Многочлен и его стандартный видплан-конспект урока по алгебре (7 класс) по теме

Похоже, вы используете . Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Многочлен и его стандартный вид Урок алгебры в 7А классе Лучинина Н.А.

Сегодня здесь затеи и задачи, Смех и шутки не для нас! Пожелаем всем удачи – За работу, в добрый час!

Одночлен – это сумма чисел, переменных и их степеней.

Одночлен – это произведение чисел, переменных и их степеней.

Задание № 1. 3x 2 z; ab; 5; aba 2 ; c; 5x 2 +y; 6x4y. Назовите одночлены:

1 столбик 2 столбик 3x 2 z 5 c ab aba 2 6x4y Почему выбранные вами одночлены записаны в два столбика?

Установите соответствие x 5 yx 8 -5а 3 b -5a 2 2ab x 3 y 4 y 8 x 2x 3 3x 6х 4 х 4 у 12 -10а 3 b х 13 у ух 4

Слагаемые , имеющие одинаковые коэффициенты, но разную буквенную часть, называются подобными .

Слагаемые , имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными .

13+6a+5a+(- 4) 10a-b+2a-9b 7x 2 +6y+7x 2 -8y+x -2x 2 -3y+4x + 6x 2 -9 = 11a+9 ; =12a-10b ; =14x 2 -2y+x ; =4x 2 -3y+4x-9 . Задание № 3. Приведите подобные слагаемые:

1. Определение многочлена 2. Стандартный вид многочлена 3. Степень многочлена

Многочлен – это сумма одночленов. Например, 4а b + 3,2 bc –7,6 d

Алгоритм приведения многочлена к стандартному виду Все одночлены, входящие в многочлен, записать в стандартном виде. Привести подобные члены многочлена.

Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая степень входящего в него одночлена.

3х 2 ∙6у -5х 2 ∙7у +ху= = -17 х 2 у +ху

Закрепление материала Устно: № 24.1 – 24.3, 24.6 Письменно: № 24.4; 24.7( в,г ); 24.8 ( в,г ); 24.10 ( в,г ); 24.14 Дома: 24.5, 24.15

Экспресс – опрос. Записан ли многочлен в стандартном виде Да __ Нет ^

Ключ к графическому диктанту 1 вариант – ^-^-^ 2 вариант ^–^-^ Критерии оценки 5-6 совпадений – «+» 0 – 4 совпадения – «-»

Спасибо за урок!

· 
ввести понятие «многочлен»;

· 
ввести понятия «многочлен стандартного вида», «степень многочлена».

Прежде,
чем приступить к изучению нового материала, вспомним,

А
теперь посмотрите на выражение

Такое
выражение называют многочленом.

Многочленом
называется сумма одночленов.

Многочленом
является любой одночлен. Число 0 называется нулевым
многочленом.

Теперь
давайте рассмотрим следующий многочлен

Приведём
подобные слагаемые. Имеем:

Получили
многочлен, у которого нет подобных слагаемых, и каждый его член записан в
стандартном виде. Такой многочлен называется многочленом стандартного вида.

Многочленом
стандартного вида называется многочлен, все члены которого
имеют стандартный вид и среди них нет подобных.

Также
отметим, что если многочлен стандартного вида состоит из двух слагаемых, то его
называют двучленом. Если же многочлен состоит из трёх членов, то – трёхчленом.

Составляющие
его одночлены имеют вторую степень, первую и нулевую. Наибольшая из степеней
равна двум, поэтому говорят, что это многочлен второй степени.

Степенью
многочлена называется наибольшая из степеней одночленов, из
которых он составлен, когда записан в стандартном виде.

А
вот степень нулевого многочлена не определена.

Давайте,
для закрепления нового материала выполним упражнение.

не является многочленом.

— одночлены, входящие в его состав.

состоит из трёх членов:

— многочлен, состоящий из двух членов.— многочлен, состоящий из трёх членов.

Каждый член многочлена, как любой одночлен, имеет коэффициент и степень. Коэффициент (1) можно не писать.

Удобнее выполнять действия с многочленами, записанными в .

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно:

1) каждый его член (одночлен) записать в стандартном виде;

2) сложить подобные члены (одночлены), входящие в его состав. Эта операция называется приведением подобных членов.

Напомним, что одночлены называются подобными, если в стандартном виде имеют одинаковую буквенную часть. Подобные одночлены можно складывать, при этом нужно найти сумму их коэффициентов и дописать к ней общую буквенную часть.

запиши в стандартном виде многочлен

1) приведём каждый  одночлен, входящий в состав многочлена, к стандартному виду:

2) подчеркнём и сложим подобные члены:

3) теперь запишем одночлены по порядку (от большей степени к меньшей):

в стандартном виде равна самой большой из степеней одночленов в его составе.

Какова степень многочлена

Сначала найдём степень каждого его члена.

Многочлен имеет четвёртую степень.

Определение многочлена

Тему многочленов начинают изучать на уроках математики в седьмом классе средней школы.

Многочлен в алгебре является суммой одночленов.

Свободный член многочлена — обычное число в составе многочлена.

Если рассмотреть многочлен 3x + 5y + z + 7, можно определить, что 7 представляет собой свободный член. Свободный член легко найти, так как он освобожден от буквенной части. Многочлен также может состоять из одних свободных членов, то есть в основном имеет вид числового выражения.

Виды многочленов

Существуют разные виды многочленов:

• одночлен;
• двучлен;
• трехчлен;
• многочлен, который имеет более трех слагаемых.

Одночлен является многочленом, который состоит из одного члена.

Двучленом называют многочлен, в состав которого включено два члена.

Трехчлен — многочлен с тремя членами.

Коэффициенты членов многочлена

Коэффициенты членов многочлена являются числами, которые записаны перед переменными множителями.

В том случае, когда число перед переменной отсутствует, коэффициент такого члена равен единице.

Здесь каждый из одночленов представлен в стандартном виде. Числа 2, 5, 18 являются коэффициентами членов этого многочлена.

Многочлен стандартного вида

Как и одночлен, многочлен можно записать в стандартном виде. Итогом преобразований является упрощенный многочлен, что существенно облегчает решение задач. В процессе требуется привести подобные слагаемые.

Подобные члены многочлена — подобные слагаемые в этом многочлене, обладающие идентичной буквенной частью.

Привести подобные члены многочлена — значит, привести подобные слагаемые в этом многочлене.

В качестве примера можно рассмотреть многочлен и привести его к стандартному виду:

Результатом действий является многочлен стандартного вида, то есть такой, в котором отсутствуют подобные члены.

Как и в случае с одночленом, многочлен характеризуется определенной степенью. Для того чтобы ее вычислить, нужно записать многочлен в стандартном виде. Далее требуется определить тот одночлен, который обладает максимальной степенью.

Применительно к предыдущему примеру, многочлен 2x+4xy2+x−xy2 был приведен к стандартному виду, то есть:

В этом многочлене есть два одночлена. Первый из них имеет степень 1, а второй — степень 3. Так как 3 является наибольшей степенью, можно заключить, что многочлен 3x+3xy2 определяется как многочлен третьей степени. В связи с тем, что рассматриваемый многочлен тождественно равен начальному многочлену 2x+4xy2+x−xy2, то и этот многочлен имеет третью степень.

Степень многочлена стандартного вида — наибольшая из всех степеней одночленов, которые входят в состав многочлена.

В некоторых задачах перед тем, как определить степень многочлена, необходимо привести к стандартному виду одночлены, входящие в его состав. Затем можно записать непосредственно сам многочлен в стандартном виде.

Заметим, что в состав данного многочлена входят одночлены, не приведенные к стандартному виду. На первом шаге следует привести эти одночлены:

Далее многочлен, который получился в результате, можно привести к стандартному виду путем приведения его подобных членов. Заметим, что 3×5 и − 5×5 являются подобными членами. Другие подобные члены отсутствуют. Таким образом:

Разберем другой пример:

Попробуем записать этот многочлен в стандартном виде. В первую очередь можно привести к стандартному виду одночлен 4cc. В результате:

Заметим, что после преобразований появились подобные члены, которые можно привести:

Примеры решения задач

Урок изучения нового материала

Учитель: Бикламбетова Р.А.

урок изучения нового материала.

ввести определение многочлена, стандартного вида многочлена

рассмотреть приведение подобных членов многочлена, как одно из действий с многочленами

способствовать развитию познавательного интереса учащихся к предмету

развитие у учащихся навыков быстрого мышления, умения анализировать, сопоставлять и делать выводы

создать условия для развития коммуникативных качеств учащихся и личностной рефлексии;

Изучив тему «Многочлен и его стандартный вид» учащиеся должны:

определение стандартного вида многочлена,

определение степени многочлена.

читать и различать многочлены,

приводить многочлен к стандартному виду,

определять степень многочлена,

приводить подобные члены многочлена,

анализировать полученные результаты.

• Одночлен стандартного вида

• Подобные одночлены

• Многочлен стандартного вида

Сообщение темы и цели урока                С

Повторение материала по теме «Одночлены. Арифметические операции над ними»

Что называется одночленом?

Какие одночлены называются одночленами стандартного вида?

Назовите одночлены стандартного вида.

Какие арифметические действия мы можем производить с одночленами?

2.1. Выполните действия:                                                 С

2.2. Найдите произведение данных одночленов                         С

∙ (- 3

2.3. Возведите одночлен в степень                                С

2.4. Выполните деление одночлена на одночлен                 С

Работа по теме урока

Если мы из одночленов 2составим сумму, то мы получим выражение

которое будет называться многочленом.                                        С

Определение многочлена с. 102 учебника.                                 С

МНОГОЧЛЕНОМ называют сумму одночленов.

Дается понятие многочлена стандартного вида (полинома)

Посмотрите внимательно на этот многочлен и скажите, нет ли в нем подобных одночленов?

(– 3a²b и 5a²b)

Подчеркнем их одинаковыми чертами и упростим (т.е. приведем подобные слагаемые)

Получили многочлен                                                         С

Какой же тогда многочлен называют многочленом стандартного вида?

Многочленом стандартного вида называют многочлен, не содержащий подобных одночленов, каждый из которых является одночленом стандартного вида.

. С этой буквы начинается греческое слово  («многий», «многочисленный»). Многочлены в математике также называют полиномами.

a + b                        двучлен

a + b – bc                 трехчлен

Запись на доске

6a – 2

Как вы думаете, что это за выражение?

Нравится ли вам такая запись? Почему?

Каким одночленом можно заменить каждое произведение одночленов?

6a = 2

Назовите подобные одночлены

Сложим подобные одночлены между собой (приведем подобные слагаемые).

Получим многочлен 4, который является многочленом стандартного вида.

На доске получилась следующая запись

Упражнение для мобилизации внимания

И.п.- стоя, руки вдоль туловища.

– правую руку на пояс,

– левую руку на пояс,

– правую руку на плечо,

– левую руку на плечо,

– правую руку вверх,

– левую руку вверх,

– хлопки руками над головой,

– опустить левую руку на плечо,

– хлопки руками по бёдрам.

Повторить 2 раза.

1.1. Какие выражения являются многочленами:                         С

5                 в) 4

Назовите двучлены (трехчлены)

Даны одночлены: 5;                 – 2,5

Составьте из них:

а) многочлен, в котором нет подобных членов

б) многочлен, в котором есть подобные члены

два многочлена, в каждом из которых нет подобных членов, используя при этом все одночлены

г) выражения, которые не являются многочленами

№ 24.6 – 24.8 () потоком у доски 6 человек

Самостоятельная работа (тесты)

Многочлен, состоящий из двух членов – это ____________________________________________

Многочлен, состоящий из трех членов – это _______________________________________________

Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, не являющихся подобными друг другу, называется _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно ____________________________________

Многочлены в математике называют _____________________________________________________

1) Даны одночлены:

Выделите многочлен, в котором нет подобных одночленов:

Составьте из них еще два многочлена, в котором нет подобных членов:

2) Представьте в стандартном виде многочлен: – 8

3) Представьте в стандартном виде многочлен: 4

Дополнительное задание: № 24.11- 24.12 а-б)

Чему мы научились на уроке?

Что такое многочлен?

Какой многочлен называют многочленом стандартного вида?

Как в математике называют многочлены?

Что такое двучлен (трехчлен)?

§ 24, выучить определения, № 24.6 в-г, 24.7 в-г, 24.8 в-г)

(Доп: № 24.10 а,в, 24.18 в,г)

«Каргальская основная общеобразовательная школа»

УРОК алгебры в 7 классе по теме:

“МНОГОЧЛЕН И ЕГО СТАНДАРТНЫЙ ВИД”

Учитель: Дергачева Александра Семеновна

«Многочлен и его стандартный вид»     7 класс.

: ввести определение многочлена, степени многочлена, понятие подобных членов многочлена и их приведения; научить приводить подобные слагаемые-члены многочлена.

Пополнение и  углубление  знаний учащихся о выражениях.

Создание условий для проверки умений и навыков ранее изученного материала в стандартных и нестандартных условиях.

Воспитание интереса к математике; позитивного отношения к учебе.

: карточки (приложение)

• Актуализация опорных знаний.
• Изучение нового материала.
• Проверка усвоения материала.

Сегодня на уроке мы будем изучать новую тему. Это своего рода строительство дома. А наши знания  – улицы таких домов. Чтоб дом стоял прочно, надо с умом выбрать для него место.

Когда – то,  в давние времена царь очень хотел построить замок в конкретном месте. Но стоило возвести стены, как замок по непонятной причине начинал разваливаться. Сначала думали, что в этом виновны архитекторы. Но, даже привезя архитектора из- за моря, царь не исправил положения. Он был просто в негодовании. К нему на приём стал проситься отец одного из строителей. Его пустили, потому что он обещал сказать причину крушения замка. Оказалось, что в том месте течёт маленький, почти незаметный ручеёк. Но когда приходит весна, ручеёк набирает сил и размывает фундамент замка. Замок начинает оседать и разваливаться прямо на глазах. Царь наградил старика и отпустил архитектора и рабочих. А замок построили на другом месте. С этого момента прежде, чем строить здание, специально подбирают землю для строительства.

Вот и у нас в обучении темы не перескакивают с места на место, а изучаются в строгом порядке. Изучение предметов вводится постепенно. Ещё в прошлом году у вас не было каких – то предметов, например физики, а в следующем появятся новые – химия.

А уж от чего зависит само строительство дома (знаний), мы разберём по ходу урока.

II.Актуализация опорных знаний.

1.Блиц – опрос

Для начала надо приготовиться к строительству. Подготовить инструмент, которым будем пользоваться в течении всей стройки. Для нас это знания и умения, которые вы получили на предыдущих уроках. И так проверим эти знания. Проведём блиц- опрос.

• Дайте определение степени с натуральным показателем.
• Сформулируйте свойство умножения степеней с одинаковым основанием.
• Сформулируйте свойство деления степеней с одинаковым основанием.
• Сформулируйте свойство возведения степени в степень.
• Дайте определение одночлена.
• Что называется коэффициентом одночлена.
• Что называется степенью одночлена.
• Как умножаются одночлены?
• Как  возвести одночлен в степень?
• Какой вид одночлена называют стандартным?

Кто это знает хорошо, у того следующая тема не вызовет затруднений. А значит, дом знаний будет стоять долго и прочно. А вот кто что-то не выучил, не усвоил, у того дом выйдет кособоким и неизвестно, сколько времени простоит. Для того чтобы проверить готовность фундамента, выполним следующие задания:

(задания написаны на доске и карточках у учащихся)

решают в тетрадях, затем объясняют решение у доски, комментируя  использованные свойства

1.Найдите  значение  выражения:

2.Упростите  выражения, выполняя  возведение  в  степень

Теперь возводим стены. Стены соединяют пол и крышу,( старую тему с новой). Для того, чтобы возвести стены нашего дома, проведём следующую работу.

3.Представьте в виде одночлена стандартного вида, укажите его коэффициент:

(проверяют, объясняя полученный результат)

III.  Изучение нового материала.

Для крыши сначала нужны балки. Балки – это опора для всей крыши. И я, как прораб, буду класть балки, т. е. объясню вам новую тему. Потом будет каркас, который будете делать вы. Будете решать и разбирать примеры.

Итак, тема нашего урока «Многочлен и его стандартный вид». (записывают: ученики в тетради, учитель – на доске).

Цель урока: ввести определение многочлена, степени многочлена, понятие подобных членов многочлена и их приведения; научить приводить подобные слагаемые-члены многочлена.

представляет собой сумму одночленов  . Такие выражения называются

многочленами не являются, так как состоят не только из одночленов, содержат и деление.

–        Приведите примеры   многочленов.( приводят свои примеры)

Итак: многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, входящие в многочлен, называются членами многочлена.

Многочлен, состоящий из двух одночленов, называется

Многочлен, состоящий из трёх одночленов, называется

Одночлен считают многочленом,  состоящим  из одного члена.

являются подобными слагаемыми, так как имеют одинаковую буквенную часть, подобными слагаемыми будут 2 и -7, не имеющие буквенной части.

Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочленаприведение подобных слагаемых в многочлене – приведением подобных членов

Приведем подобные члены в многочлене :

является одночленом стандартного вида, и этот многочлен не содержит подобных членов.

Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.

Пример 2. Выясним, какова степень многочлена.

+8ab – 2a

Для этого надо привести его к стандартному виду:

+8ab+5b =  8ab+5b

Степень многочлена  8ab+5bравна 2, поэтому степень многочлена 3a+8ab – 2a+5b также равна 2.

Закрепление изученного   нового материала.

Итак, мы видим, что наш дом готов. Но его надо оформить, вставить окна и двери, сделать крыльцо. Может быть, как – то украсить. Это уже делается в новом доме, значит, с использованием новой темы.

– 5у+ 11                            -6х;  – 5у;  11

ab + abb + 8a – 7b             ab ; abb ; 8a ; – 7b

№568 ( выполняют на доске и в тетрадях)

a) 10x- 8xy-3xy=10x-11xy;

– 17 -3a- a – 80 – a – 17 – 80 = -a- a – 97 ;

№570 ( a, б,в) (выполняют в тетради самостоятельно, затем решение разбирается на доске)

= – 4p

– a = 3a

+ 7 -2x+ 7= x

Если х=-10, то x + 7= (-10) + 7 = 107.

Если х= -2, у= – 1, то х+ у= (-2)-1= 4*1- 1=3.

V.Проверка усвоения материала.

Для проверки качества постройки дома, проведем предварительную экспертизу

(как мы усвоили новый материал)

1. Дайте определение многочлена и приведите пример.

2. Как определить степень многочлена?

3. Как привести многочлен к стандартному виду?

(привести члены многочлена к стандартному виду и привести подобные)

VI. Домашнее задание.

П.25.(определение многочлена, его степени, как привести многочлен к стандартному виду) №569; 571(б) 573(а)

VII. Итог урока.

Тема лёгкая, мне всё понятно.

Было  трудно понять материал.

Я не понял изученного материала.

Как вы увидели на этом уроке, каждая новая тема – это здание, которое нужно строить капитально, на годы. Иначе все ваши новостройки через непродолжительное время рухнут и не оставят после себя и следа. А каждому человеку приятно жить в городе или селе, в котором все здания красивы прочны. Всё зависит только от вас.

Что такое многочлен

Начать изучение темы умножения многочленов стоит с разбора основных терминов и их особенностей, которые также пригодятся при делении.

Одночленом называют произведение, компонентами которого являются числа, переменные и степени.

Многочлен является выражением в алгебре, составленным в форме суммы или разности нескольких одночленов.

Члены многочлена — одночлены, которые входят в состав этого многочлена.

Двучлен — многочлен, состоящий из пары членов.

Трехчлен — многочлен, состоящий из трех членов.

Свободный член многочлена — обычное число без буквенной части, которое входит в состав многочлена.

3x + 5y + z + 7 — многочлен, где 7 — свободный член.

В качестве многочленов можно представить любые выражения с числами.

Стандартный вид многочлена является представлением многочлена, как суммы из одночленов стандартного вида, в которой отсутствуют подобные одночлены.

Алгоритм приведения многочлена в стандартный вид:

• Приведение всех его одночленов в стандартный вид.
• Приведение подобных членов.

Подобные слагаемые, входящие в состав многочлена, носят название подобных членов многочлена. Под приведением подобных слагаемых, из которых состоит многочлен, понимают приведение подобных членов этого многочлена, обладающих по определению идентичной буквенной составляющей.

В качестве тренировки попробуем привести многочлен к стандартному виду:

В первую очередь следует привести подобные члены, роль которых в данном примере отведена 2х и х,4xy2 и -xy2:

В полученном выражении отсутствуют подобные члены. Таким образом, удалось получить многочлен стандартного вида:

Многочлены характеризуются определенной степенью. Сформулируем алгоритм. В процессе определения степени одночлена выполняют следующие действия:

• приведение многочлена к стандартному виду;
• определение одночлена с большей степенью по сравнению с остальными одночленами.

Ранее был преобразован многочлен из 2х и х,4xy2 и -xy2. В результате получили многочлен стандартного вида 3x+3xy2. Первый одночлен обладает степенью 1, а второй — 2. Поэтому данный многочлен называют многочленом второй степени. Данная информация пригодится на уроках алгебры.

Степень многочлена стандартного вида — максимальная из имеющихся степеней одночленов, которые входят в состав данного многочлена.

В некоторых заданиях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены, а затем многочлен, из которых он состоит. К примеру, имеется многочлен:

На первом этапе следует привести к стандартному виду одночлены:

Полученный многочлен допустимо записать в стандартном виде с помощью приведения его подобных членов в уравнении:

На первом шаге приведем второй одночлен к стандартному виду. Получим:

Затем следует выполнить приведение подобных членов:

В результате можно записать многочлен в стандартном виде:

Особенности умножения многочлена на многочлен

Существуют принципы, согласно которым выполняют умножение одночленов, двучленов и трехчленов:

• (a+b)×(c+d)=ac+ad+bc+bd.
• (a+b+c)×(x+y)=ax+bx+cx+ay+by+cy.
• (a+b+c)2=a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc.

Умножение многочленов предполагает умножение каждого члена, который входит в состав одного многочлена, на каждый член из членов, принадлежащих второму многочлену. Далее полученные результаты необходимо суммировать и привести полученное выражение к многочлену стандартного вида при наличии такой возможности.

Рассмотрим правило на практическом примере:

Согласно алгоритму, требуется каждый из членов первого многочлена (х+3) перемножить со всеми членами, входящими в состав второго многочлена. Целесообразно обратиться в процессе вычислений к распределительному закону умножения:

Применительно к этой задаче, роль переменной с играет многочлен (у+4), который включает в себя пару членов у и 4. Сначала найдем произведение (х+3) и у, далее умножим (х+3) на 4. Для исключения ошибок предположим, что член 4 временно отсутствует:

Затем найдем произведение (х+3) и 4. Поступим аналогично с предыдущим расчетом:

Выполним вычисления, продолжая расчеты в начальном выражении:

Разберем второй способ выполнения умножения многочленов. В процессе попробуем каждый их членов одного многочлена перемножить с другим многочленом полностью, а затем, суммировать полученные выражения:

Результат преобразований выглядит, как произведение одночлена и многочлена. Вычислим:

Результат получился такой же, как в решении задачи первым способом. Отличается лишь порядок, в котором расположены члены.

У арифметической операции умножения многочлена на многочлен имеется геометрический смысл. Представим себе некий прямоугольник с длиной а и шириной b:

Найти площадь этой геометрической фигуры можно путем умножения его сторон:

При увеличении сторон прямоугольника на х и у получим:

После того как стороны достроены, следует выделить цветом полученные прямоугольники:

Далее определим площадь для нового прямоугольника. Целесообразно рассчитать площадь каждого маленького прямоугольника и суммировать полученные результаты:

Данное выражение аналогично расчету площади прямоугольника, когда длину умножают на ширину:

В результате получилось справедливое равенство:

Рассмотрим пример, в котором стороны прямоугольника имеют числовые значения. Предположим, что длина геометрической фигуры составляет 6 см, ширина равна 3 см. В дальнейшем увеличим длину прямоугольника на 2 см, а к ширине прибавим 1 см.

После построения дополнительных прямоугольников выделим их цветом для наглядности:

Общая площадь прямоугольника составит:

Если пересчитать по клеточкам на рисунке, то получим 32 квадратных сантиметра:

Правило и алгоритм умножения многочлена на многочлен

Вывести правило, согласно которому умножают многочлены, можно с помощью наглядного примера. Представим, что необходимо перемножить пару многочленов:

Введем х, чтобы обозначить (c + d). Получим:

Умножим многочлен на одночлен:

Заменим обратно х на многочлен и выполним преобразования:

Таким образом, получилась формула, по которой умножают один многочлен на другой многочлен:

Заметим, что результатом произведения многочленов в любом случае является многочлен.

При умножении одного многочлена на другой многочлен следует каждый из членов первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена, а полученные результаты суммировать.

Стандартный алгоритм умножения многочлена на многочлен:

• Найти произведения первого многочлена и каждого члена второго многочлена. Перемножить второй член первого многочлена с каждым членом второго многочлена и так далее.
• Вычислить сумму полученных в результате произведений.
• Записать сумму, которая получилась в итоге, в виде стандартного многочлена.

Как привести многочлен к стандартному виду

• Привести каждый одночлен многочлена к стандартному виду.
• Выполнить приведение подобных одночленов.

Рассмотрим пример. Привести к стандартному виду многочлен:

3ab + 2 · 3с2 + 2ab − 8сс + xy =

Вначале приведём к стандартному виду все одночлены внутри многочлена.

3ab + 2 · 3с2 + 2ab − 8сс + xy
= 3ab + 6с2 + 2ab − 8 с1 + 1 + xy =
= 3ab + 6с2 + 2ab − 8с2 + xy

Приведение подобных в многочлене

Теперь приведём подобные. Подобные члены подчеркнем одинаковым образом и разместим их друг за другом.
Помните, что при приведении одночленов складываются и вычитаются только их числовые коэффициенты.

+

+
− + xy =

+
−
+

+ xy = 5ab −2c2 + xy

Запишем окончательное решение.

3ab + 2 · 3с2 + 2ab − 8сс + xy
= 3ab + 6с2 + 2ab − 8 с1 + 1 + xy =

= +

+
− + xy =

+
−
+

+ xy = 5ab −2c2 + xy

При раскрытии скобок не забывайте использовать
правило знаков.
При перемещении одночлена знак слева переносится вместе с ним.

Примеры приведения многочлена к стандартному виду

• 5a − 7b −
  (7a − 5b) = −
  − +
  = − −
  +
  = −2a − 2b
• 11a2 + 7a + 9a2 −5a =
  +
  +
  −
  =

  + +
  −
  = 20a2 + 2a

• 13ab − 0,2xy − 2a · 5b + 6x · 0,2y + a(−3)b
  =

  − −

  + +

  =

  −
  − − +
  =
  0 · ab + 1 · xy = 0 + xy = xy

Иногда приведение подобных в многочлене называют упрощением алгебраического выражения.

Стандартный вид многочлена

Прежде чем приводить многочлен к стандартному виду необходимо вспомнить,
что называют
подобными одночленами.

Подобными одночленами называют одночлены, у которых одинаковый состав букв и их степеней.

Примеры подобных одночленов:
ab и 2ab,  −3c2d и c2d.

Также вспомните, как
привести одночлены к стандартному виду
.