тем как перемножить алгебраические дроби, определим итоговый знак по
правилу знаков: « на
дает
».

Значит, итоговым знаком произведения будет знак «».

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение смешанных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Для этого нужно сделать перевод смешанных чисел в неправильные дроби.

Используем правила умножения смешанных чисел:

• Умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
• Использование правила умножения дроби на дробь.

Рассмотрим решения на примерах.

Сделать умножение 357 и 1211.

Для начала умножаем смешанные числа в виде неправильных дробей: 357=3·7+57=267 и 1211=1·11+211=1311.

Умножение смешенных дробей заменяем умножением обыкновенных: 357·1211=267·1311.

После чего получим 267·1311=26·137·11=33877.

Дробь несократимая, поэтому выделяем целую часть:33877=43077.

В итоге получим 357·1211=267·1311=26·137·11=33877=43077.

Чтобы закрепить знания умножения смешанных чисел, рассмотрим пример решения.

Произвести умножение 715·119.

Смешанные числа 715 и 119 можно представить в виде неправильных дробей: 135 и 109.

Получим, что 715·119=365·109=36·105·9.

Этот этап характеризуется применением правила сокращения дроби, тогда получим 36·105·9.