Конспект урока математики «Задачи, противоречащие этому». русская школа

Что такое обратное действие по математике?

Вычитание — действие, обратное сложению. Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Что такое взаимно обратные примеры?

Числа, произведение которых равно (1), называют взаимно обратными. Взаимно обратными являются числа: 5 9 и 9 5 5 9 ⋅ 9 5 = 5 1 ⋅ 9 1 9 1 ⋅ 5 1 = 1; 17 3 и 3 17 17 3 ⋅ 3 17 = 17 1 ⋅ 3 1 3 1 ⋅ 17 1 = 1; 1 13 и 13 1 13 ⋅ 13 = 1 ⋅ 13 13 = 13 13 = 1.

Как объяснить ребенку что такое обратная задача?

Задачи, в которых известно то, о чем спрашивается в первой задаче и надо узнать то, что в первой задаче известно, называют обратными первой. Сделаем вывод: задачи, обратные данной — считаются те задачи, в которых говорится об одних и тех же предметах, но известное и неизвестное меняются местами.

Что такое прямая и обратная задача?

Термины «прямая и обратная задача механики» используются обратным образом: под прямой задачей понимается нахождение неизвестных сил по известным характеристикам движения, а под обратной задачей понимается нахождение временной зависимости координат тела по известным силам и начальным условиям.

Авторы учебника: «Математика» Моро М.И, Бантова М.И. и другие (1 часть); тетради: «Математика» Моро М.И., Волкова С.И. (1 часть).

УМК: «Школа России».

Тип урока: комбинированный.

Форма урока:урок-путешествие (с использованием ИКТ).

Цель урока: знакомство детей с новым математическим понятием: «обратные задачи», установление связи между прямой и обратной задачей.

• Уметь узнавать и составлять обратные задачи.
• Уметь использовать в речи термин «обратная» задача.
• Знать структуру задачи.
• Уметь решать задачи в одно действие.
• Уметь выделять её части и анализировать содержание текстовой задачи.
• Уметь составлять краткую запись или схематический рисунок.
• Уметь выполнять вычисления изученных видов.

Метапредметные результаты:

• Личностных УУД: Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности; позитивному отношению к уроку математики, учебно-познавательный интерес к учебному материалу.
• Регулятивных УУД: Уметь учащимися принимать и сохранять учебную задачу, планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной оценки; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; овладение умениями проговаривать последовательность действий на уроке, умение формулировать цель урока с помощью учителя.
• Познавательные УУД: Уметь осуществлять логические операции; описывать математические объекты; ориентироваться в своей системе знаний, строить небольшие математические высказывания.
• УУД Коммуникативные: Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; учиться работать в паре, формулировать собственное мнение и позицию.

Методы и формы работы: совместная с учителем учебно-познавательная деятельность, работа в парах, математическая игра, учебный (проблемный) диалог,самостоятельная работа,наблюдение за математическими объектами (моделирование (сравнение, анализ)).

• Для учителя: ПК, мультимедиа проектор, экран, презентация, выполненная в PowerPoint, рабочая тетрадь, учебник, математические «Ёлочки» и «Грибочки» для работы у доски, указка.
• Для учащихся: «Светофорчик», учебник, рабочая тетрадь, ручка, цветные карандаши, индивидуальный раздаточный материал (математические «Ёлочки», схемы для заполнения (составление кратких записей к задачам)).

Последовательность и продолжительность этапов урока

• Организационный момент – 2 мин.
• Актуализация опорных знаний – 5 мин.
• Самоопределение к деятельности (постановка темы и цели урока) – 8 мин.
• Гимнастика для глаз – 2 мин.
• Работа по теме урока (первичное закрепление знаний) – 9 мин.
• Физкультминутка – 2 мин.
• Работа над пройденным материалом – 7 мин.
• Домашние задание – 2 мин.
• Рефлексия учебной деятельности – 3 мин.

Задачи, обратные данной

5. Задачи, обратные данной

1. Организационный этап

Ну, ребята, чур, молчок! 
Начинается урок.

Приготовьте свои ушки и глазки, 
Чтобы они могли всё видеть, 
Слышать и запоминать.

Громко прозвенел звонок – 
Начинается урок.

2. Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний

Сегодня на уроке мы узнаем, что такое обратные задачи.

2. Устный счёт

Решите примеры. Дополните столбики одним своим примером. Запишите только ответы.

12 – 6 = 6 – У         5 + 7 = 12 – А         80 – 10 = 70 – О
13 – 6 = 7 – З         6 + 7 = 13 – Й         70 – 20 = 50 – Н
14 – 6 = 8 – Н         7 + 7 = 14 – К         60 – 30 = 30 – И

6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 70, 50, 30, 10.

Расположите числа в порядке возрастания, чтобы узнать название города, по которому мы будем путешествовать сегодня на уроке.

6,  7,  8,      12,  13,  14,    30,  50,  70.
У   З    Н       А    Й    К       И    Н     О

Какое получилось слово?

В этом городе живут забавные человечки, которые очень любознательны и хотят  все знать.

Чтобы попасть в город УЗНАЙКИНО нужно ответить на вопросы:

Назовите однозначные числа. 
Назовите двузначные числа.  
Назовите самое маленькое двузначное число.    
Назовите самое маленькое однозначное число.    
Назовите числа предшествующие числам: 6, 12, 30, 50, 70.     5, 11, 29, 49, 69.
Назовите  числа, следующие за числами: 10, 15, 30, 50, 70.   11, 16, 31, 51, 71.
Назовите числа, которые находятся между числами  15 и 30.     16-29

А вот и наш помощник. Зовут его Путейка, потому что он очень любит путешествовать.  Путейка познакомит вас с городом, расскажет интересные истории, проверит ваши знания.

Какой предмет помогал героям сказок находить нужное место?    
Правильно, клубок ниток помогал героям сказок находить нужное место. Какой прибор помогает современным путешественникам?  
Верно, компас помогает современным путешественникам. Что вы знаете о компасе?    Компас – это устройство, облегчающее ориентирование на местности.  Когда не было компаса, то люди ориентировались по солнцу, луне и звёздам, по местным признакам. А потом изобрели прибор, на котором изобразили четыре стороны света: Север, Юг, Запад, Восток. В центре компаса находится вращающаяся стрелка, 2 половины которой раскрашены в синий и красный цвет. Красная стрелка показывает на Юг, синяя – на Север.

Мы попали на улицу Сравнительную. Поставьте нужный знак, чтобы продолжить путешествие по улице.

Продолжим наш путь на общественном транспорте. Для этого нужно купить билет.

Сколько нужно получить сдачи с 10 рублей, если билет стоит 5 рублей?    5
Если билет стоит 6 рублей?   4
Если билет стоит 8 рублей?    2

Помогите Путейке сосчитать общественный транспорт, который находится на станции.
На станции находилось 5 автобусов, а троллейбусов на 6 больше. Сколько всего автобусов и троллейбусов на станции?
Решите задачу.

1) 5 + 6 = 11 (тр.)
2) 11 + 5 = 16 (м.)

Ответ: 16 машин.

3. Этап усвоения новых знаний

Мы прибыли на станцию «Задачкино». На этой станции мы узнаем, как решаются задачи, в которых число и результат меняются местами.

1. В апреле было 14 пасмурных дней и 16 ясных дней. Сколько дней в апреле?
2. В апреле 30 дней. Из них 14 дней были пасмурными. Сколько ясных дней было в апреле?
3. В апреле 30 дней.  Ясными были 16 дней. Сколько пасмурных дней было в апреле?

Это одна и та же задача?    
Нет, разные задачи.

Какая связь между задачами?    
Говорится про одно и то же, но известное и неизвестное меняются.

Как вы думаете, эти задачи будут иметь одинаковое решение?  
Давайте решим эти задачи.

Прочитайте 1 задачу.
Что известно?    Пасмурных дней было 14. Ясных дней было 16.
Что спрашивается  в задаче?  
Каким действием решим задачу?

14 + 16 = 30 (дн.)

Прочитаем 2 задачу.
В чем сходство и в чем отличие этой задачи от предыдущей?  
Что известно?    В апреле 30 дней. Пасмурных дней было 14.
Что нужно узнать?    Сколько ясных дней было в апреле.
Как решим эту задачу?

30 – 14 = 16 (дн.)

Прочитайте 3 задачу.
Как изменилось ее условие?  
Какая будет краткая запись?

П. – ? дн.
   Яс. – 16 дн. (общая скобка, 30 дн.)

Что нужно узнать?    
Как решается эта задача?

30 – 16 = 14 (дн.)

Внимательно посмотрите на условия этих трех задач. Что вы о них можете сказать?  
Они похожи. Что в этих задачах одинаково?  
Данные, числа одинаковы. Чем задачи отличаются?  
Ставятся вопросы разные. Что было известно, стало неизвестно и наоборот.
Сравните решения задач. Что одинаково?  
Числа.
Чем отличаются?    
Действиями. Другими словами, действия обратные.
Как назовем вторую и третью задачи по отношению к первой?  
Задачи, обратные первой. Значит, что такое обратная задача?

Задачи, в которых объект (число) и результат меняются местами (известное становится не известным, а неизвестное известным), называются обратными первой.

Вместе с человечком мы добрались до остановки «Отдыхайкино».

4. Этап закрепления новых знаний

Мы добрались до улицы Решайкино. Как вы думаете, чем занимаются жители города на этой улице?
Правильно, они решают задачи. Давайте поможем им решить задачи.

1. В классе 20 учеников. 7 из них мальчики. Сколько девочек в классе?
2. В классе 7 мальчиков, а девочек  на 6 больше. Сколько девочек в классе?
3. В классе 7 мальчиков и 13 девочек. Сколько всего детей в классе?

Найдите  среди  этих задач  обратные.

Конечно  № 1 и 3 – это обратные задачи. Объясните, почему вы так считаете?

Молодцы ребята, вы справились с заданием и попали на улицу Составляйкино.
Как думаете, чем занимаются жители города Узнайкино на этой улице?
Правильно, с забавными человечками  мы будем составлять задачи обратные данной.

Прочитайте задачу.
В одном доме проживает 8 человечков, а в другом доме –  9. Сколько всего человечков проживает в двух домах? 
Составим чертёж к задаче. Что известно в задаче?
Что спрашивается в задаче?    
Как решается эта задача?

8 + 9 = 17 (ч.)

Ответ: 17 человечков.

Составим задачи, обратные данной. Не забывайте, что, решив исходную задачу, надо взять её ответ и включить его в новую задачу, не меняя сюжета, а одно из известных сделать искомым.

В двух домах проживает 17 человечков. В одном доме проживает 8 человечков. Сколько  человечков проживает во втором?Составьте чертёж задачи.    
Решите задачу.

17 – 8 = 9 (ч.)

Ответ: 9 человечков.

Составьте ещё одну задачу.  
В двух домах проживает 17 человечков. В одном доме проживает 9 человечков. Сколько проживает в первом доме?
Составьте чертёж задачи.    
Решите задачу.

17 – 9 = 8 (ч.)

Ответ: 8 человечков.

Чем отличаются схемы обратных задач от схемы данной задачи?

А если нет компаса и не светит солнце, можно ли как-то ещё сориентироваться на местности?    
Как могут  помочь знания о том, с какой стороны у деревьев растёт мох?  
C какой стороны дерева муравьи строят муравейники?

В незнакомой такой обители
неприметно для нас живёт
Очень рыженький, очень маленький,
Муравьиный такой народ.
Озабоченный, сосредоточенный,
И у каждого ноша своя.
Ну, скажите, а вы разве видели
Безработного муравья? Р. Дерикот

Жители  города Узнайкино говорят: «Трудолюбив, словно муравей».
Что значит эта поговорка?

Народ города предлагает вам потрудиться самостоятельно.

Человечек поймал 6 окуней и 8 лещей. Сколько всего рыб он поймал?
– Нарисовать схематический чертёж и решить задачу.

6 + 8 = 14 (р.)

Ответ: 14 рыб.

Проверьте себя и оцените свои успехи.

Решите задачи, обратные данной, используя чертежи.

14 – 6 = 8 (л.)                 14 – 8 = 6 (ок.)

Ответ: 8 лещей.          Ответ: 6 окуней.

5. Этап подведения итогов

Вот и подошло наше путешествие к концу.
С какими задачами мы познакомились сегодня на уроке?  
Какие задачи называются обратными?

Еще раз запомните! Задачи, в которых объект (число) и результат меняются местами (известное становится не известным, а неизвестное известным), называются обратными первой.

Понравилось вам наше занятие?

Выберите человечка, с которым вы хотели бы дружить.

Спасибо за урок!

Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!

• Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
• Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
• Повысим успеваемость по школьным предметам
• Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

2. Решение простых задач на умножение и деление.

Задачи на умножение, деление по содержанию и деление на равные части. Задачи
на увеличение и уменьшение числа в несколько раз и задачи на кратное сравнение.

Задачи на нахождение части числа, числа по величине его части, задачи типа:
“Какую часть составляет одно число от другого”.

Перед нашей школой всегда стояла задача построения такой методической
системы, которая обеспечивала бы резкое повышение качества знаний при
значительной экономии времени, расходуемого на изучение материала. В наше
время при все возрастающем потоке информации эта проблема стоит особенно остро.

Еще в 60-е годы Комиссией по определению содержания обучения математике,
работающей в АПН СССР, был разработан проект программы по математике. Авторы
проекта одним из главных средств ускоренного и сознательного изучения материала
в школе считали изменение структуры существующих программ, осуществление более
целесообразной группировки вопросов, рациональной группировки вопросов,
рациональной последовательности разделов, то есть применение метода
противопоставления на уроках математики.

Общепринятая традиционная система обучения математике соблюдает принцип
раздельного изучения взаимосвязанных понятий или преобразований. При
одновременном изучении взаимосвязанных вопросов в пределах одних и тех же уроков
дидактической единицей усвоения становится более крупная единица знаний, чем в
случае раздельного изучения их. Переход в обучении к более крупным дидактическим
единицам усвоения знаний дает экономию сил и времени.

При изучении задач в курсе математики, как простых, так и сложных, как
обычных арифметических, так и типовых оказывается высоко эффективным
систематическое применение так называемого метода обратных задач.

Успех обучения решению задач посредством преобразования прямой задачи в
обратные задачи объясняется как первопричиной тем, что такой путь заставляет
поднимать из сферы подсознания наибольшее разнообразие связей, заключенных в
содержании задачи. Это и обеспечивает – на языке дидактики – глубокое и прочное
усвоение материала.

На составление и решение обратной задачи уходит несравненно меньше времени,
чем на решение новой задачи, так как числовые данные и сюжет остаются прежними;
производится здесь лишь логическая операция по переосмыслению ролей чисел;
неизвестное в прямой задаче становится известным и наоборот.

Поэтому я взяла для изучения и последующей работы тему “Решение взаимно
обратных задач в начальной школе”.

На мой взгляд, самое трудное в начальной школе – научить ребенка грамотно
писать, а самое трудное в математике – научить решать задачи.

В процессе работы мне хотелось повысить процент способных детей и уменьшить
процент слабых.

Кроме того, в своей работе я стремлюсь к тому, чтобы как можно больший
процент детей имел качественный показатель знаний по математике. Далее я
опишу, как я этого добиваюсь и каковы результаты молей работы.

Я ознакомилась с мнением различных ученых-методистов (смотреть список
литературы) по вопросу классификации задач и решению взаимно обратных задач, как
по традиционной, так и по развивающей методике.

Работа со взаимно обратными задачами просматривается у Аритской Н.И., у
Свечникова А.А., но у Аритской И.И. нет четкой классификации задач, также, как у
Истоминой Н.Б.

Классификация сложных задач в принципе сходна у Эрдниева П.М., Свечникова
А.А., Баитовой М.А. но простые задачи Свечников А.А. и Баитова М.А.
классифицируют несколько иначе, чем Эрдниев П.М.

За основу я взяла работу над задачами по Эрдниеву П.М., так как на
сегодняшний день более четкой классификации задач и методики работы над взаимно
обратными задачами я пока не вижу.

Следует отметить существенно важные дидактические достоинства метода
обратных задач:

– Во время преобразования задачи учащийся выявляет и использует взаимно
обратные связи между величинами задачи:

– Количество комбинаций при составлении обратной задачи ограниченно: оно
равно количеству данных в задаче.

– Решая обратную задачу, учащийся перестраивает суждения и умозаключения,
использованные при решении прямой задачи, преодолевая при этом в мышлении
инерцию действий, выполненных при решении прямой задачи.

– Решение обратной задачи представляет проверку решения прямой задачи, то
есть при этом возникают благоприятные условия для потоков информации по целям
обратных связей в мыслительных процессах (систематическое сочетание прямых и
обратных задач вырабатывает важное качество личности – чувство самоконтроля).

– Учащиеся, составляя обратные задачи, знакомятся со значительно большим
разнообразием задач, чем в традиционных задачниках.

– При составлении и решении обратных задач выдвигается на первый план анализ
и видоизменение математических зависимостей.

Итак, для развития мышления ценны не столько прямые и обратные задачи, взятые
вне времени сами по себе, а наиболее важный познавательный элемент заключается в
процессе преобразования одной задачи в другую, в сравнении условий, решений,
ответов задач, то есть тех “невидимых”, трудно уловимых и трудно изобразимых при
логическом анализе элементов мысли, которые связывают решения обеих задач
(прямой и обратной).

Однако нельзя забывать, что переходы эти осуществляются во времени: чем
меньше интервал времени между противоположными процессами решения взаимно
обратных задач, тем быстрее и чаще будут совершаться эти переходы и тем прочнее
будут сохраняться в памяти следы этих переходов, то есть тем более глубокими и
основательными окажутся осваиваемые знания.

2. Решение задач на умножение и деление.

Связи между умножением и делением в той же мере взаимно обратны, в какой
взаимно обратны действия сложения и вычитания. Классификация задач по теме:
“Умножение и деление” выглядит следующим образом (таблица прилагается).

2.1. Умножение, деление по содержанию и деление на равные части.

На трех первых уроках, специально посвященных умножению. Выясняется смысл
понятия умножения как свернутого сложения равных слагаемых (о делении пока не
говорится).

На следующих уроках к каждому из известных случаев умножения приводится
соответствующий случай деления. В дальнейшем умножение и деление по содержанию
рассматриваются только совместно на одних и тех же уроках.

При введении понятия деления необходимо вспомнить соответствующие случаи
умножения, чтобы создать понятие о новом действии. Обратном умножению.

Смысл умножения постигается не столько при самом умножении, сколько при
постоянных переходах между умножением и делением, ибо деление есть
завуалированное, “измененное”, обращенное умножение. Это т объясняет, почему
выгодно изучать одновременно умножение и деление.

Пусть нужно по 2 взять 3 раза и 6 разделить по 2.

Дети берут по 2 кружочка и отходят в сторону.

– Эти дети будут составлять задачу.
– По 2 взять один раз, получится 2 (один ученик вкладывает 2 кружочка в
наборное полотно),
– По 2 взять 2 раза, получится 4 (аналогично),
– По 2 взять три раза, получится 6.

Запись на доске: по 2 ∙ 3 = 6 (к.)

– Теперь составим обратную задачу. Если в прямой задаче мы собирали кружочки,
то в обратной станем раздавать их.
– По сколько кружочков станем раздавать? (По 2.)
– Сколько всего надо раздать? (6.)
– Беру с полотна 2 кружочка, отдаю ученику – 2 кружочка отдали одному
человеку (и далее аналогично: по 2 кружочка отдали двум
ученикам, по 2 кружочка отдали трем ученикам).
– Сколько всего раздали кружочков?
– Как разделили?
– По сколько делили?
– Скольким ученикам досталось?

На доске запись: 6 : по 2 = 3 (уч.)

– Читаем еще раз (с наименованием и без)
– Сравним процесс решения задач:

На первых уроках по одновременному изучению умножения и деления
проводим многократные практические действия по собиранию и раздаче различных
предметов. Смысл этих действий показываем в схеме:

Третья операция (деление на равные части) вводится на основе двух ранее
известных: умножения и деления по содержанию.

4 ученика принесли по 2 тетради. Сколько всего тетрадей принесли?

По 2 ∙ 4 = 8 (т.)

– Составьте обратную задачу.

8 тетрадей раздали по 2 тетради. Сколько учеников получат тетради?

8 : по 2 = 4 (уч.)

– Составьте третью задачу.

8 тетрадей надо раздать поровну четырем ученикам. По сколько тетрадей
достанется каждому?

– У меня в руках 8 тетрадей.
– Скольким ученикам надо раздать по 2 тетради? (Вызываю 4-х учеников.)
– Сначала раздаем по одной тетради каждому ученику. Оставшиеся 4 тетради снова
раздаем по одной тетради.
– Все тетради раздали?
–По сколько тетрадей получил каждый?

8 т. : на 4 = по 2 т.

Далее на уроках по изучению умножения и деления широко используем метод
решения взаимно обратных задач.

На опытном участке 4 класса посадили по 3 грядки моркови. Сколько всего
грядок посадили?

Краткая запись: по 3 гр. 4 к. ? гр.

Решение: 3 ∙ 4 = 12 (гр.)

– Сколько данных в задаче?
– Сколько чисел найдено?
– Составьте обратную задачу.

12 грядок моркови посажено несколькими классами. Каждый класс посадил по 3
грядки. Сколько классов участвовало в посадке?

Решение: 12 гр. : по 3 гр. = 4 (кл.)

Даю название вида задач: “умножение”, “деление по содержанию” (таблица
прилагается).

– Составьте 2-ую обратную задачу: 12 грядок моркови посажен поровну 4
классами. По сколько грядок посажено каждым 7 классом?

Краткая запись: по ? гр. 4 кл. 12 гр.

Решение: 12 гр. : 4 = 3 (гр.)

Далее обязательно сравниваем задачи.

2.2. Задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз и задачи на
кратное сравнение величин.

По характеру связей данная тройка задач совершенно аналогична задачам на
увеличение и уменьшение числа на несколько единиц и разностное сравнение
величин.

Тетрадь стоит 6 рублей, а альбом в 4 раза дороже. Сколько стоит альбом?

Краткая запись: 6 р. в 4 раза дороже ? р.

– Какова цена тетради?
– Цена альбома?
– Что это значит? (Вместо 1 альбома можно купить 4 т.)
– Как найти стоимость 4х тетрадей?

По 6 р. ∙ 4 = 24 (р.)

Обратная задача. Если альбом в 4 раза дороже, то тетрадь – ? (В 4 раза
дешевле.)

Краткая запись: ? р. в 4 раза дешевле 24 р.

– Во сколько раз тетрадь дешевле альбома?
– 24 р. – что означает это число? (Цена альбома.)
– Что надо узнать? (Цену тетради.)
– За что уплатили меньше?
– В предыдущей задаче мы выполнили умножение и нашли цену альбома, так как за
него уплатили больше, чем за тетрадь. А за тетрадь уплатили в 4 раза меньше.
– Каким действием найдем цену тетради?

24 р. : на 4 = 6 (р.)

– Сравниваем условия, решения задач. В прямой задаче была дана цена тетради.
Что требовалось найти? (Цену альбома.)
– А в обратной задаче? (Наоборот.)
– Какое число входило в условие обеих задач? (В 4 раза.)
– В чем разница между задачами? (В 4 раза дороже – уплатили больше – действие
умножения, в 4 раза дешевле – уплатили меньше – действие деления.)
– Какая из задач на увеличение числа, какая – на уменьшение? (Таблица.)

Затем применяем обратный переход от задачи на умножение к задаче на
увеличение, а от них к понятию “кратное” сравнение.

Изучение темы завершаем упражнениями, когда по одному сюжету и набору чисел
составляются все три задачи.

Школьник весит 24 кг, а его ранец с книгами 3 кг. Во сколько раз ученик
тяжелее ранца с книгами?

24 кг 3 кг ? кг
24 : 3 = 8 (раз)

Ранец школьника весит 3 кг, а сам он в 8 раз тяжелее ранца. Сколько килограмм
весит школьник?

? кг 3 кг 8 раз
3 ∙ 8 = 24 (кг)

Школьник весит 24 кг, а его ранец в 8 раз легче. Сколько весит ранец?

24 кг ? кг 8 раз
24 : 8 = 3 (кг)

Далее идет противопоставление задач на разностное и кратное сравнение. Одной
из распространенных ошибок учащихся является подмена одного вида сравнения
другим.

Чтобы выработать умение различать эти задачи, надо проводить
противопоставление задач по трем линиям:

• Увеличение на несколько единиц и увеличение в несколько раз,
• Уменьшение на несколько единиц и уменьшение в несколько раз,
• Разностное сравнение и кратное сравнение.

Иногда решаем задачи с несколькими вопросами.

Валя купила 80 см красной ленты и 20 см синей ленты.

– Сколько сантиметров ленты куплено всего?

80 + 20 = 100 (см)

– На сколько см красная лента длиннее синей?

80 – 20 = 60 (см)

– Во сколько раз красная лента длиннее синей?

80 : 20 = 4 (раза)

Иногда выполняем структурно противоположное упражнение, когда к условию и
данным задачи придумываем вопросы.

Книга стоит 35 р., тетрадь – 5 р. Поставьте вопросы, чтобы первая задача
решалась делением, вторая – сложением, третья – вычитанием. После этого решаем
задачи на умножение и деление, выраженные в косвенной форме.

2.3. Задачи на нахождение части числа, числа по величине его части. Какую
часть составляет одно число от другого?

Естественно, что до введения этих задач дети знакомятся с дробями.

В коробке 32 конфеты. Мама разделила их поровну между четырьмя сыновьями.
Какая часть конфет досталась каждому? (Четвертая часть – ¼.)

– Что больше: целая коробка или ее часть?
– Во сколько раз больше?
– Как найти сколько конфет в ¼ коробки?

Обратная задача. В четвертой части коробки 8 конфет. Сколько конфет в
целой коробке?

– Где больше конфет: в ¼ или в целой коробке?
– Сколько конфет в целой коробке?

8 ∙ 4 = 32 (к.)

– Сравним условия задач и процессы их решения.
– Какие числа были даны в прямой задаче?
– Что они обозначают?
– А в обратной?
– Скажите вопросы прямой и обратной задач.
– Какими действиями решали задачи?

На следующих уроках выполняем обратные преобразования. После этого вводится
третья задача этого цикла.

Купили несколько груш. Третья часть груш составляет 7 груш. Сколько всего
было груш?

7 гр. 1/3 ? гр.
7 ∙ 3 = 21 (гр.)

Обратная задача. Купили 21 грушу. Сколько груш составляет 1/3 часть?

? гр. 1/3 21 гр.
21 : 3 = 7 (гр.)

Обратная задача. Какую часть составляет 7 яблок от 21 яблока?

Затем выполняются закрепительные упражнения по решению задач на умножение и
деление.

Как сделать обратное число?

Число, обратное натуральному, записывают как дробь с числителем 1 и знаменателем, равным данному натуральному числу. Так как данное нам число 80 является натуральным, то для того, чтобы найти обратное ему число надо 1/80 = 0,0125.

Ход урока

– Сегодня я приглашаю вас в увлекательное путешествие по математическому лесу. Наше путешествие будет идти под девизом, который написан на слайде. Прочитаем его. (Слайд 2)

Чтоб водить корабли.
Чтобы лётчиком стать
Надо прежде всего
Математику знать.
И на свете нет профессии,
Вы смекайте-ка
Где бы нам не пригодилась
Математика.

– Это девиз нашего урока. Как вы его понимаете? (Чтобы стать хорошим летчиком капитаном, надо хорошо учиться. Преодолевать трудности, стараться самим добывать знания.)

– С каким настроением вы пришли на урок – покажите при помощи сигналов на «Светофорчике». (Слайд 3)

– Откройте тетрадь и зафиксируйте место и время нашей встречи.

– Ну, что вперед за знаниями.

Актуализация опорных знаний.

Первая наша остановка «Соображай-ка»

1. Индивидуальная работа у доски (на местах работа в парах)

Закрепление знаний состава числа.

– Посмотрите, какие чудесные математические ёлочки. Как вы думаете, какое задание я вам хочу предложить?

– У вас на столах есть карточки с математическими ёлочками. (Приложение 1)

– Каждая пара веточек даёт в сумме число на макушке, числа на веточках могут быть однозначные и двузначные.

(У доски 3 ученика – вписывают числа в круги. (Приложение 5) Самостоятельная работа на местах в парах.)

– Кто согласен, покажите зелёный сигнал «Светофора», а кто не согласен – красный.

– С какой целью выполняли это задание? (повторили состав числа, способы получения чисел 7, 11, 15).

2. Устный счёт (Слайд 4)

– На поляне растут математические грибы. Эти грибочки необычные они волшебные. Посмотрите, какие числа записаны на шляпках грибов, поставьте их в порядке убывания (уменьшения) и вы узнаете, какое слово спряталось на грибочках. (Приложение 2) Ответ: 55, 50, 45, 35, 25, 15.

– Что вы знаете о задаче? Назовите основные части задачи (условие, вопрос, решение, ответ). (Слайд 5)

– Как вы думаете, зачем мы выполняли это задание? (повторили порядок чисел при счёте (в натуральном ряду, вспомнили части задачи)).

Учитель закрепляет на доске карточку со словом «задачи».

III. Гимнастика для глаз.

– Ребята сейчас мы попадём на лесную игровую полянку, где вам нужно глазками следить за движениями предметов. (Слайд 6)

Самоопределение к деятельности (постановка темы и цели урока).

– Посмотрите, сегодня к нам на урок снова пришел Учёный Математик. (Слайд 7)

– Как вы думаете, зачем он к нам пришёл? Что-то он не весёлый. Может быть что-нибудь случилось? (У Математика в руках листочек с буквами).

– Оказывается, Математик так спешил к нам, что пока бежал у него по листочку все буквы рассыпались. Поможем Математику расшифровать слово? Поставьте буквы в порядке возрастания их высоты и узнаете слово.
– Какое слово получилось? (Обратные). (Приложение 3)

– Итак, чем мы будем сегодня заниматься на уроке? (Решать обратные задачи). (Слайд 8)

– А обратные задачи, это какие?

– Попробуёте сформулировать проблему, которую необходимо разрешить на уроке? (Узнать о том, что такое обратные задачи и проверить наши предположения по этой проблеме).

– Вот сегодня мы будем исследователями, понаблюдаем и разрешим данную проблему.

Остановка «Задачкино» (Слайд 9)

Задачи на слайдах (схемы краткой записи для заполнения учащимися (Приложение 4)).

– Прочитайте тексты. Это одна и та же задача? В чём сходство? О чем говориться в задаче? (О кленовых и дубовых листочках, сколько упало листочков на землю). В чём отличие?

• На землю с деревьев упало 5 дубовых и 6 кленовых листочков. Сколько всего на земле листочков?
• В лесу листопад. На землю с деревьев упало 11 листочков. Кленовых было 6. Сколько на земле дубовых листочков?
• В лесу листопад. На землю с деревьев упало 11 листочков. Из них было 5 дубовых. Сколько на земле кленовых листочков?

– Прочитайте первую задачу. О чем говориться в задаче? (Дубовых – 5 л., кленовых – 6 л., не знаем сколько всего на земле листочков).

– Впишите самостоятельно на карточках данные, которые известны и неизвестны в задаче.

– Решите задачу №1.

Эталон для взаимопроверки и взаимоконтроля. (Слайд 10)

– Прочитайте вторую задачу. О чем говориться в задаче? (О кленовых и дубовых листочках, сколько упало листочков на землю).

– Чем задача похожа на предыдущую и чем отличается от неё? (В обеих задачах речь идёт о кленовых и дубовых листочках, и в той, и другой

задаче на земле 6 кленовых листочков В первой задаче известно, что упало

5 дубовых листочков и нужно узнать, сколько всего упало на землю листочков с двух деревьев, во второй задаче известна общее количество листочков и нужно узнать, сколько на земле дубовых листочков.)

– Запишите кратко условие.

– Решите задачу №2.

– Что вы можете сказать о решениях этих задач?

– Прочитайте третью задачу. Как изменилось ее условие? (Известно, сколько всего упало кленовых и дубовых листочков, и на земле кленовых листочков. Не знаем, сколько дубовых.)

– Что надо узнать? Запишите задачу кратко.

– Решите задачу №3.

– Внимательно посмотрите на условия этих трех задач. Что вы о них можете сказать? (Они похожи.)

– Что одинаково? (Данные, числа.) – Чем отличаются?

– Внимательно посмотрите на решения задач. Что одинаково? (Числа.) – Чем отличаются? (Действиями:1) +; 2) -; 3) -.)

– Как назовем вторую и третью задачи? (Обратные первой.)

– Конечно, это обратные задачи.

– В какой форме мы записали задачи? (в форме краткой записи).

– А можно их оформить в виде схематического рисунка (Слайд 11)

– Кто может поделиться с Математиком о том, как понял, что такое обратная задача? (Задачи, в которых объект (число) и результат меняются местами (известное становится не известным, а неизвестное известным), называются обратными первой).

– Какую цель ставили? (узнать, что такое обратные задачи)

– Какой получили результат? (мы выяснили, что такое обратная задача и решили их).

– Что ещё нового мы узнали? В каком виде можно оформить кратко задачу? (схематический рисунок).

– Проверили мы наши предположения? Математик говорит, что вы молодцы.

Работа по теме урока

– Откройте учебник на стр. 26, № 2. (Слайд 12)

Остановка «Речная»

– Прочитайте задачу. Запишите кратко.

– Решение и ответ задачи запишите самостоятельно.

– Составьте обратные задачи (устно). (Коллективное составление с комментированием).

1 вариант: решает задачу с вопросом: Сколько поймал лещей?

2 вариант: решает задачу с вопросом Сколько поймал окуней?

Самостоятельная работа. Фронтальная проверка.

Эталон для взаимопроверки и взаимоконтроля. (Слайд 13)

– Кому было легко решать задачи, покажите зелёный сигнал «Светофора».

– Кто затруднялся при работе с этим заданием, покажите жёлтый сигнал.

– С какой целью выполняли это упражнение из учебника? (закрепили умение решать задачи, учились устно составлять и решать обратные задачи).

Остановка «Отдыхайкино»

Учитель показывает танцевальные движения. (Слайд 14)

• Движения ногами (сгибание и разгибание колен), руки на пояс.
• Подняться на носочки и поднимать медленно руки вверх.
• Круговые движения тазом (вправо, влево).
• Повторить 1 танцевальное движение.
• Хлопки руками.
• Повторить 1 танцевальное движение.

VII. Работа над пройденным материалом

Остановка «Узнайкино» (Слайд 15)

– Откройте тетрадь с печатной основой с. 34 №19.

– Прочитайте задание. Раскрасьте кружки с номерами обратных задач.

Докажите, что вы их верно нашли.

– Зачем мы выполняли это задание? Чему учились? (узнавать обратные задачи, уметь отличить обратную от данной (прямой) задачи).

VIII. Домашнее задание

• Учебник: стр. 26, № 3.
• Р. т.: стр. 34 № 18, № 19 (решить задачи).(Слайд 16)

Рефлексия учебной деятельности

– Вспомните девиз нашего путешествия.

– Мы сегодня с вами хорошо поработали, и я считаю, что из вас должны получиться хорошие и летчики и капитаны и вы сможете для себя выбрать любую другую нужную профессию. Математические знания важны для всех сфер деятельности.

– Посмотрите, как смотрит на нас Математик. Он улыбается. Почему? (Доволен тем, как мы поработали на уроке исследователями). (Слайд 17)

– Что нового вы узнали на уроке? Чему научились?

– Какие задачи называются обратными?

– Кто испытывал трудности при работе?

– Какие? Что нужно сделать, чтобы их устранить?

– Оцените свою работу на уроке при помощи «Светофорчика». (Слайд 18)

– Молодцы! Спасибо за работу на уроке. Наш помощник Учёный Математик благодарит вас и вручает «медальки» за работу на уроке в виде цветных кленовых и дубовых листочков: зелёный – активно работал на уроке, жёлтый – хорошо работал, красный – работал на уроке, но нужна ещё помощь.

• М.М. Моро, С.И. Волкова, С.И. Степанова. Математика для 2 класса четырёхлетней начальной школы. Часть 1. – М..: Просвещение, 2012.
• Моро М.И., Волкова С.И. Тетрадь по математике для 2 класса. – М.: Просвещение, 2012.
• Ситникова Т.Н., Яценко И.Ф. Поурочные разработки по математике: 2 класс. – М.: Просвещение, 2012..
• Волкова С.И. и др.. Математика. 2 класс. Электронное приложение к учебнику (ЭОР). – М.: Просвещение, 2012.
• Интернет-ресурсы: urok.1sept.ru/articles/596099/

Как найти обратное отношение?

Если известно отношение двух чисел (величин, выражений и т. п.), то для того, чтобы найти обратное отношение, достаточно единицу разделить на заданное отношение.

Как научиться правильно решать задачи?

Чтобы быстро и правильно решать задачи, нужно знать и выполнять несколько важных условий.Алгоритм решения задач:

• Читаем условие задачи Первый раз ребёнок читает условие задачи вслух, затем ему нужно ещё раз прочитать задачу внимательно и не торопясь.
• Представляем задачу
• Решение задачи
• Записываем решение
• Ответ
• Проверка

Как доказать что числа являются взаимно обратными?

Взаимно обратные числа. Определение:

• Если a⋅b=1 a · b = 1, то можно сказать, что число a обратно числу b, так же как и число b обратно числу a.
• Самый простой пример взаимно обратных чисел — две единицы.
• Рассмотрим общий случай.
• Очевидно, что число, обратное обыкновенной дроби ab — это дробь ba.

Как научиться решать задачи на части 5 класс?

Как найти обратное числа?

Чтобы найти число, обратное данному, нужно единицу разделить на данное число. Если дана дробь, то наиболее простой способ нахождения обратного числа — просто перевернуть дробь. а) Число, обратное числу 5/8, равно 8/5 = 1.6. б) Число, обратное числу 4, равно 1/4 = 0.25.

Как решать задачи с остатками?

2. Решать задачи на деление с остатком:

• Находим наибольшее число до делимого, которое можно разделить на делитель без остатка.
• Данное число делим на делитель. Это значение частного.
• Вычитаем из делимого наибольшее число — это остаток.
• Проверяем, остаток должен быть меньше делителя.

Как решать задачи во сколько раз?

Вывод: Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее число разделить на меньшее.

Как правильно решить задачу?

Ответ: вторая задача.

Какое число является обратным самому себе?

ОБРА́ТНЫЙ, -ая, -ое. 1. Ведущий назад; направленный в противоположную по сравнению с предшествующим движением сторону. В обратном направлении.

Как решать задачи обратные данной?

Какие движения называют взаимно обратными?

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными. Чтобы выяснить, являются ли два числа взаимно обратными, их необходимо перемножить. Если ответ равен единице, то числа являются взаимно обратные.

Сколько обратных задач можно составить?

Обратных задач можно составить столько, сколько числовых данных в прямой задаче (словесные формулировки могут быть различны).

Урок математики во 2 классе на тему «Задачи, обратные данной»

Цели: познакомить с понятием «обратные задачи»; совершенствовать вычислительные навыки, умения преобразовывать величины и выполнять задания геометрического характера.

Планируемые результаты: учащиеся научатся узнавать и составлять обратные задачи; применять полученные ранее знания в измененных условиях; рассуждать и делать выводы; контролировать и оценивать свою работу и ее результат.

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний

1. Логическая разминка

— Решите задачу.

Три футбольные команды участвуют в игре. Каждая команда проводит по одной игре с двумя другими. Сколько игр должно быть сыграно? (3)

2. Геометрический материал

(На доске рисунок)

— Сколько на рисунке треугольников? (8)

3. Индивидуальная работа по карточкам

(Карточки получают учащиеся, допустившие аналогичные ошибки в контрольной работе)

100 см ○ 1 м                               1 дм ○ 90 мм

20 мм ○ 12 см                             99 см ○ 9 см 9 мм

1 м ○ 8 дм                                   2 см ○ 22 мм

1 руб. ○ 30 коп.                         13 коп. ○ 31 коп.

Вставь пропущенные числа.

36 – 6 = □                              □ — 7 = 60

54 – 50 = □                            30 + 8 = □

49 – 40 + 1 = □                     95 – □ = 5

32 – 2 – 20 = □                      □ + □ = 79

Запиши задачу кратко и реши.

Лена купила ластик и блокнот. Блокнот стоит 32 руб., а ластик на 30 руб. дешевле. Сколько стоит вся покупка?

4. Устный счет

— Решите цепочку. Назовите только ответы.

5. Работа над задачами

(Учитель читает текст, учащиеся исправляют или дополняют этот текст так, чтобы он стал задачей)

• В новой Машенькиной книге 35 сказок. Машенька прочитала 24 сказки.

• Костя пылесосил ковер в своей комнате 10 мин, делал домашнее задание 30 мин, а потом смотрел мультфильмы 20 мин. Сколько минут Костя смотрел мультфильмы?

• На пруду плавали 16 уток и 12 гусей. Сколько лебедей было на пруду?

• Сколько конфет съели мальчики?

• У Ивана в доме много кактусов, 5 из них не цветут. Сколько кактусов цветет?

(Учитель читает задачу, учащиеся называют решение и ответ)

• У белой кошки родились 3 белых котенка, а у рыжей кошки-2 рыжих котенка и 4 полосатых. Сколько котят родилось у рыжей и белой кошек? (3 + 2 + 4 = 9)

• В букете 15 одуванчиков и 8 васильков. На сколько больше одуванчиков, чем васильков? (15 – 8 = 7)

• В цирковой программе выступали 3 жонглера, клоунов — на 2 больше, а акробатов было столько, сколько жонглеров и клоунов вместе. Сколько было акробатов? (3 + 2 = 5 — клоунов, 3 + 5 = 8 — акробатов)

• Сережа слепил из пластилина 40 разных динозавров: 10 хищных и несколько травоядных. Сколько травоядных динозавров слепил Сережа? (40 – 10 = 30)

• Рост Илюши 99 см, а рост Ксюши 90 см. На сколько сантиметров Ксюша ниже Илюши? (99 – 90 = 9)

III. Самоопределение к деятельности

Сегодня к нам на урок снова пришел Математик. Он спешит познакомить нас с новой темой. Только что-то он невеселый. Может быть, что-нибудь случилось?

Оказывается, Математик так спешил к нам, что потерял одно слово из названия темы урока. Но второе слово осталось. Может быть, мы догадаемся, какое слово потеряно, и поможем Математику?

(Учитель закрепляет на доске карточку со словом «задача»)

— Итак, чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Решать задачи)

— Но мы ведь умеем решать задачи, почему же тогда пришел Математик? (Значит, сегодня мы узнаем о задачах что-то новое, познакомимся с новым видом задач)

Математик говорит, что вы правы. Итак, мы продолжаем решать задачи.

(Задачи записаны на доске)

1. Блокнот стоит 5 руб., линейка — 4 руб. Сколько стоят вместе блокнот и линейка?

2. Блокнот и линейка стоят 9 руб. Блокнот стоит 5 руб. Сколько стоит линейка?

3. Блокнот и линейка стоят 9 руб. Линейка стоит 4 руб. Сколько стоит блокнот?

— Прочитайте первую задачу. Что известно в задаче? (Блокнот стоит 5руб., линейка — 4 руб)

— Что нужно узнать? (Сколько стоят линейка и блокнот вместе)

— Составьте краткую запись задачи.

— Запишите решение задачи. (5 + 4 = 9(руб))

— Прочитайте вторую задачу.

— Чем эта задача похожа на предыдущую и чем отличается от нее? (Примерный ответ. В обеих задачах речь идет о стоимости блокнота и линейки, блокнот и в той, и в другой задаче стоит 5 руб. В первой задаче известна также стоимость линейки и нужно узнать, сколько стоят блокнот и линейка вместе, во второй задаче известна общая стоимость блокнота и линейки и нужно узнать, сколько стоит линейка)

— Запишите решение задачи. (9-5 = 4 (руб))

— Что вы можете сказать о решениях этих задач?

— Прочитайте третью задачу. Как изменилось ее условие? (Известно, сколько стоят блокнот и линейка вместе и сколько стоит линейка. Не знаем, сколько стоит блокнот)

— Запишите решение задачи. (9 – 4 = 5(руб))

— Внимательно посмотрите на условия этих трех задач. Что вы о них можете сказать? (Они похожи)

— Что одинаково? (Данные, числа)

— Чем отличаются?

— Внимательно посмотрите на решения задач. Что одинаково? (Числа)

— Чем отличаются? (Действиями. Первую задачу решали сложением, вторую и третью — вычитанием)

— Как назовем вторую и третью задачи? (Обратные) Конечно, это обратные задачи. Посмотрите, как улыбается

Математик, об обратных задачах он и хотел нам рассказать.

— Как называется тема нашего урока? (Обратные задачи) (Рядом с карточкой со словом «задачи» учитель закрепляет карточку со словом «обратные»)

IV. Работа по теме урока

Работа по учебнику

— Ответьте на вопрос задачи. (Блокнот и карандаш стоили 10 руб)

— Как вы узнали? (6 + 4= 10 (руб))

— Прочитайте следующую задачу. Известно ли, сколько стоила вся покупка? (Да. 10 руб)

— Что сейчас неизвестно в задаче? (Сколько стоил карандаш)

— Как узнать? (10 – 6 = 4 (руб))

— Кто догадался, что будет неизвестно в следующей задаче? (Сколько стоил блокнот)

— Прочитайте задачу. Правильно ли вы предположили?

— Как узнать, сколько стоил блокнот? (10 – 4 = 6 (руб))

— Как называются вторая и третья задачи?

Руки на пояс поставьте сначала,

Влево и вправо качайте плечами.

Вы дотянулись мизинцем до пятки?

Если сумели — все в полном порядке.

VI. Закрепление изученного материала

№2 (с. 26).

– Прочитайте задачу. Запишите ее кратко.

(Можно также выполнить рисунок или схематический чертеж)

— Решите задачу самостоятельно.

— Устно составьте обратные задачи.

— Решите обратные задачи.

(Вариант 1 решает задачу с вопросом «Сколько Володя поймал лещей?», вариант 2 — с вопросом «Сколько Володя поймал окуней?». Проверка в парах)

— Какие задачи мы составляли? (Обратные)

— Какие задачи называются обратными?

№3 (с. 26).

— Что нужно сделать сначала? (Перевести 5 см в миллиметры)

— Переведите. (5 см = 50 мм)

— Какие слова подсказывают, какое действие нужно выбрать для решения задачи? (Меньше на..)

№4 (с. 26).

— Какую закономерность в составлении примеров вы заметили?

— Составьте еще по одному примеру в каждый столбик.

— Решите примеры.

(Коллективная проверка. Самооценка)

(Выполнение заданий в тетради для проверочных работ (с. 8—9). Можно использовать тетрадь для самостоятельных и контрольных работ (самостоятельная работа 4, с. 12—14))

— Оцените свою работу на уроке.

VIII. Подведение итогов урока

— Что нового вы узнали о задачах?

— Кто понял, как составлять обратные задачи?

Рекомендуем посмотреть

Конспект урока по математике, 2 класс. Наименьшее трехзначное число. Сотня. Школа России

Конспект урока по математике, 2 класс. Числа от 11 до 100. Образование чисел. Школа России

Конспект урока по математике «Виды углов», 2 класс. Школа России

Конспект урока по математике «Сумма и разность отрезков», 2 класс. Школа России

Конспект урока по математике, 2 класс. Сложение и вычитание вида 35+5 35-30 35-5. Школа России

Нет комментариев. Ваш будет первым!

Как решать самые сложные задачи?

11 приемов для решения сложных задач:

• Тщательно анализируем наши цели и средства их достижения
• Пытаемся решить задачу с ее конца
• Пытаемся максимально упростить решение
• Пробуем варианты решения и выявляем ошибки
• Узнаем правила решения
• Ищем подсказки
• Делим имеющуюся информацию «пополам»
• Используем «мозговой штурм»

Какие задачи называют взаимно обратными?

Задачи называются взаимно обратными, если в них говорится об одних и тех же предметах, но неизвестное и известное в них поменялись местами. Решим данные задачи. В каждой задаче мы нашли то, что известно в двух других.