Материальная точка. Система отсчета

Материальная точка. Система отсчета Реш еду ру

Материальная точка

При решении целой совокупности задач можно отвлечься от формы и размеров тела и рассматривать его как материальную точку.

Материальной точкой в физике называют тело, имеющее массу, но размерами которого, в сравнении с расстояниями до других тел, в
рассматриваемой задаче можно пренебречь.

Понятие «материальная точка»

Понятие «материальная точка» – это абстракция. В природе материальных точек не существует. Но постановка некоторых задач механики дает возможность использовать данную абстракцию.

Когда мы говорим о точке в кинематике, то ее можно рассматривать как математическую точку. В кинематике под точкой понимается небольшая метка на теле или само тело, если его размеры малы в сравнении с теми расстояниями, которое тело преодолевает.

В таком разделе механики, как динамика, нужно уже говорить о материальной точке, как точке, которая обладает массой. Основные законы классической механики относятся к материальной точке, телу, которое не имеет геометрических размеров, но имеет массу.

В динамике размеры и форма тела во многих случаях не оказывает влияние на характер движения, в этом случае тело можно рассматривать как материальную точку. Но в других условиях, это же тело точкой считать нельзя, так как его форма и размер оказываются решающими в описании движения тела.

Так, если человека интересует какое количество времени необходимо автомобилю, чтобы доехать от Москвы до Тюмени, то совершенно не обязательно знать, как движется при этом каждое из колес машины. Но, если автомобилист пытается втиснуть свой автомобиль на узкое парковочное место, принимать машину за материальную точку нельзя, так как имеют значение размеры автомобиля. Можно принимать Землю за материальную точку, если мы рассматриваем движение нашей планеты вокруг Солнца, но так нельзя поступить, при изучении ее движения вокруг собственной оси, если мы пытаемся установить причины, по которым день сменяет ночь. Так, одно и то же тело в одних условиях можно рассматривать как материальную точку, в других условиях этого делать нельзя.

Существуют некоторые виды движения, в которых тело можно смело принимать за материальную точку. Так, например, при поступательном движении твердого тела все его части движутся одинаково, поэтому в таком движении тело обычно рассматривают как точку с массой, которая равна массе тела. Но если это же тело вращается вокруг своей оси, то его за материальную точку принять нельзя.

И так, материальная точка является простейшей моделью тела. Если тело можно уподобить материальной точке, то это существенно упрощает решение задачи по изучению его движения.

Разные виды движения точки различают, в первую очередь, по виду траектории. В том случае, если траекторией движения точки является прямая линия, то движение называют прямолинейным. В отношении движения макроскопического тела имеет смысл говорить о прямолинейном или криволинейном движении тела только тогда, когда можно при описании движения ограничиться рассмотрением перемещения одной точки этого тела. У тела, в общем случае разные точки могут совершать разные типы движения.

Система материальных точек

Если тело нельзя принять за материальную точку, то его можно представить в виде системы материальных точек. При этом тело мысленно делят на бесконечно малые элементы, каждый из которых можно принять за материальную точку.

В механике каждое тело можно представить в виде системы материальных точек. Имея законы движения точки, мы можем считать, что у нас есть метод описания любого тела.

В механике существенную роль играет понятие абсолютно твердого тела, которое определяют как систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны, при любых взаимодействиях этого тела.

Примеры задач с решением

Задание. В каком случае тело можно считать материальной точкой:

Спортсмен на соревнованиях бросает ядро. Ядро можно считать материальной точкой?

Шар вращается вокруг своей оси. Шар – это материальная точка?

Гимнастка выполняет упражнение на брусьях.

Бегун преодолевает дистанцию.

Ответ. 1) Ядро можно считать материальной точкой.

2) Вращающийся шар считать материальной точкой нельзя, так как, описывая его вращение, следует учитывать, что в таком движении разные его точки движутся по – разному.

3) Гимнастку считать материальной точкой нельзя.

4) Бегуна считать материальной точкой можно, если нет необходимости рассматривать детально его бег, в особенности на финише, например при помощи фотофиниша.

Задание. При каких условиях движущийся вверх камень можно считать материальной точкой. См. рис.1 и рис.2.

Материальная точка. Система отсчета

Решение: На рис. 1 размеры камня нельзя считать малыми в сравнении с расстоянием до него. В этом случае камень нельзя считать материальной точкой

На рис. 2 камень вращается, следовательно, его нельзя считать материальной точкой.

Ответ. Камень, брошенный вверх можно считать материальной точкой, если его размеры будут малы в сравнении с расстоянием до него, и он будет двигаться поступательно (вращения не будет).

Материальная точка. Система отсчета

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Материальная точка — что это такое

Решение задач в физике часто подразумевает замену реального тела точкой в модельном мире. При этом остается важным ее положение в пространстве, а также масса. Такая точка получила название материальной, а ее размерами и вращением вокруг собственной оси пренебрегают.

Понятие материальной точки вводится для того, чтобы в ходе решения поставленных задач определить координату тела, его скорость.

К примеру, для того чтобы запустить на другую планету с Земли космический корабль, необходимо рассчитать, каковы ее точные координаты, как они меняются с течением времени. Задать координаты такого тела можно с помощью системы координат, однако это трудно сделать, если не принять все тело за одну материальную точку. Ведь в полноценном теле каждая точка имеет свои координаты, учесть которые нереально.

В естественном мире материальных точек не существует. Ими можно обозначить любые тела, размерами которых по отношению к расстоянию можно пренебречь.

Когда заменяют реальное тело материальной точкой, оставляют обязательными его две характеристики: положение в пространстве и массу. Для того чтобы на языке физики описать эти характеристики, для массы пользуются определенным числом, а для положения — задают координаты в выбранной системе координат.

Если в задаче оговаривается взаимодействие нескольких тел (в т. ч. молекул идеального газа), то для модельного мира рассматривается такое понятие, как система материальных точек.

Определение, физический смысл

Материальная точка — простейшая физическая модель, используемая в механике, которая обладает массой. Ее размерами, внутренней структурой, собственным вращением, формой пренебрегают.

К примеру, для описания движения самолета используют понятие «средняя скорость». Для ее определения пренебрегают реальными размерами самолета, принимая его за материальную точку. В то же время, если необходимо оценить силу сопротивления воздуха, действующую во время полета, самолет нельзя принимать за материальную точку, поскольку величина силы сопротивления определяется формой самолета и скоростью его движения.

Рассмотрим объект, который движется поступательно, например, человека, поднимающегося вверх на эскалаторе. Его размеры можно считать соизмеримыми с длиной ступеней эскалатора.

При поступательном движении прямая, соединяющая две любые точки тела, в любой момент времени остается параллельной той прямой, которая была в начале движения. Классическим примером поступательного движения является кабина «Колеса обозрения».

Когда в условии задачи говорится, что человек совершает поступательное движение, его можно считать материальной точкой, определять его скорость, путь, перемещение и т. п. Если к тому же такое движение тела прямолинейно, определить его положение легко, зная хотя бы одну координату.

Еще одним вариантом движения является вращательное. При нем все точки совершают движение по окружности, центры которых занимают определенное положение на одной и той же прямой — линии (оси) вращения.

Характеристики материальной точки, как найти скорость

Описанные выше виды движения совершаются в какой-то промежуток времени и в какой-то части пространства. Чтобы описать такое движение, пользуются сравнением с положением какого-нибудь тела, при этом говорят, что движение рассматривается относительно тела отсчета и связанной с ним системы координат.

Положение каждой точки в декартовой системе координат описывается координатами x, y, а также радиус-вектором, который проводится к выбранной точке из нулевой точки системы координат.

Материальная точка. Система отсчета

По истечению времени координаты материальной точки меняются, их можно схематически выразить следующим образом:

  • X=x(t)
  • Y=y(t)
  • Z=z(t)

Векторное уравнение — кинематическое уравнение движения материальной точки — выглядит аналогично:

Следовательно, если известны начальные координаты тела и вектор его скорости, можно вычислить координаты с течением времени.

В случае прямолинейного движения траектория движения совпадает с вектором перемещения, а модуль перемещения равняется пути.

Для его нахождения используется одна из основных величин физики — скорость. Это понятие характеризует быстроту и направление движения.

Материальная точка. Система отсчета

На рисунке схематически изображено движение тела по криволинейной траектории. За промежуток времени Δt, согласно радиус-вектору r1, точка пройдет путь Δs. При этом перемещение будет Δr.

Вектор средней скорости равен частному отношения приращения Δr радиус-вектора к Δt.

Из данной формулы вытекает, что единицами измерения скорости в системе СИ являются км/ч, м/с. Это скорость такого движения, при котором за единицу времени (секунда) тело проходит единицу пути (метр). На практике скорость выражается также в других единицах: км/ч, км/с и т.п.

При равномерном движении скорость можно изобразить графически, как показано на схеме:

Скорость равномерного движения на ней отражается в виде прямой, параллельной оси абсцисс, а путь — в виде прямой, начало которой совпадает с началом координат, а наклон к оси абсцисс составляет угол α.

Материальная точка. Система отсчета

Примеры решения задач по теме «Материальная точка»

МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА – модельное понятие (абстракция) классической механики, обозначающее тело исчезающе малых размеров, но обладающее некоторой массой.

С одной стороны, материальная точка – простейший объект механики, так как его положение в пространстве определяется всего тремя числами. Например, тремя декартовыми координатами той точки пространства, в которой находится наша материальная точка.

С другой стороны, материальная точка – основной опорный объект механики, так как именно для нее сформулированы основные законы механики. Все другие объекты механики – материальные тела и среды – могут быть представлены в виде той или иной совокупности материальных точек. Например, любое тело можно «разрезать» на малые части и каждую из них принять в качестве материальной точки с соответствующей массой.

Когда можно «заменить» реальное тело материальной точкой при постановке задачи о движении тела, зависит от тех вопросов, на которые должно ответить решение формулируемой задачи.

Возможны различные подходы к вопросу об использовании модели материальной точки.

Один из них носит эмпирический характер. Считают, что модель материальной точки применима тогда, когда размеры движущихся тел пренебрежимо малы по сравнению с величиной относительных перемещений этих тел. В качестве иллюстрации можно привести Солнечную систему. Если считать, что Солнце – неподвижная материальная точка и считать оно действует на другую материальную точку-планету по закону всемирного тяготения, то задача о движении точки-планеты имеет известное решение. Среди возможных траекторий движения точки есть и такие, на которых выполняются законы Кеплера, эмпирически установленные для планет солнечной системы.

Таким образом, при описании орбитальных движений планет модель материальной точки вполне удовлетворительна. (Однако, построение математической модели таких явлений как солнечные и лунные затмения требует учета реальных размеров Солнца, Земли и Луны, хотя эти явления, очевидно, связаны с орбитальными движениями.)

Отношение диаметра Солнца к диаметру орбиты ближайшей планеты – Меркурию – составляет величину 1·10–2, а отношения диаметров ближних к Солнцу планет к диаметрам их орбит – величины ~ 1 ÷ 2·10–4. Могут ли эти числа служить формальным критерием для пренебрежения размерами тела в других задачах и, следовательно, для приемлемости модели материальной точки? Практика показывает, что нет.

Например, маленькая пуля размером l = 1 ÷ 2 см пролетает расстояние L = 1 ÷ 2 км, т.е. отношение , однако траектория полета (да и дальность) существенно зависит не только от массы пули, но и от ее формы, и от того, вращается ли она. Поэтому даже маленькую пулю, строго говоря, нельзя считать материальной точкой. Если в задачах внешней баллистики метаемое тело часто считают материальной точкой, то это сопровождается оговорками ряда дополнительных условий, как правило, эмпирически учитывающих реальные характеристики тела.

Если обратиться к космонавтике, то когда космический аппарат (КА) выведен на рабочую орбиту, при дальнейших расчетах траектории его полета он считается материальной точкой, так как никакие изменения формы КА не оказывают сколько-нибудь заметного влияния на траекторию. Лишь иногда, при коррекциях траектории возникает необходимость обеспечения точной ориентации реактивных двигателей в пространстве.

Когда же спускаемый отсек приблизится к поверхности Земли на расстояние ~100 км, он сразу «превращается» в тело, поскольку от того, каким «боком» он входит в плотные слои атмосферы, зависит, доставит ли отсек в нужную точку Земли космонавтов и возвращаемые материалы.

Модель материальной точки оказалась практически неприемлемой для описания движений таких физических объектов микромира, как элементарные частицы, атомные ядра, электрон и т.п.

Другой подход к вопросу об использовании модели материальной точки носит рациональный характер. По закону изменения количества движения системы, примененному к отдельному телу, центр масс С тела имеет такое же ускорение, как и некоторая (назовем ее эквивалентной) материальная точка, на которую действуют те же силы, что и на тело, т.е.

Вообще говоря, результирующая сила может быть представлена в виде суммы , где зависит только от и (радиус-вектор и скорость точки С), а – и от угловой скорости тела и его ориентации.

Если F2 = 0, то приведенное выше соотношение превращается в уравнение движения эквивалентной материальной точки.

В этом случае говорят, что движение центра масс тела не зависит от вращательного движения тела. Таким образом, возможность использования модели материальной точки получает математическое строгое (а не только эмпирическое) обоснование.

Естественно, что на практике условие F2 = 0 выполняется редко и обычно F2 0, однако может оказаться, что F2 в каком-то смысле мало по сравнению с F1. Тогда можно говорить, что модель эквивалентной материальной точки является некоторым приближением при описании движения тела. Оценка точности такого приближения может быть получена математически и если эта оценка окажется приемлемой для «потребителя», то замена тела на эквивалентную материальную точку допустима, в противном случае такая замена приведет к значительным ошибкам.

Это может иметь место и тогда, когда тело движется поступательно и с точки зрения кинематики его можно «заменить» на некоторую эквивалентную точку.

Естественно, что модель материальной точки не пригодна для ответа на такие вопросы, как «почему Луна обращена к Земле лишь одной своей стороной?» Подобные явления связаны с вращательным движением тела.

В этом видеоуроке вспомним, что называют механическим движением. Узнаем, какая наука называется механикой и какие разделы она включает. Вспомним, какими моделями реальных тел пользуются в физике. А также узнаем, что такое система отсчёта и из каких элементов она состоит.

Как говорил древнегреческий философ Гераклит: «Всё течёт, всё изменяется».

В начале урока напомним учащимся о том, что такое механическое движение. Механическим движением называется изменение положения тела или частей тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Материальная точка. Система отсчета

Далее следует спросить у учащихся, что они понимают под словами «пространство» и «время», а также под словосочетанием «относительно других тел».

Например, Исаак Ньютон считал, что «пространство — это вместилище вещей, а время — вместилище событий». Со времён Ньютона наука далеко шагнула вперёд, однако до сих пор она не может дать точного ответа на эти вопросы.

Затем на простом примере мы вводим закон относительности движения.

Материальная точка. Система отсчета

При изучении данной темы стоит уделить время историческим справкам, рассказать, когда и кем были сформулированы основные законы механики.

Изучение механики начинается с кинематики, так как её понятия лежат в основе всей классической физики. Кинематика — это раздел механики, который изучает способы описания движений и связь между величинами, характеризующими эти движения.

Описать движение — это значит указать способ определения его положения в пространстве в произвольный момент времени. Но как это сделать? Например, как описать движение облаков? Или движение корабля в океане?

Поставив проблему, мы вводим для её разрешения понятие материальной точки как самой простой модели реальных тел. Материальной точкой принято называть тело, размерами и формой которого в данных условиях можно пренебречь.

Материальная точка. Система отсчета

Обратите внимание учащихся на слова «в данных условиях». Они означают, что одно и то же тело при одних его движениях можно считать материальной точкой, при других — нет. Например, изучая движение планет вокруг Солнца, их можно считать материальными точками несмотря на внушительные размеры некоторых из них. Однако это ничто по сравнению с теми расстояниями, которые они проходят по своим орбитам. Но вот при рассмотрении задач, связанных с суточным вращением планеты, считать её материальной точкой нельзя, так как результат будет зависеть от размеров планеты, скорости движения её различных точек и так далее.

После этого можно сформулировать три правила о том, в каких случаях тело можно считать материальной точкой.

Далее вводим понятие системы отсчёта как совокупности тела отсчёта, связанной с ним системы координат и часов.

Материальная точка. Система отсчета

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что систему отсчёта можно выбрать совершенно произвольно. Однако важно, чтобы в ней движение тела было наиболее простым и при этом можно было ответить на все вопросы, поставленные в задаче.

В конце урока проводим краткое повторение изученного материала.

Наиболее простой формой всех изменений является механическое
движение. Механическое движение — это изменение положения одних тел
относительно других в пространстве с течением времени.

А наука о закономерностях механического движения и
причинах, вызвавших это движение, называется механикой.

Механику обычно разделяют на два раздела: кинематику, которая
отвечает на вопрос, как движутся тела; и динамику, которая выясняет причины и
проясняет, почему тела движутся именно так, а не иначе.

Изучение механики начинается с кинематики, так как понятия
кинематики лежат в основе всей физики.

Кинематика — это раздел механики, который изучает движение
тел без учёта причин, вызвавших это движение.

Основная задача кинематики заключается в нахождении положения
тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение
в начальный момент времени.

Каким образом кинематика может описать такие сложные
движения?

Дело в том, что кинематика позволяет представить любое
сложное движение, как состоящее из трёх основных.

Все вы знаете, что любое тело в каждый момент времени
обладает некоторой геометрической формой, определённым образом ориентировано в
пространстве и занимает в нем некоторое место. Проведём простой опыт с
обыкновенным ластиком. Его можно изогнуть, то есть изменить его форму. Его
можно повернуть, то есть по-другому сориентировать относительно стола. И,
наконец, ластик можно перенести в другое место без изменения формы и ориентации
в пространстве.

С деформацией тела вы знакомы. Напомним, что это процесс
изменения формы и (или) объёма тела. В результате этого процесса изменяется
расстояние между точками тела.

Вращательное движение тела — это движение, при котором
происходит изменение ориентации тела в пространстве (проще говоря, поворот
тела).

Ну а перемещение тела без деформирования и поворота
называется поступательным движением. При таком движении любая прямая, мысленно
проведённая через любые две точки тела, остаётся параллельной самой себе.

Материальная точка. Система отсчета

Во многих задачах деформированием тела можно
пренебречь. В таких случаях пользуются моделью абсолютно твёрдого тела — это
тело, у которого расстояние между любыми его точками не меняется.

Если же в задаче, помимо деформации, можно пренебречь и
вращением тела, то остаётся рассмотреть лишь его поступательное движение. А для
таких задач достаточно изучить движение только одной точки тела, то есть
использовать модель материальной точки.

Материальной точкой называется тело, размерами которого в
данных условиях можно пренебречь.

Слова «в данных условиях» означают, что одно и то же тело при
одних его движениях можно считать материальной точкой, при других — нет.
Например, при изучении движения планет нашей Солнечной системы вокруг Солнца,
их можно считать материальными точками, так как их размеры очень малы, по
сравнению с расстояниями, которые они проходят.

Материальная точка. Система отсчета

Однако при рассмотрении задач, связанных с суточным вращением
планеты, считать её материальной точкой нельзя, так как результат будет
зависеть от размеров планеты, скорости движения её различных точек и так далее.
Например, в Москве солнце встаёт на 7 часов раньше, чем в Нью-Йорке.

Поэтому, чтобы тело можно было принять за материальную точку,
должно выполняться одно из трёх условий:

·                  
тело движется поступательно;

·                  
размеры тела много меньше расстояния, которое оно проходит;

·                  
размеры тела много меньше расстояния до тела отсчёта.

Напомним, что тело отсчёта — это тело (или группа тел),
принимаемое в данном случае за неподвижное, относительно которого
рассматривается движение других тел.

Вам известно, что одно и то же тело может двигаться
относительно одних тел и одновременно оставаться неподвижным для других. Так
пилот самолёта неподвижен относительно самолёта, но движется вместе с ним
относительно земли. Таким образом, когда говорят о движении какого-либо тела,
необходимо указывать тело, относительно которого это движение рассматривается.

Положение тела в пространстве определяется с помощью
координат. Например, рассмотрим движения локомотива по железной дороге. Его
положение в любой момент времени можно задать одной координатой, например, Х.
Для этого с телом отсчёта (например, это может быть дерево) связывается система
координат, состоящая из одной координатной оси.

Материальная точка. Система отсчета

При изучении движения тела по плоскости, например, мела по
школьной доске, одной координаты уже недостаточно. Поэтому, для описания такого
движения следует использовать две взаимно перпендикулярные координатные оси и в
каждый момент времени знать две координаты движущегося тела.

Материальная точка. Система отсчета

Когда же рассматривается движение тела в пространстве,
например, движение вертолёта, то система координат, связанная с телом отсчёта,
будет состоять из трёх взаимно перпендикулярных координатных осей: OX, OY, OZ.

Материальная точка. Система отсчета

А так, как при движении тела его координаты с течением
времени изменяются, то необходимо иметь прибор для измерения времени.

Тело отсчёта, снабжённое устройствами для определения
положения других тел и для измерения времени, называется системой отсчёта.

Мы будем использовать систему отсчёта, которая состоит из
тела отсчёта, жёстко связанной с ним системы координат и часов.

Материальная точка. Система отсчета

Конечно, во многих случаях мы не можем непосредственно
измерить координаты движущегося тела в любой момент времени. Например, мы не
можем расположить линейку и расставить людей с часами вдоль многокилометрового
пути движущегося мотоцикла, плывущего по морю корабля, летящего самолёта или
космической ракеты, движение которых мы наблюдаем. Тем не менее знание законов
физики позволяет нам определить координаты тел, движущихся в различных системах
отсчёта.

А теперь давайте решим с вами одну небольшую задачку. Можно
ли принять Землю за материальную точку при расчёте: расстояния от Земли до
Солнца; пути, пройденного Землёй по орбите вокруг Солнца за месяц; длины
экватора и скорости движения Земли по орбите вокруг Солнца?

Решение этой задачи не сложное. Здесь главное вспомнить, в
каких случаях тело можно принимать за материальную точку, а в каких нет. И так,
тело можно принять за материальную точку, если тело движется поступательно;
если размеры тела много меньше расстояния, которое оно проходит; и, если
размеры тела много меньше расстояния до тела отсчёта.

Рассмотрим случай а) более подробно. Для это проверим
выполнение выше названных условий. Согласно первому условию, тело должно
двигаться поступательно. Для нашего случая он не выполняется, так как о
движении Земли в условии задачи ничего не говорится.

Второе условие материальной точки также не выполняется, так
как мы не знаем расстояние, пройденное Землёй.

По третьему условию размеры тела должны быть намного меньше
расстояния до тела отсчёта. В нашем случае, тело отсчёта — это Солнце. Среднее
расстояние от Земли до Солнца составляет 149,6 миллионов километров, а средний
радиус нашей планеты всего 6371 километр, что, конечно же, намного меньше
среднего расстояния до Солнца.

Значит, в примере а) Землю можно принять за материальную
точку, так как выполняется третье условие.

Далее рассуждая аналогично получим, что в примере б) Землю
можно принять за материальную точку, так как её размеры много меньше расстояния,
которое она проходит по орбите за месяц.

В примере в) Землю нельзя считать материальной точкой, так
как при расчёте длины экватора Земли нельзя пренебречь её размерами.

И наконец в примере г) Землю можно считать материальной
точкой, так как размеры Земли во много раз меньше среднего расстояния до
Солнца.

Оцените статью
Добавить комментарий