Каковы формы геометрических углов в геометрии 7 класса? Основная информация о треугольниках и их свойствах в семи классах

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

• Определение равностороннего треугольника
• Свойства равностороннего треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медиан, проведенных к основанию и боковым сторонам равнобедренного треугольника, а также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

• Справочники
• Справочник по геометрии 7-9 класс
• Треугольники
• Медианы треугольника

Медиана треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. На Рис.1 АМ – медиана треугольника АВС (соединяет вершину А с серединой стороны ВС точкой М, т.е. ВМ = МС).

Любой треугольник имеет три медианы. На Рис.2, АМ, ВК, СD  – медианы треугольника АВС. Медиана АМ соединяет вершину А с серединой стороны ВС – точкой М (ВМ = МС), медиана ВК соединяет вершину В с серединой стороны АС – точкой К (ВК = КС), медиана СD соединяет вершину С с серединой стороны АВ – точкой D (АD = DB).

Замечательное свойство медиан треугольника: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. На Рис.2 медианы

Биссектриса треугольника

Биссектриса — луч, проведенный из вершины угла, делящий этот угол пополам.

Внутренняя биссектриса треугольника — отрезок, делящий угол треугольника пополам. У каждого треугольника 3 угла, значит, в каждом треугольнике можно провести 3 биссектрисы.

BE — биссектриса угла B. Причем E — основание этой биссектрисы. Основание биссектрисы — точка на одной из сторон треугольника, которую пересекает биссектриса.

Внешняя биссектриса треугольника — луч, который делит пополам смежный угол с одним из углов треугольника.

Биссектрисы треугольника свойства

Биссектриса любого угла треугольника делит его в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон.

Для приведенного выше треугольника можно составить следующую пропорцию: AECE=ABCB или AEAB=CECB

Свойство 2 (о вписанной окружности)

Точка пересечения трех биссектрис любого треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности

Точка О — центр вписанной окружности

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4 (формула биссектрисы треугольника)

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также длина двух других сторон треугольника, то длину биссектрисы можно найти по следующей формуле: BE2=AB×BC-AE×CE

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

Точка пересечения медиан треугольника

Медиана – это один из уникальных отрезков треугольника. Медиана имеет ряд свойств, полезных для решения задач, а точка пересечения медиан еще больше расширяет список этих свойств. О точке пересечения медиан, ее свойствах и пойдет речь сегодня.

Опыт работы учителем математики – более 33 лет.

Медиана

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой отрезка противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая зовется точкой пересечения медиан.

Медианы, в отличие от высот, всегда лежат внутри треугольника. Это логично, ведь отрезок медианы соединяет вершину и середину стороны. А середина стороны всегда лежит внутри треугольника.

Рис. 1. Медианы в тупоугольном треугольнике.

Если соединить два любых основания медиан отрезком, то получится средняя линия треугольника. Три средние линии треугольника образуют треугольник, подобный изначальному с коэффициентом подобия 1:2

Есть еще одно любопытное свойство медиан, которое позволит не запутаться при построении золотого сечения треугольника. Медиана в треугольнике всегда располагается между высотой и биссектрисой (исключение – равнобедренный и равносторонний треугольники).

Рис. 2. Золотое сечение произвольного треугольника.

Приведем формулу вычисления длины медианы по трем сторонам. Эта формула часто используется при решении задач, и потому ее желательно запомнить.

Зачастую ученикам проще запомнить словесную формулировку, а не заучивать формулу. Чтобы найти медиану по трем сторонам, нужно взять корень из сумм удвоенных квадратов сторон минус квадрат стороны, к которой проведена медиана. Полученный корень нужно поделить пополам.

Точка пересечения медиан является одной из 3 замечательных точек треугольника, которые составляют золотое сечение треугольника.

Точка пересечения медиан треугольника имеет ряд свойств, полезных при решении задач:

• Медиана точкой пересечения делится на отрезки в отношении 2:1 считая от вершины.
• Три медианы, проведенные в треугольнике, делят его на 6 равновеликих треугольников. Равновеликими называют треугольники с равной площадью. Сами по себе эти фигуры имеют мало общего, но численная характеристика площади у них совпадает.
• Точка пересечения медиан в треугольнике называется центроидом и является центром тяжести треугольника.

Точка пересечения медиан единственная из золотого сечения треугольника, имеет реальный физический смысл. Если из картона вырезать треугольник, тонким карандашом провести в нем медианы, то точка их пересечения будет центром тяжести плоской фигуры.

Рис. 3. Центр тяжести треугольника.

Это значит, что если установить иголку в эту точку, то фигура будет держаться на ней без прокола, исключительно за счет равновесия.

Что мы узнали?

Мы привели формулу вычисления медианы по 3 сторонам треугольника. Привели несколько свойств точки пересечения медиан в треугольнике. Поговорили о реальном физическом значение центроида треугольника.

Тест по теме

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

Оценка статьи

А какая ваша оценка?

Медиана треугольника

Медиана треугольника, так же, как и высота, служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы – это, как штрих-код на товаре, наша задача – просто уметь его считать.

Определение

Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.

Свойства медиан

• Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
• Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
• Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольников.

Равновеликими называют треугольники, площади которых равны.

Рис. 1. Три медианы образуют 6 равновеликих треугольников.

• Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
• Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Задачи

Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенузу находим через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$

Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:

Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это a, но может быть любая другая.

Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит, в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.

Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.

Высота треугольника

Почти никогда не получится определить все параметры треугольника без дополнительных построений. Эти построения являются своеобразными графическими характеристиками треугольника, которые помогают определить величину сторон и углов.

Одной из таких характеристик является высота треугольника. Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его противоположной стороне. Вершиной называют одну из трех точек, которые вместе с тремя отрезками составляют треугольник.

Определение высоты треугольника может звучать и так: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Это определение звучит сложнее, но оно точнее отражает ситуацию. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике не получится провести высоту внутри треугольника. Как видно на рисунке 1, высота в этом случае получается внешней. Кроме того, нестандартной ситуацией является построение высоты в прямоугольном треугольнике. В этом случае, две из трех высот треугольника будут проходить через катеты, а третья от вершины к гипотенузе.

Рис. 1. Высота тупоугольного треугольника.

Как правило, высоту треугольника обозначают буквой h. Также обозначается высота и в других фигурах.

Как найти высоту треугольника?

Существует три стандартных способа нахождения высоты треугольника:

Через теорему Пифагора

Этот способ применяется для равносторонних и равнобедренных треугольников. Разберем решение для равнобедренного треугольника, а потом скажем, почему это же решение справедливо для равностороннего.

Дано: равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. АВ=5, АС=8. Найти высоту треугольника.

Для равнобедренного треугольника важно знать, какая именно сторона является основанием. Это определяет боковые стороны, которое должны быть равны, а так же высоту, на которую действую некоторые свойства.

Свойства высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию:

• Высота совпадает с медианой и биссектрисой
• Делит основание на две равные части.

Высота – это перпендикуляр, значит ВDС – прямоугольный треугольник, а высота ВD является катетом этого треугольника.

Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, только основание у него равно боковым сторонам. То есть, можно использовать тот же порядок действий.

Через площадь треугольника

Этим способом можно пользоваться для любого треугольника. Чтобы им воспользоваться, нужно знать значение площади треугольника и стороны, к которой проведена высота.

Высоты в треугольнике не равны, поэтому для соответствующей стороны получится вычислить соответствующую высоту.

Через тригонометрическую функцию

Третий способ подойдет, если известна сторона и угол при основании. Для этого придется воспользоваться тригонометрической функцией.

Угол ВСН=30 градусам , а сторона BC=8. У нас все тот же прямоугольный треугольник BCH. Воспользуемся определением косинуса угла прямоугольного треугольника. Косинус острого угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, значит: BH/BC=cos BCH, а угол BCH равен 60 градусам, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Угол известен, как и сторона. Выразим высоту треугольника:

Значение косинуса в общем случае берется из таблиц Брадиса, но значения тригонометрических функций для 30,45 и 60 градусов – табличные числа.

Мы узнали, что такое высота треугольника, какие бывают высоты и как они обозначаются. Разобрались в типовых задачах и записали три формулы для высоты треугольника.

Медиана — это золотое сечение треугольника

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА.

У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам.

И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник.

Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка.

Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС.

Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА.

Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр.

Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок:

Есть в треугольнике обычномОтрезок очень непростойСоединяет он обычно с серединой стороны любойИ каждый должен знать отлично,Зовется медианой он.

Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно.

И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три!

И выглядят они вот так.

На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM.

Пересечение медиан треугольника

Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия.

Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть.

Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины.

Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом:

• Отрезок СО вдвое больше, чем отрезок АО;
• Отрезок РО вдвое больше, чем отрезок LO;
• Отрезок МО вдвое больше, чем КО.

Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов.

Медиана равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть.

Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой.

Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам.

И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине.

Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади.

Медиана прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами.

Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника.

Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник.

Вместо заключения

А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений.

Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины.

Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса».

И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей.

Вот и все, что мы хотели рассказать о МЕДИАНЕ. До новых встреч на страницах нашего блога.

Понятие углов, виды углов

Углы — тип геометрической фигуры, которая образуется посредством двух лучей, выходящих из одной точки.

Обычно для названия углов используют три заглавные буквы. Ими обозначаются две точки, которые расположены на сторонах угла, а также вершины.

Важно помнить, что в названии присутствует буква, которая обозначает вершину угла. Она должна стоять между двумя буквами, которые обозначают точки на сторонах угла. Так угол на рисунке ниже может называться как ∠AOB, ∠BOA.

Посмотрите на рисунок:

Величина угла измеряется в градусах. Например, ∠AOB=24°.

Существует также другое определение угла.

Угол — тип фигуры, расположенной на плоскости, образованной двумя несовпадающими лучами, которые обладают общим началом. Сторона угла — луч, а вершиной называется общее начало сторон.

Развернутым углом называется угол, при котором обе стороны угла располагаются на одной прямой (его стороны считаются дополнительными полупрямыми на одной прямой).

Посмотрите на рисунок развернутого угла:

Вершиной угла считается точка на данной прямой. Обычно в геометрии вершину угла называют точкой O. В математике угол обозначают обычно специальным знаком — ∠. Если стороны угла подписать малыми латинскими буквами, то для точного определения угла записывают друг после друга буквы, которые соответствуют сторонам.

Если у двух сторон обозначение в виде букв k и h, то угол будет иметь обозначение ∠kh или ∠hk.

Если используется обозначение с помощью больших букв, то стороны угла будут иметь названия OB, OA. В данном случае у угла появляется обозначение из трех латинских букв, которые записаны друг за другом, с вершиной в центре — ∠AOB, ∠BOA. Используется также обозначение с помощью цифр. Используется в том случае, когда у углов нет названий, а также обозначений в виде букв.

Посмотрите на разные обозначения углов:

Угол может делить плоскость на две части. Если угол не является развернутым, тогда меньшая часть плоскости носит название внутренней области угла, большая часть называется внешней областью угла.

Посмотрите, какие части являются внешними, а какие внутренними:

Если развернутый угол разделяется на плоскости, любая из его частей является внутренней областью развернутого угла. Внутренняя область угла считается таким элементом, который служит для вторичного определения угла.

Определение смежных и вертикальных углов

Смежными углами называются два угла, которые имеют одну общую сторону, а две другие стороны считаются дополнительными полупрямыми и образуют развернутый угол.

Обратите внимание на рисунок ниже, на котором видно, что смежные углы являются дополнением друг друга до развернутого угла.

Вертикальные углы — два угла, стороны которых являются продолжениями сторон друг друга.

Посмотрите на вертикальные углы:

В случае пересечения прямых формируются 4 пары смежных углов, а также 2 пары вертикальных углов.

Посмотрите на то, как это выглядит:

Бывает несколько видов углов:

• острый угол (менее 90°);
• тупой угол (более 90°);
• прямой угол (ровно 90°);
• развернутый угол (ровно 180°).

Посмотрите, как они выглядят:

Также стоит упомянуть о накрест лежащих углах. Накрест лежащими углами называются углы, которые расположены во внутренней области в разных сторонах от секущей (то есть накрест друг от друга).

Также вспомним соответственные углы. Это вид углов, которые образуются в случае пересечения двух параллельных прямых общей секущей.

Свойства вертикальных углов:

• вертикальные углы являются равными (∠AOC=∠BOD, ∠COD=∠AOB);
• биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Свойства смежных углов:

• сумма смежных углов равняется 180°;
• угол, который является смежным с прямым, является прямым; смежный с острым — является тупым; смежный с тупым — является острым;
• если два угла равны, то смежные тоже будут равны;
• чем больше угол, тем смежный меньше;
• биссектрисы смежных углов формируют прямой угол;
• если смежные равны, то они являются прямыми.

Нахождение углов

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две боковые стороны, а также два угла равны.

Как найти углы в прямоугольном треугольнике

Углы в прямоугольном треугольнике возможно найти при помощи двух универсальных способов, которые обрисованы выше, либо с помощью тригонометрических функций — косинуса, синуса, котангенса, тангенса.

Тригонометрические функции

Если даются две стороны, то возможно найти угол по данному алгоритму:

• нужно определить, какими являются стороны в отношении к прямому углу (гипотенуза или катет) и углу, который следует найти (противолежащийприлежащий катету);
• нужно найти тригонометрическую функцию, подходящую по смыслу решения задачи;
• нужно найти значение тригонометрической функции, подставив все значения сторон;
• нужно вычислить угол с помощью обратной функции (арккосинус, арксинус и др).

Теоремы косинуса и синуса

Так выглядят формулы:

Свойства углов

Рассмотрим свойства углов треугольника:

• против большей стороны лежит больший угол, а также наоборот — против большого угла лежит большая сторона;
• напротив равных сторон располагаются равные углы, а также наоборот — напротив равных углов находятся равные стороны (даже если все углы в равностороннем треугольнике равны);
• сумма углов треугольника равняется 180° (таким образом, каждый угол в равностороннем треугольнике равняется 60°);
• если продолжить одну из сторон треугольника, получится внешний угол;
• если две параллельные прямые пересекаются секущей, то соответствующие углы равны;
• две плоскости можно назвать перпендикулярными, если двугранный угол между ними равняется 90°.

Задания для самостоятельной работы

• Образовательные: 
  ввести определение треугольника и его элементов, периметра треугольника, понятие равных треугольников.
• ввести определение треугольника и его элементов, периметра треугольника, понятие равных треугольников.
• Развивающие:
  расширение кругозора обучающихся;развивать умение видеть математические понятия в окружающем нас мире;развивать устную и письменную математическую речь.
• расширение кругозора обучающихся;
• развивать умение видеть математические понятия в окружающем нас мире;
• развивать устную и письменную математическую речь.
• Воспитательные:
  воспитывать умение работать в группе, воспитывать устойчивый интерес к предмету.
• воспитывать умение работать в группе, воспитывать устойчивый интерес к предмету.

Оборудование: Учебник: Л.С. Атанасян и др. Геометрия, 7 класс – М.: Просвещение;  набор из 5 треугольников; карточки с раздаточным материалом; современный компьютер, мультимедийный проектор; демонстрационный экран; слайдовая Презентация; оценочные листы

• Организационный момент.
• Сообщение темы и целей урока.
• Изучение нового материала.
• Применение полученных знаний при закреплении и углублении знаний по теме.
• Подведение итогов урока, оценка знаний.
• Домашнее задание.

Учитель: Сегодня мы приступаем к изучению темы «Треугольник»; очень часто мы встречаемся с этой геометрической фигурой, поэтому надо вспомнить из чего она состоит, как обозначается. Закрепить и углубить умения и навыки решения задач, приобретенные вами в процессе изучения темы.

Вы должны знать: определение треугольника и его элементов, определение равных треугольников, что такое периметр.

Вы должны уметь: решать задачи на нахождение периметра треугольника по записи равных треугольников находить пары равных элементов  этих треугольников.

Изучение нового материала – поисково-исследовательский этап урока.

Так как понятие «треугольник» уже знакомо учащимся, то целесообразно организовать изучение нового материала в виде поисковой работы. 
Попробуйте сформулировать определение треугольника. 
Ученики высказывают разные предложения, и учитель быстро изображает на доске высказанное предположение:

1) Из трёх прямых:

Вывод: цели не достигли, треугольник не построили.

2) Из трёх отрезков:

3) Из трёх углов:

4) из трех отрезков и трех точек 

Учитель: Какие условия должны выполняться для того, чтобы можно было построить треугольник?

Учащиеся сами предлагают условия для расположения точек и отрезков (три точки не должны лежать на одной прямой и отрезки попарно соединяют эти точки). 
И доходят до предположения: из трёх точек и трёх отрезков, не лежащих на одной прямой, соединяющих эти точки. Ученики: треугольник это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Учитель: указывает, что отрезки называются в треугольнике сторонами, а точки вершинами; дает задание учащимся записать в тетради данное определение, построить произвольный треугольник, записать его вершины, стороны, углы 
Треугольник так и обозначается указанием его вершин, например треугольник АВС.
Еще в древности стали вводить некоторые знаки и обозначения для геометрических фигур и понятий. Так, древнегреческий ученый Герон (1в.) вместо слова треугольник применял знак

. Пишут ∆АВС.

Учитель: приведите примеры знакомых вам предметов, которые имеют форму треугольника.

(У домов треугольные крыши, шапки, косынки – имеют треугольную форму, грани у пирамиды имеют треугольную форму, во время войны, письма имели треугольную форму.)

Как мы называем сумму длин всех сторон треугольника? (Ответ: периметр.)

№ 92 (устно). Периметр одного треугольника больше периметра другого. Могут ли быть равными эти треугольники?
На столе у каждого ученика лежит набор из пяти разных пронумерованных треугольников. Такие, чтобы среди пяти треугольников обязательно 2 треугольника были равны. Например: у I варианта это 2 и 4, а у II варианта – 3 и 5 треугольники.

Учитель: просит среди представленных учащимся треугольников найти равные треугольники и описать способ нахождения равных треугольников;

Ученики: наложили треугольники друг на друга.

Учитель: просит наложить эти же треугольники друг на друга другим способом так, чтобы они снова совпали?

Ученики: другого способа нет.

Учитель: значит сколькими способами можно наложить треугольники, чтобы они совпали?

Ученики: можно, только единственным способом.

ВЫВОД: Итак, в равных треугольниках есть только по одной соответствующей паре углов и сторон, равных друг другу.
Под равенством фигур Евклид, в своей первой книге «Начал», а вслед за ним многие геометры понимали возможность совмещать фигуры наложением (Г.Глейзер).

Применение полученных знаний при закреплении и углублении знаний по теме

Учитель дает задание построить в тетради два равных треугольника

Учитель: просит дать определение равных треугольников (если ученики не смогут самостоятельно вывести это определение, то им помогает учитель); обращает внимание учащихся на запись равных треугольников: ∆АВС =  ∆А1В1С1

Задача № 2 (по готовому чертежу): Заполните пропуски

Решить по заранее заготовленному чертежу:

Математический диктант (с последующей проверкой)

Отметьте знаком «+»правильные утверждения и знаком « – » – ошибочные.
Треугольник является объемной фигурой.
Треугольник является плоской фигурой.
Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, соединенных попарно отрезками.
Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и соединенных попарно отрезками.
В треугольнике АВС стороны, прилежащие к углу ВАС – это АВ и АС.
Периметром треугольника называется сумма длин всех сторон этого треугольника.
Если два треугольника равны, то их соответственные элементы могут быть не равны.
Если два треугольника равны, то их периметры всегда равны.
В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы.
В равных треугольниках АВС и МKD соответственными являются элементы: АС и МD, ВС и КD, АВ и МК;

правильный ответ – +–+++–+++

Ребята находят решение в группах, помогая друг другу. Результаты обсуждаются в классе.

Известно, что треугольник МРК равен треугольнику СОЕ. Запишите равные углы и стороны этих треугольников:

Даны два равных ∆DBE и ∆KOP, DE=4,5см, DВ=9см,

B=30º. Найдите соответствующие стороны и углы  KOP.

На столах лежат треугольники разного цвета. Обозначьте вершины. Найдите периметр треугольника и результат напишите с обратной стороны.

№90-91 (при наличии времени) – учебник «Геометрия 7-9» (Л.С.Атанасян и др.)

Подведение итогов урока, оценка знаний.

Цели и задачи урока:

• обобщить, закрепить и углубить знания по изученной теме;
• формировать умение обучаемых доказывать равенство данных треугольников, опираясь на изученные признаки, применять свойства равнобедренного треугольника;
• отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки;

• интерактивная доска или наглядный материал (готовые чертежи);
• карточки с задачами для индивидуальной работы на доске;
• таблицы с признаками равенства треугольников.

Тип урока: урок закрепления полученных знаний.

Ход урока

І. Организационный момент.

– Тема урока: «Решение задач по теме «Треугольники»». Мы сегодня обобщим и систематизируем знания по данной теме и наша цель: подготовиться к контрольной работе, которая будет на следующем уроке.

– Откройте дневники и запишите  домашнее задание.

– Обратите внимание:

• I уровень: № 120(б), 121;
• II – III уровень: №160 (б), 162(б).

II. Актуализация опорных знаний.

1. У доски двое учащихся решают задачи по карточкам.

Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану АА1 к боковой стороне ВС.

Дано: АО = BO, СО = DO, CO = 5см, ВО = 3см, BD = 4см.
1)Докажите, что

2.  Для остальных учащихся класса организована фронтальная работа.

Цель: повторить  основные вопросы теории темы «Равнобедренный треугольник и его свойства» с помощью теста. (Вопросы теста – на интерактивной доске)

1) Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой.  Это утверждение:
а) всегда верно;     
б) может быть верно;      
в) всегда неверно.
Ответ: б), если медиана проведена к основанию равнобедренного треугольника.

2) Если  треугольник равносторонний, то:
а) он равнобедренный;   
б) все его углы равны;
в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
Ответ: а), б), и в),  равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому в равностороннем треугольнике все углы равны.

3) В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;           
б) в равнобедренном;       
в)  в равностороннем.
Ответ: б), высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника.

4) Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:      
а) всегда верно;      
б) может быть верно;       
в) всегда неверно.
Ответ: а)

5) Если  треугольник равнобедренный, то
а) он равносторонний;       
б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;
в) ответы а) и б) неверны.
 Ответ: в), т.к. равнобедренный  треугольник не всегда является равносторонним;  медиана, проведённая к боковой стороне равнобедренного  треугольника, не является биссектрисой и высотой, если треугольник не равносторонний.

6) В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;                 
б) в равнобедренном;     
в)  в равностороннем.
Ответ: в).

Учитель:
– Мы с вами повторили материал темы «Равнобедренный треугольник и его свойства», а теперь повторим признаки равенства треугольников. (Обратить  внимание обучающихся на таблицы с признаками равенства треугольников)

3. Задачи в  рисунках (на интерактивной доске).

Учитель:
– Определите, являются ли равными треугольники на рисунках.

– Сколько пар равных элементов должно быть в равных треугольниках?

Постепенно заполняется таблица на доске:

4. Проверяются  работы учащихся, выполнявших задания по карточкам. Они  задают друг другу по теоретическому вопросу.

Решение (карточка №2).

DBO по двум сторонам и углу между ними (АО=BO, СО=DO,

BOD – вертикальные углы);
2) РСАО = СА + СО + АО;
3) CА =ВD = 4см, АО = ВО = 3см;
4) РСАО = 4 + 5 + 3 = 12(см).Ответ: 12см.

III. Выполнение заданий учебника.

Учитель:
– А теперь, ребята, мы поработаем все вместе, в тетрадях.

№160(а). Прямая а проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Докажите, что каждая точка прямой а равноудалена от точек A и B.

Учитель:
– Выполните рисунок к данной задаче. (Пройти по рядам, посмотреть, помочь).
– Чтобы у всех было единое обозначение, точку на прямой обозначим буквой К.
– Как вы понимаете:  точка равноудалена от точек А и В?
– А теперь проверим, правильно ли вы выполнили рисунок. (Раскрыть доску с рисунком)

BОК по двум сторонам и углу между ними (АО=ВО, т.к. О – середина AB,

ВОК, т.к. а

АВ, ОК – общая сторона), тогда АК=ВК.

Учитель:
– Так что мы с вами доказали?
– Т.о. мы доказали, что любая точка равноудалена от точек A и B.

V. Тестирование.  (Дифференцированные задания) 

Учитель:
– Я вам предлагаю тест трёх уровней. Ответы на вопросы теста вы должны внести в карту ответов. Обратите внимание: карт ответов у вас два, т.е. вам необходимо продублировать ответы. Один вы сдадите мне, а другой оставите себе для самопроверки. Время выполнения теста 5 минут.

Карта ответов.

УРОВЕНЬ  __I_____  Вариант______

Фамилия, имя___________________

Класс  7 А

(У II-III уровней за первое задание два балла)

Учитель:
– Время, отведённое на тесты, закончилось. Передайте, пожалуйста, свои карты ответов. Не забудьте продублировать результаты теста. А сейчас проверьте свои работы по предложенной таблице. Подсчитайте сумму баллов. Поднимите руку, кто оценил свою работу на «5», кто – на «4», кто – на «3».

• 6 баллов – «5»;
• 5 баллов – «4»;
• 3 балла  –  «3»;
• 0-2балла – «2».

Ответы на тесты:

VI.  Практическое применение знаний.

Учитель:                   
– После следующей задачи вы должны ответить на вопрос: « Где на практике применяются признаки равенства треугольников?».

– Представьте, что вы на берегу озера и вам нужно определить ширину озера с помощью знаний, полученных на уроках геометрии. В точках B,C,O, D,E и F стоят колышки, а в точке A – дерево. Нам необходимо найти длину расстояния AB, а расстояния EF мы можем измерить с помощью рулетки. Как, зная эти расстояния, найти расстояние AB, если OC=OD, OB=OE?

DOE по двум сторонам и углу между ними (ОС = OD, OB= OE,

DOE  – вертикальные углы).
2)

FOD по стороне идвум прилежащим к ней углам (ОС = OD,

ACO =

FDО из равенства треугольников СОВ и DОЕ,

DOF- вертикальные углы).
3) АВ = АС – ВС, F E = DF – DE, но АС = FD, т.к.

FOD, BC = ED , т.к.

DОЕ, тогда АВ = EF.

Где на практике применяются признаки равенства треугольников?

VI. Подведение итогов урока.

Цель: развивать способность учащихся к анализу и к критическому отношению при решении задач, способность к содержательному обобщению и рефлексии.

Работа проходит в форме беседы.

–  Ребята, чем мы сегодня занимались на уроке?
– Какие знания по теме «Треугольники» вы сегодня применяли при решении задач?
– Почему так важно знать признаки равенства треугольников? (С помощью  признаков равенства треугольников решаются также алгебраические, географические, физические задачи.)

Список литературы.

1.Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии. 7 класс. М.: «Вако», 2004, 288с.- (В помощь школьному учителю)

Периметры фигур. Периметр треугольника.

Периметр геометрической фигуры — суммарная длина границ плоской геометрической фигуры. Периметр

имеет ту же размерность величин, что и длина.

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами. Стороны треугольника обозначаются малыми

буквами, соответствующими обозначению противоположных вершин.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон, общая формула:

где a,b,c — длины сторон треугольника

Формула периметра треугольника для треугольника АВС:

Периметр равностороннего треугольника.

Чтобы найти периметр равностороннего треугольника (или найти периметр правильного

треугольника), нужно знать его сторону.

В общем случае для нахождения периметра треугольника используют формулу:

Поскольку в равностороннем треугольнике все три стороны равны, формула упрощается:

Таким образом, периметр равностороннего треугольника находится по такой формуле:

где а — длина его стороны.

Периметр равнобедренного треугольника.

Чтобы найти периметр равнобедренного треугольника, нужно знать всего две его стороны — основание

и боковую сторону.

Поскольку у равнобедренного треугольника две стороны равны (боковые), найти периметр

равнобедренного треугольника можно по такой формуле:

То есть, периметр равнобедренного треугольника равен сумме длин основания и

Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской буквой P. Под «P» удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах и ходе решении.

Важно, чтобы все параметры были переданы в одной единице длины, иначе мы не сможем подсчитать результат. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

В чем измеряется периметр:

Свойства медианы в равнобедренном треугольнике

Медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, одновременно является высотой, опущенной на основание, и биссектрисой угла, из которого она проведена.

• BD – медиана и высота, опущенная на основание AC, а также биссектриса угла ABC.
• ∠ABD = ∠CBD

В равнобедренном треугольнике медианы пресекаются в одной точке (центр тяжести) и делятся в этой точке в отношении 2:1.

• O – центр тяжести или центроид треугольника;
• AO = 2OF;
• BO = 2OD;
• CO = 2OE.

Медиана делит равнобедренный треугольник на 2 равных по площади (равновеликих) треугольника. Следовательно, S1 = S2.

Если провести три медианы в равнобедренном треугольнике, образуются 6 равновеликих треугольников (S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6).

Длину медианы в равнобедренном треугольнике, проведенную к основанию, можно найти по следующей формуле:

• a – основание;
• b – боковая сторона.

Данной свойство, в отличие от перечисленных выше, не относится к медиане, опущенной на основание фигуры. Оно гласит:

Медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.

AF = CE, следовательно, AE = EB = BF = FC.

Как найти периметр треугольника

Вы будете перенаправлены на Автор24

Как найти периметр равнобедренного треугольника?

Пусть нам дан равнобедренный треугольник, у которого длины боковых сторон будут равняться $α$, а длина основания равняется $β$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

Вывод: Для нахождения периметра равнобедренного треугольника надо удвоенную длину его сторон сложить с длиной его основания.

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равняются $12$ см, а основание $11$ см.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=2cdot 12+11=35$ см

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная на основание, равняется $8$ см, а основание $12$ см.

Рассмотрим рисунок по условию задачи:

Так как треугольник равнобедренный, то $BD$ также является и медианой, следовательно, $AD=6$ см.

По теореме Пифагора, из треугольника $ADB$, найдем боковую сторону. Обозначим ее через $α$, тогда

По правилу вычисления периметра равнобедренного треугольника, получим

$P=2cdot 10+12=32$ см

Свойства равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

• AD = DB
• ∠ACD = ∠DCB = 30°

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

• R – радиус описанной окружности;
• r – радиус вписанной окружности;
• R = 2r.

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Основание равнобедренного треугольника равняется 7 см, а боковая сторона – 12 см. Найдите длину медианы, проведенной к основанию фигуры.

Решение
Воспользуемся формулой, представленной в Свойстве 5, подставив в нее известные нам по условиям задачи значения:

Как узнать периметр треугольника

Рассмотрим какие существуют формулы, и при каких известных исходных данных их можно применять.

Если известны три стороны, то периметр треугольника равен их сумме. Этот способ проходят во втором классе.

P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.

Если известна площадь и радиус вписанной окружности:

P = 2 * S : r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности.

Если известны две стороны и угол между ними, вычислить периметр треугольника можно так:

P = √ b 2 + с 2 — 2 * b * с * cosα + (b + с), где b, с — известные стороны, α — угол между известными сторонами.

Если известна одна сторона в равностороннем треугольнике:

P = 3 * a, где a — длина стороны.

Все стороны в равносторонней фигуре равны.

Если известна боковая сторона и основание в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * a + b, где a — боковая сторона, b — основание.

Боковые стороны в равнобедренной фигуре равны.

Если известна боковая сторона и высота в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * (√ a 2 + h 2 ) + 2 * a, где a — боковая сторона, h — высота.

Высотой принято называть отрезок, который вышел из вершины и опустился на основание. В равнобедренной фигуре высота делит основание пополам.

Если известны катеты в прямоугольном треугольнике:

P = √ a 2 + b 2 + (a + b), где a, b — катеты.

Катет — одна из двух сторон, которые образуют прямой угол.

Если известны катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике:

P = √ c 2 — a 2 + (a + c), где a — любой катет, c — гипотенуза.

Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла.

Правило встречается в следующих упражнениях

Задание 161,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 174,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 342,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 618,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 630,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 854,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 866,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 910,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 996,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1057,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Определение медианы

Медианой называется отрезок в треугольнике, который соединяет вершину и середину противоположной стороны.

• BD – медиана △ABC;
• AD = DC.

Треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны (боковые), а третья сторона – это основание фигуры.

• AB = BC – боковые стороны;
• AC – основание.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Свойства равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

Построения циркулем и линейкой

Предварительные сведения

Периметр любой плоской геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. Исключением из этого не является и треугольник. Сначала приведем понятие треугольника, а также виды треугольников в зависимости от сторон.

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершины, а также три стороны.

В зависимости от отношении сторон друг к другу, треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

Треугольник будем называть разносторонним, если ни одна из его сторон не равняется никакой другой.

Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны равны друг другу, но не равняются третьей стороне.

Готовые работы на аналогичную тему

Треугольник будем называть равносторонним, если все его стороны равняются друг другу.

Как найти периметр разностороннего треугольника?

Пусть нам дан разносторонний треугольник, у которого длины сторон будут равняться $α$, $β$ и $γ$.

Вывод: Для нахождения периметра разностороннего треугольника надо все длин его сторон сложить между собой.

Найти периметр разностороннего треугольника равняются $34$ см, $12$ см и $11$ см.

Найти периметр прямоугольного треугольника, у которого катеты равняются $6$ и $8$ см.

Сначала найдем длину гипотенуз этого треугольника по теореме Пифагора. Обозначим ее через $α$, тогда

$α=10$ По правилу вычисления периметра разностороннего треугольника, получим

Как найти периметр равностороннего треугольника?

Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого длины всех сторон будут равняться $α$.

Найти периметр равностороннего треугольника, если его сторона равняется $12$ см.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13 07 2021