На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.
Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.
На рисунке: основание прямоугольного параллелепипеда ABCD; боковое ребро АА1 перпендикулярно АВСD; угол BAD = 90°
Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.
На этом уроке мы узнаем, что такое объём. Научимся
находить объём прямоугольного параллелепипеда.
Для начала давайте вернёмся к предыдущим урокам. Мы
с вами изучали фигуры, которые расположены в плоскости – это точка, прямая,
отрезок, прямоугольник и т.д.. Такие фигуры называют плоскими.
Также мы с вами уже успели познакомиться с прямоугольным
параллелепипедом.
Скажите, чем он отличается, например, от
прямоугольника? Правильно! Прямоугольный параллелепипед имеет 3 измерения. Такие фигуры как прямоугольный
параллелепипед, пирамида, шар и т.д. называют объёмными.
Значит, мы с вами можем найти объём тела. А теперь
давайте разберёмся, как же мы будем его вычислять.
Чтобы измерить объём, надо выбрать единицу
измерения объёмов.
Куб, ребро которого равно единице измерения длины, называется
единичным.
Объём единичного куба принимается за единицу
измерения объёмов.
Точно также определяются и
Легко заметить, что название единицы объёма
получается из названия единицы длины присоединением прилагательного «кубический».
Измерить объём тела
означает найти число, которое показывает, сколько единичных кубов содержится в
этом теле.
Проще всего измерить объём прямоугольного
параллелепипеда.
Найдём правило вычисления объёма прямоугольного
параллелепипеда.
Пусть у нас есть прямоугольный параллелепипед с
измерениями: длина 5 см, ширина 2 см и высота 3 см.
Посчитаем, сколько единичных кубов вмещается в нём.
Нижняя грань параллелепипеда имеет длину 5 см
и ширину 2 см. Поэтому на ней можно
расположить 5 ∙ 2 единичных кубов.
Чтобы заполнить весь прямоугольный параллелепипед, нужно вложить 3 таких слоя, т.к. высота параллелепипеда 3 см.
Значит, всего таких кубов, которые вместятся в этом
параллелепипеде, будет равно
Запомните,
объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его
измерений, т.е. длины, ширины и высоты.
Если обозначить объем буквой V, а его измерения: длину – а, ширину – b, высоту – с,
то это утверждение можно записать формулой:
При вычислениях нужно обязательно обращать внимание,
чтобы все измерения прямоугольного параллелепипеда были выражены в одинаковых
единицах.
Если S – площадь основания прямоугольного
параллелепипеда, следовательно,
Тогда объём прямоугольного параллелепипеда можно
переписать так:
где с – высота параллелепипеда.
Запомните ещё одно утверждение: объём
прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания и высоты.
Найдём правило вычисления объёма куба с ребром а.
Значит, объём куба можно вычислить так
Итак, объём прямоугольного параллелепипеда равен
произведению трёх его измерений, т.е. длины, ширины и высоты, V
= a
∙
b
∙
c. И ещё объём
прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания и высоты,
т.е. V = S
∙
c.
– Паша, а ты когда-нибудь собирал кубик Рубика? – спросил Саша.
– Конечно! И не один раз, – ответил Паша. –
Кстати, кубик Рубика отличная игрушка-головоломка,
которая развивает логическое мышление.
– Да, мне тоже он очень нравится! – продолжил
Саша. – Я вот сегодня собрал кубик Рубика за 15 минут.
Пока собирал, задумался, а сколько всего маленьких кубиков в нём?
– И в правду, – задумался Паша, – и сколько
же их там?
– Не знаю! – ответил Саша. – Сколько ни
пытался их пересчитать, всё сбивался. В общем, так и не получилось у меня их
сосчитать.
– А давай спросим у Электроши!
– предложил Паша. – Он точно знает, как их посчитать.
– Ребята, прежде чем я вам расскажу о
прямоугольном параллелепипеде, давайте немного разомнёмся и выполним устные
задания, – предложил Электроша.
– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас
должно было получиться!
– А теперь вернёмся к вашему вопросу, –
продолжил Электроша. – Только сначала ответьте мне на
вопрос: какую форму имеет кубик Рубика?
– Кубик Рубика
имеет форму прямоугольного параллелепипеда, а точнее – форму куба, – ответили
мальчишки.
– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Важным свойством любого геометрического тела
является его вместимость, то есть объём фигуры. Величина объёма
даёт нам представление о том, какую часть пространства занимает интересующий
нас объект.
Кстати, с такой величиной, как объём, мы
очень часто встречаемся в нашей жизни. Может, вы сможете привести примеры,
когда мы интересуемся объёмом? – спросил у ребят Электроша.
– Например, объём коробки с соком, объём
бассейна, объём школьного кабинета, – начал Саша.
– Ещё нам нужно знать объём топливного бака
машины, показатели потребления газа или воды на счётчиках, – продолжил Паша.
– Хорошие примеры! – похвалил ребят Электроша. – А как вы думаете, что нужно знать для того,
чтобы измерить объём? – спросил у ребят Электроша.
– Наверное, нужно знать единицу измерения
объёмов, – предположили мальчишки.
– Правильно! – подтвердил Электроша.
– Напомню, что для измерения отрезков мы вводили единичный отрезок, для
измерения углов – единичный угол, а для измерения площадей фигур – единичный
квадрат.
Для измерения объёмов также вводятся единицы
измерения. За единицу измерения объёма выбирают куб, ребро которого равно
единичному отрезку. Такой куб называют единичным.
Например, объём куба с ребром 1 миллиметр
называют кубическим миллиметром. Пишут так:
Объём куба с ребром 1 сантиметр называют кубическим
сантиметром. Пишут так:
Объём куба с ребром 1 дециметр называют кубическим
дециметром. Пишут так:
Всем хорошо известна и такая единица объёма,
как 1 литр. Пишут так
Объём куба с ребром 1 метр называют кубическим
метром. Пишут так:
Объём куба с ребром 1 километр называют кубическим
километром. Пишут так:
Легко заметить, что название единицы объёма
получается из названия единицы длины присоединением прилагательного
«кубический».
– Как вы думаете, что значит измерить объём
фигуры? – спросил у ребят Электроша.
– Измерить
объём фигуры – значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней
помещается, –
сказали мальчишки.
– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Проще всего измерить объём прямоугольного
параллелепипеда. Чем мы сейчас и займёмся.
– Посмотрите: на листке бумаги изображён
прямоугольный параллелепипед со следующими измерениями: длина 5 сантиметров,
ширина 2 сантиметра и высота 3 сантиметра. Давайте посчитаем, сколько единичных
кубов может в нём поместиться.
– Начнём укладывать кубики на дно
прямоугольного параллелепипеда, – предложили мальчишки. – Итак, сначала положим
на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 сантиметр вдоль длинной стены.
Видим: поместилось 5 таких кубиков. Затем вдоль этих кубиков уложим ещё 1 ряд.
Тоже получим ещё пять кубиков.
– Хорошо! – сказал Электроша.
– Тогда сколько всего кубиков у вас поместилось на дне прямоугольного
параллелепипеда?
– На дне параллелепипеда помещается слой из
единичных кубиков, то есть слой из 10 кубов.
– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – А чтобы заполнить
весь прямоугольный параллелепипед, сколько в него нужно вложить таких слоёв?
– Так как высота нашего параллелепипеда 3 сантиметра,
то в него вместится 3 слоя кубиков, в каждом из которых будет по 10 кубиков.
Тогда получается, что весь прямоугольный параллелепипед можно заполнить 30 кубиками.
– Всё правильно! – согласился Электроша. – Мы получили, что всего в нашем параллелепипеде
помещается
единичных кубов. Поэтому объём нашего параллелепипеда равен
– Электроша,
получается, что три измерения прямоугольного параллелепипеда позволяют
посчитать, сколько всего кубиков в нём поместится? – спросил Паша.
– Да, – ответил Электроша.
– Запомните! Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению
трёх его измерений.
Формулу для вычисления объёма прямоугольного
параллелепипеда в буквенном виде можно записать следующим образом:
– А теперь давайте решим одну задачку, –
предложил Электроша. – Определите объём блока бумаги,
если длина одного листа 20 миллиметров, ширина – 15 миллиметров, а всего в
блоке помещается 500 таких листов (считать толщину листа равной 1 миллиметру).
– Сначала вычислим площадь одного листа, –
сказал Паша, – она будет равна
– А потом площадь этого листа умножим на
количество листов, помещающихся в блоке, – продолжил Саша, – то есть
– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Обратите внимание: блок бумаги имеет форму
прямоугольного параллелепипеда. Значит, мы с вами сейчас нашли объём
параллелепипеда, но с помощью другой формулы. Запомните! Объём
прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
В буквенном виде эту формулу записывают так:
– А теперь давайте всё же вернёмся к вашему
первоначальному вопросу, – продолжил Электроша. – Вы
хотели выяснить, сколько кубиков содержится в кубике Рубика.
Мы с вами уже определили, что эта замечательная игрушка имеет форму прямоугольного
параллелепипеда, а если быть точнее, то форму куба. Может, вы уже сможете
посчитать количество маленьких кубиков, из которых состоит кубик Рубика?
– Так, – начал рассуждать Саша, – длина
нашего кубика Рубика состоит из 3 маленьких кубиков, точно
такие же ширина и высота. Значит, в нашем кубике Рубика
помещается
– Всё правильно! – сказал Электроша.
– Изначально кубик Рубика состоял из 27 связных между
собой разноцветных кубиков, но затем его конструкция упростилась до набора из 26
маленьких кубиков, а вместо внутреннего кубика разместился хитроумный
скрепляющий механизм. Кстати, а вы знаете кем, как и когда была придумана эта
замечательная игрушка? – спросил Электроша.
– Не знаем, – ответили мальчишки.
– Скажу вам только, что знаменитый кубик Рубика придумал венгерский преподаватель архитектуры Эрно Рубик в 1974 году.
А вот уже историю его создания и
усовершенствования вы можете изучить на досуге.
– А теперь смотрите, мы с вами определили,
что наш кубик Рубика имеет форму куба. Поскольку у
куба все рёбра равны, то его объём вычисляют по формуле:
А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы
всё поняли, и выполним несколько заданий.
Задание первое: объём класса 96 кубических
метров. Найдите высоту стены, если площадь пола 32 квадратных метра.
Решение: класс имеет форму прямоугольного
параллелепипеда. Нам известна площадь пола, то есть площадь основания
прямоугольного параллелепипеда. Значит, можем воспользоваться формулой для
вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и
высоту:
. Выразим из этой формулы высоту:
. И подставим в получившуюся формулу объём класса и площадь пола:
Следующее задание: длина аквариума 80 сантиметров,
ширина 45 сантиметров, высота 65 сантиметров. Сколько литров воды нужно налить,
чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 5 сантиметров?
Решение: высота нашего аквариума 65
сантиметров, а воду нужно налить так, чтобы её уровень был ниже верхнего края
аквариума на 5 сантиметров. Значит, от высоты аквариума отнимем 5 сантиметров:
. Получим, что высота уровня воды равна 60 сантиметрам. Воспользуемся
формулой для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда:
. Получим, что в аквариум нужно налить
(см3). Переведём в литры. Мы знаем, что
дм3 , а значит, равен
см3 . Тогда получаем, что в
аквариум нужно налить
Объем прямоугольного параллелепипеда
Параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом.
Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.
Формула объема прямоугольного параллелепипедаЧтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты:V = a × b × h
Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.
Пример 1. Чему равен объем параллелепипеда со сторонами 9 см, 6 см, 3 см.
a = 9 см
b = 6 см
h = 3 см
V = 9 × 6 × 3 = 162 см3.
Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен 162 см3.
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.V = Sосн × h
Из этого следствия выведем формулу нахождения площади основания параллелепипеда.
Sосн = V : h
Пример 2. Найдите площадь основания параллелепипеда, если его объем равен 96 см3, а высота 8 см.
V = 96 см3
h = 8 см
Sосн = 82 см3 : 8 см = 12 см2.
Ответ: площадь основания параллелепипеда равна 12 см2.
Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart поможет быстрее разобраться в теме и правильно решать задачки!
Диагонали прямоугольного параллелепипеда
Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.
Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор
Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать теорему.
Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.
d² = a² + b² + c²
Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора
d₁² = a² + b²
ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора
d² = d₁² + c² = a² + b² + c²
Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.
Вычисление площади
Как вы уже поняли, вычисление объёма параллелепипеда напрямую зависит от вычисления его площади. Давайте разберемся, сколько всего площадей можно найти в параллелепипеде.
Чтобы найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, вычислите по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем найдите сумму получившихся значений.
Так как противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда одинаковые, то получим формулу:
Чтобы вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда, сложите площадь боковой поверхности и две площади основания. Так как площади оснований у прямоугольного параллелепипеда одинаковые, то получим формулу:
Пример 3. Найдем площадь поверхности параллелепипеда, если длина основания равна 6 сантиметров, ширина — 4 см соответственно, а высота — 3 см.
Sп. п. = 2 (6 × 4 + 6 × 3 + 4 × 3) = 2 × (24 + 18 + 12) = 2 × 54 = 108 см2.
Ответ: площадь поверхности параллелепипеда — 108 см2.
Как видите, вычислить объём и найти площадь параллелепипеда совсем не трудно.
Определение, свойства и формулы
Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.
Каждая грань куба — это квадрат.
- В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
- Противолежащие грани параллельны друг другу.
- Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
- У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
- Диагонали куба равны.
- Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
- Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.
Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.
- Объем куба через длину ребра a
V = a3 - Площадь поверхности куба
S = 6a2 - Периметр куба
P = 12a
Самопроверка
Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!
Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.
Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.
Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
AC1= 15
C1D1 = 3
B1C1= 12
Вычислите длину ребра AA1.
Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:
- прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
- параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
- основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
- три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
- диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.
Задачи на самопроверку
Пользоваться онлайн-калькуляторами можно, когда вы уже натренировались в решении задачек и с закрытыми глазами можете вычислить объем любого параллелепипеда. Давайте разберем еще несколько примеров.
Задачка 1. Найдите объём параллелепипеда со сторонами 18 см, 10 см, 7 см.
a = 18 см
b = 10 см
h = 7 см
Формула нахождения объема параллелепипеда:
Подставляем наши числа:
V = 18 × 10 × 7 = 1260 см3.
Ответ: объём параллелепипеда равен 1260 см3.
Задачка 2. Найдите площадь основания параллелепипеда, если его объём равен 120 см3, а высота — 15 см.
V = 120 см
h = 15 см
Sосн = 120 см3: 15 см = 8 см2.
Ответ: площадь основания параллелепипеда равна 8 см2.
Задачка 3. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина основания равна 30 сантиметров, ширина равна 12 см, а высота равна 5 см.
Sп. п. = 2 (30 × 12 + 30 × 5 + 12 × 5) = 2 × (360 + 150 + 60) = 2 × 570 = 1140 см2.
Ответ: площадь полной поверхности параллелепипеда равна 1140 см2.
Пусть все необходимые формулы будут под рукой в нужный момент. Сохраняйте табличку-шпаргалку на гаджет или распечатайте ее и храните в учебнике.
Свойства прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.
- Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
- Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
- Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
- Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
- В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
- Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
- Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
Формулы прямоугольного параллелепипеда:
- Объем прямоугольного параллелепипеда
V = a · b · h
a — длина, b — ширина, h — высота - Площадь боковой поверхности
Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
Понятие объема
Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.
Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.
Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.
Объём измеряется в единицах измерения размера пространства, занимаемого телом, то есть в кубических метрах, кубических сантиметрах, кубических миллиметрах.
За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см3), кубический миллиметр (1 мм3), кубический метр (1 м3).
Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, сока в графине, земли в клумбе.
Два свойства объёмаУ равных тел равные объёмы. Например, у двух одинаковых пакетов сока равные объемы.Если геометрическое тело состоит из нескольких геометрических тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.
Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почтуРеши домашку по математике на 5.Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Решение задач
Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.
Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.
Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a – длина, b – ширина, c – высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.
Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) – сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) – суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) – сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) – сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.
Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X – сумма длин ребер).
Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.
D1B = √26
BB1 = 3
A1D1 = 4
Нужно найти длину ребра A1B1.
В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°.
По теореме Пифагора:
BD12 = DD12 + BD2
BD2 = BD12 – DD12
BD2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD2 = AD2 + AB2
AB2 = BD2 – AD2 = (√17)2 — 42 = 1
A1B1 = AB = 1.
Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
AB = 4
AD = 6
AA1= 5
Нужно найти отрезок BD1.
В треугольнике ADB угол A = 90°.
По теореме Пифагора:
BD2 = AB2+AD2
BD2 = 42 + 62 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD1 угол D = 90°.
BD12 = 52 + 25 = 77
BD1 = √77.
