Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей Реш еду ру

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!

  • Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
  • Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
  • Повысим успеваемость по школьным предметам
  • Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости:

Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая а перпендикулярна плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Представление о части прямой, перпендикулярной плоскости, дает прямая пересечения поверхностей стен комнаты по отношению к плоскости пола. Колонны здания расположены перпендикулярно по отношению к плоскости фундамента.

В дальнейшем понадобится следующая теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей прямой.

Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Пусть а и b — параллельные прямые и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Возьмем точку О на прямой b и через нее проведем прямую

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

, параллельную прямой с. Тогда угол между прямыми b и с равен углу между пересекающимися прямыми b и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

то угол между прямыми б и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

равен углу между прямыми а и с, т. е. равен

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Отсюда следует, что

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(рис. 144, а, б).

Теперь докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью плоскости.

Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Пусть прямые а и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

параллельны и прямая а перпендикулярна плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Докажем, что прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

также перпендикулярна плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Рассмотрим произвольную прямую

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(рис. 145, а., б). Так как

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Из теоремы 1 следует, что

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Таким образом, прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Теорема 3 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.

Пусть прямые а и b перпендикулярны плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(рис. 146, а). Докажем, что прямые а и b параллельны. Допустим, что прямая b не параллельна прямой а. Через произвольную точку О прямой b проведем прямую

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

параллельную прямой а. По теореме 2 прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

перпендикулярна плоскости а. Рассмотрим плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

, в которой лежат прямые b и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— прямая, по которой пересекаются плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(рис. 146, б). Тогда в плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

через точку О проходят две прямые b и

, перпендикулярные прямой I. Но это невозможно, следовательно, наше предположение неверно и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Для установления факта перпендикулярности прямой и плоскости достаточно проверить перпендикулярность прямой только двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Пусть прямая а перпендикулярна прямым р и q, лежащим в плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

и пересекающимся в точке О. Докажем, что прямая перпендикулярна плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

. Для этого нужно доказать, что прямая a перпендикулярна произвольной прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Рассмотрим первый случай, когда прямая а проходит через точку О. Проведем через точку О прямую

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

проходит через точку О, то в качестве

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

, возьмем прямую

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(указанные треугольники равны по двум катетам). Следовательно,

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— общая сторона). Из равенства этих треугольников следует, что

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Треугольники APL и BPL равны (так как

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— общая сторона, a

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Таким образом, треугольник ABL — равнобедренный, и его медиана OL является высотой, т. е. прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

перпендикулярна прямой а. Так как прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Прямая а перпендикулярна каждой прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Если прямая а не проходит через точку О, тогда проведем через точку О прямую

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Следовательно, по доказанному в первом случае

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Теперь по теореме 2 прямая а перпендикулярна плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Теорема 5 (о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

I. Докажем существование плоскости.

Пусть а — данная прямая, а точка О — произвольная точка пространства. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку О и перпендикулярная прямой а.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

проходящую через прямую а и точку О, и плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

2)В плоскости а через точку О проведем прямую

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

перпендикулярную прямой а. Пусть точка Е — точка пересечения прямых а и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

3)Через точку Е в плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

проходящая через прямые

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

является искомой. Действительно, прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

плоскости у, следовательно, она перпендикулярна плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

II. Докажем единственность плоскости.

Допустим, что через точку О проходит еще одна плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

перпендикулярная прямой а. Пусть плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

пересекает плоскость а по прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Следовательно, в плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

перпендикулярные прямой а. Как известно из планиметрии, этого быть не может. Таким образом, наше предположение неверно и плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

I.Докажем существование прямой.

Пусть дана плоскость а и точка О — произвольная точка пространства. Докажем, что существует прямая, проходящая через точку О и перпендикулярная плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

1)Проведем в плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

некоторую прямую а и рассмотрим плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

2)Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

, перпендикулярную прямой b. Прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— искомая прямая. Действительно, прямая

перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и b плоскости a (

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

по построению и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

), следовательно, она перпендикулярна плоскости а (см. рис. 149, а, б).

II.Докажем единственность плоскости.

Предположим, что через точку О проходит еще одна прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Тогда по теореме 3 прямые

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

параллельны, что невозможно, так как прямые

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

пересекаются в точке О. Таким образом, наше предположение неверно и через точку О проходит одна прямая, перпендикулярная плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Теорема 7(о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— прямоугольный параллелепипед (все его грани прямоугольники). Докажем, что

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Из условия следует, что

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Значит, по признаку перпендикулярности прямой плоскости прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

перпендикулярна плоскости, в которой лежит грань ABCD. Отсюда следует, что

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

В прямоугольном треугольнике

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

по теореме Пифагора

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(так как АС — диагональ прямоугольника ABCD). Следовательно,

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(рис. 150, а, б, в).

Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то эта прямая перпендикулярна и другой плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

параллельны, а прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

  • Рассмотрим пересекающиеся прямые а и b в плоскости
  • Через произвольную точку в плоскости проведем прямые параллельные прямым а и b соответственно. Эти прямые лежат в плоскости .
  • Прямая перпендикулярна прямым а и b (так как), следовательно, она перпендикулярна прямым (глава 3, § 1, теорема 1).
  • Таким образом, прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости следовательно, прямая

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка А не лежит на плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Проведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

и обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(рис. 163, а). Перпендикуляром., проведенным из точки А к плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

, называется отрезок АО, точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО — перпендикуляр к плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

а М — произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О, то отрезок AM называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

а точка М — основанием, наклонной. Отрезок ОМ — ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной AM на плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— прямая треугольная призма, то перпендикуляр, проведенный из точки

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

к плоскости ее основания АВС, есть ребро

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

отрезок СB — проекция наклонной

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

на плоскость АБС (рис. 163, б).

Теорема о трех перпендикулярах

Докажем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Пусть АО и AM — соответственно перпендикуляр и наклонная к плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

а — прямая, проведенная в плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

и перпендикулярная проекции ОМ (рис. 164, а, б). Докажем, что

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Прямая а перпендикулярна плоскости ОАМ, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым OA и ОМ этой плоскости (

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

). Следовательно, прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АОМ, т. е.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Теорема 2. Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость.

Пусть АО и AM — соответственно перпендикуляр и наклонная, проведенные из точки А к плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

прямая а лежит в плоскости а и перпендикулярна наклонной AM (см. рис. 164, а, б). Докажем, что прямая а перпендикулярна проекции ОМ. Прямая а перпендикулярна плоскости ОАМ, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым OA и AM этой плоскости (

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости АОМ, в частности

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Пример №1

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— куб, точка О — точка пересечения диагоналей грани

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

a F — середина ребра

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(так как OF — средняя линия треугольника

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(рис. 165, а, б).

Теорема 3. Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:

1)две наклонные, имеющие равные проекции, равны;

2)из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Пусть АО — перпендикуляр к плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

АВ и АС — наклонные к этой плоскости (рис. 166, о). По условию

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Из прямоугольных треугольников АОВ и АОС найдем

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Теорема доказана.
Пусть АО и AM — соответственно перпендикуляр и наклонная, проведенные из точки А к плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(см. рис. 166, а). В прямоугольном треугольнике АОМ сторона АО является катетом, а сторона AM — гипотенузой, следовательно,

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Значит, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

наименьшим является расстояние до основания О перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Определение. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.

Расстояние от точки А до прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

обозначается d (А,

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

) (читают: «Расстояние от точки А до прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— параллельные плоскости. Из любых точек А и Б плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

проведем к плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(рис. 166, б). Так как

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны, следовательно,

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Отсюда следует, что все точки плоскости а находятся на одном и том же расстоянии от плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

. Аналогично, все точки плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

находятся на том же расстоянии от плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Определение. Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(читают: «Расстояние между плоскостями

Аналогично, каждая точка прямой, параллельной некоторой плоскости, находится на одном и том же расстоянии от этой плоскости.

Определение. Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

Расстояние между прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

и параллельной ей плоскостью а обозначается d (

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

) (читают: «Расстояние между прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит единственная плоскость, параллельная другой.

Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

Расстояние между скрещивающимися прямыми а и b обозначается d (а, b) (читают: « Расстояние между прямыми а и b »).

Например, в прямоугольном параллелепипеде

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

расстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат грани

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

равно длине ребра AD, так как AD перпендикулярно каждой из указанных плоскостей. Расстояние от прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

до параллельной ей плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Пример №2

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— куб. Постройте основание перпендикуляра, проведенного из точки

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

на плоскость грани

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Аналогично, DB — проекция

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

на плоскость грани AJBCD и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Таким образом, прямая В,В перпендикулярна двум пересекающимся прямым

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

и АС плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

то искомое основание перпендикуляра есть точка пересечения прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— искомое основание перпендикуляра (точка X лежит в плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

так как она лежит на прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(рис. 167, в)).

Пример №3

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Найдите расстояние между прямыми

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

если длина ребра куба равна а.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

1)Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

и параллельную прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Такой плоскостью является плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

2)Расстояние между прямыми

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

есть расстояние от любой точки прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

до плоскости а. Отрезок

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— перпендикуляр, проведенный из точки

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

), следовательно, его длина а равна расстоянию между прямыми

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Угол между прямой и плоскостью

Пусть в пространстве даны плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

и прямая а. Ортогональной проекцией прямой а на плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

называется проекция этой прямой на плоскость а в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— куб, тогда ортогональной проекцией прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

а ортогональная проекция этой прямой на плоскость основания ABCD куба есть прямая RD (рис. 171, а).

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Дадим определение угла между прямой и плоскостью, при этом воспользуемся понятием ортогональной проекции прямой на плоскость.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то ее ортогональная проекция на эту плоскость есть точка пересечения этой прямой с плоскостью. В этом случае угол между прямой и плоскостью считается равным

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Рассмотрим понятие угла между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость.

Теорема. Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.

Пусть прямая а пересекает плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

в точке О,

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— ортогональная проекция прямой а на плоскость

, b — произвольная прямая, лежащая в плоскости а, проходящая через точку О и не совпадающая с прямой

. Обозначим буквой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

угол между прямыми а и

, а буквой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— угол между прямыми а и b. Докажем, что

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Если прямые а и b не перпендикулярны, то из точки

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

проведем перпендикуляры МА и MB к прямым

и b соответственно. Из прямоугольных треугольников МАО и МВО найдем

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Так как МА<МВ, то

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Пример №4

Дан тетраэдр DABC. Найдите косинус угла между прямой АВ и плоскостью ВВС.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

1)    Угол между прямой АВ и плоскостью DBC равен углу между прямой АВ и ортогональной проекцией этой прямой на плоскость DBC.

2)    Для построения ортогональной проекции прямой АВ на плоскость DBC достаточно построить основание перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой АВ к плоскости DBC (например, из точки А).

3)    Если точка О — основание перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости DBC, то

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

4)    Теперь найдем косинус угла между прямой АВ и плоскостью DBC. Пусть ребро тетраэдра равно а. В прямоугольном треугольнике

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Двугранный угол

Пусть прямая а лежит в плоскости, тогда можно указать две части этой плоскости, каждая из которых вместе с прямой а называется полуплоскостью. Прямая а называется граничной для каждой из полуплоскостей (рис. 174, а). Две полуплоскости с общей граничной прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

расположенные в пространстве, могут не лежать в одной плоскости (рис. 175, б).

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Полуплоскости называются гранями, двугранного угла, общая граничная прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

полуплоскостей называется ребром двугранного угла (см. рис. 174, б).

Если грани двугранного угла лежат в одной плоскости, то он называется развернутым..

Линейный угол двугранного угла

Для измерения двугранного угла вводится понятие его линейного угла. Пусть точка О лежит на ребре

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

двугранного угла (рис. 175, а). В каждой грани проведем лучи OA и ОВ перпендикулярно ребру

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Угол АОВ, сторонами которого служат лучи OA и ОВ, называется линейным утлом данного двугранного угла.

Определение. Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Пусть АОВ — линейный угол двугранного угла, ребро которого

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(см. рис. 175, а). Так как

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

то плоскость, в которой лежат лучи OA и ОБ, перпендикулярна прямой

Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Действительно, рассмотрим два линейных угла АОВ и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

. Лучи OA и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

, лежат в одной грани и перпендикулярны ребру

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(рис. 175, б). Отложим на лучах OA и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

, равные отрезки OF и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

соответственно, а на лучах ОВ и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

, равные отрезки ОТ и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

, соответственно. Так как

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— параллелограмм. Поэтому

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

,т. е. четырехугольник

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— параллелограмм. Следовательно,

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Таким образом, треугольники OFT и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

равны по трем сторонам, значит,

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

На рисунке 176, а, б изображены соответственно острый и тупой двугранные углы.

В дальнейшем под двугранным углом будем понимать всегда тот, линейный угол

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

которого удовлетворяет условию

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Вместо «двугранный угол, градусная мера которого равна

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

» можно говорить «двугранный угол, равный

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Двугранный угол, ребро которого есть прямая АВ, а гранями являются полуплоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(или TABE, если на разных его гранях отмечены точки T и E).
Рассмотрим примеры. Пусть

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— прямоугольный параллелепипед. Тогда

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

является линейным углом двугранного угла, ребро которого есть прямая DC, а его грани — полуплоскости, в которых лежат прямоугольники ABCD и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— прямой, следовательно, указанный двугранный угол прямой (рис. 177, а).

Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника.

Пусть DABC — правильная треугольная пирамида, а точка О — середина отрезка АС. Угол DOB есть линейный угол двугранного угла DACB, ребро которого — прямая АС, а гранями являются полуплоскости, содержащие треугольники ABC и ACD (так как

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Угол между плоскостями

Введем понятие угла между плоскостями.

Определение. Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку.

Заметим, что определение угла между плоскостями не зависит от выбора прямых а и b, проведенных в плоскостях и перпендикулярных их линии пересечения. Действительно, если в данных плоскостях провести какие-нибудь другие прямые

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

а, следовательно, угол между прямыми а и b равен углу между прямыми

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Если плоскости параллельны, то угол между ними считается равным

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Угол между плоскостями

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Из определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями удовлетворяет условию

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

1)Пусть точка О — точка пересечения прямой b с плоскостью

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Точка О — общая точка плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

следовательно, данные плоскости пересекаются по прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

через точку О проведем прямую а, перпендикулярную прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

3)Прямые а и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

лежат в плоскости а и по условию

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Теорема 2. Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

  • Обозначим буквой О точку пересечения прямой b с прямой (рис. 180, а, б).
  • Проведем в плоскости через точку О прямую а перпендикулярно прямой
  • Прямые a и b перпендикулярны прямой по которой пересекаются плоскости  Следовательно, угол между прямыми а и b равен углу между плоскостями значит, равен
  • Таким образом, прямая b перпендикулярна пересекающимся прямым а и b плоскости Следовательно,

Пример №5

Докажите, что прямая, проведенная через точку одной из перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная другой плоскости, лежит в первой плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Предположим, что прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

не лежит в плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(рис. 181, а, б). Проведем в плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Это противоречит существованию единственной прямой, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости. Предположение, что прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

, неверное, а значит, прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Пример №6

Основание прямой призмы

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— треугольник ABC, в котором

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Через прямую АС проведена плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

плоскости АБС, пересекающая боковое ребро

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

в точке D. Вычислите площадь полученного сечения (рис. 182, а, б).

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

1)В треугольнике ADC сторона

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(так как призма прямая, то

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

). Кроме того,

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

3)Пусть точка О — середина отрезка АС, тогда медиана DO — высота равнобедренного треугольника

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

4)В треугольнике ВОС длина катета

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Пример №7

Докажите, что площадь

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

ортогональной проекции треугольника ABC на плоскость равна произведению его площади S на косинус угла

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

между плоскостью треугольника и плоскостью проекции:

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Изображение фигур

Для изображения на плоскости (например, на листе бумаги) геометрических фигур, расположенных в пространстве, используется параллельное проектирование. Определяется оно следующим образом.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— некоторая плоскость, а

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— некоторая прямая, пересекающая эту плоскость. Возьмем в пространстве произвольную точку X. Если точка X не лежит на прямой I, то проведем через точку X прямую, параллельную прямой I, и обозначим через

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Если точка X лежит на прямой

, то обозначим через

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Точка X’ называется проекцией точки X на плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

при проектировании параллельно прямой

называется плоскостью проекций, а о прямой

говорят, что она задает направление проецирования (рис. 188, а). Все прямые, параллельные прямой

, задают одно и то же направление проектирования, поэтому также называются проектирующими прямыми.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Пусть F — плоская или пространственная фигура. Проекцией фигуры, F на плоскость а при проектировании параллельно прямой

называется множество F’ проекций всех точек фигуры F. Например, если плоскость а параллельна основанию ABCD параллелепипеда

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

то проекцией параллелепипеда на плоскость

является параллелограмм ТЕОК (рис. 188, б).

Заметим, что проекция заданной фигуры зависит от выбора плоскости проекций и проектирующей прямой.

Сформулируем и докажем основные свойства параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой, задающей направление проектирования.

Свойство 1. Проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка — отрезок.

Пусть b — некоторая прямая, не параллельная прямой

, которая задает направление проектирования. Не ограничивая общности, можем считать, что прямые b и

пересекаются. Через прямые b и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Она пересекает плоскость

по некоторой прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Эта прямая и является проекцией прямой b на плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Действительно, пусть точка

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— ее проекция на плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Тогда проектирующая прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

пересекает а по прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

, следовательно, точка

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

. Кроме того, каждая точка прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

является проекцией некоторой точки прямой b. Таким образом, прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Теперь нетрудно понять, что проекция отрезка есть отрезок.

Свойство 2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

Пусть даны две параллельные прямые b и с. Возможны два случая.

1) Некоторая проектирующая прямая а пересекает обе прямые b и с. В этом случае прямая а, а также все остальные проектирующие прямые, пересекающие прямые b и с, лежат в одной плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

проходящей через параллельные прямые b и с. Но тогда по свойству 1 проекцией прямой b и прямой с будет прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

2) Не существует проектирующих прямых, пересекающих прямые b и с одновременно. Пусть

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— плоскость, в которой лежат все прямые, проектирующие точки прямой b на плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— плоскость, в которой лежат прямые, проектирующие точки прямой с на плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

параллельны, следовательно, проекции

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

, прямых b и с параллельны как линии пересечения параллельных плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(рис. 190, б).

Свойство 3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

1) Пусть отрезки АВ и CD лежат на одной прямой b, а прямая

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

— проекция прямой b на плоскость а параллельно прямой

(рис. 191, а). Проекции

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

отрезков АВ и CD лежат на прямой

. Проектирующие прямые

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

параллельны между собой и лежат в одной плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Из планиметрии известно, что параллельные прямые

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

отсекают от двух прямых b и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

пропорциональные отрезки, т. е.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Пусть отрезки АВ и CD лежат на параллельных прямых b и а (рис. 191, б). Проведем прямую АС и через точку В, параллельную ей прямую, которая пересекает прямую а в некоторой точке М. Четырехугольник АВМС — параллелограмм. Рассмотрим случай, когда его проекция на плоскость

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Если проекция параллелограмма АВМС есть отрезок (в случае, когда проекции прямых а и b совпадают), доказательство данного свойства еще проще.

Следствие. При параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции.

Рассмотренные в предыдущем параграфе свойства параллельного проектирования применяются при выполнении рисунков (изображений фигур), иллюстрирующих теоремы и задачи стереометрии.

Изображением, фигуры F называется любая фигура, подобная проекции этой фигуры на некоторую плоскость.

Выполняя изображения фигур, расположенных в пространстве, необходимо учитывать свойства, сохраняющиеся при параллельном проектировании, а в остальном изображение может быть произвольным. Важно только, чтобы изображения рассматриваемых фигур были наглядными и давали верное представление о них.

При различном выборе плоскости проекций и направления проектирования получаются различные проекции данной фигуры, а значит, и различные ее изображения. Например, изображениями куба являются фигуры, данные на рисунке 192, а, б, в, г.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

1. В качестве изображения данного треугольника можно взять произвольный треугольник.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Действительно, пусть даны два треугольника ABC и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

(рис. 193, а, б). Обозначим плоскость а, проходящую через прямую АВ, a АВТ — треугольник в этой плоскости, подобный треугольнику

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

. Тогда при проектировании на плоскость а параллельно прямой СТ треугольник ABC проектируется на треугольник АВТ так, что его проекция будет подобна треугольнику

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

. В частности, за изображение прямоугольного, равнобедренного, равностороннего треугольников можно принять любой треугольник.

2.В качестве изображения данного параллелограмма можно взять произвольный параллелограмм.

В самом деле, проекциями равных параллельных отрезков являются равные параллельные отрезки, следовательно, изображением параллелограмма является параллелограмм. В частном случае за изображение прямоугольника, квадрата, ромба можно принять любой параллелограмм.

3.При изображении пространственных фигур пользуются тем фактом, что фигуру, состоящую из сторон и диагоналей любого выпуклого или не выпуклого четырехугольника, можно считать изображением треугольной пирамиды при определенном выборе направления проектирования и плоскости, на которую проектируется эта пирамида (рис. 193, в).

Например, фигуры, изображенные на рисунке 194, а, б, в, являются изображениями треугольной пирамиды при соответствующем выборе направления проектирования.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Для построения изображения параллелепипеда

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

можно воспользоваться тем, что точки

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

являются вершинами треугольной пирамиды

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

В качестве изображения этих вершин можно взять вершины произвольного четырехугольника

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

т.е. три отрезка АВ, AD и

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

в плоскости изображения с общим концом А, никакие два из которых не лежат на одной прямой, можно принять за изображение ребер

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

параллелепипеда. Изображения остальных ребер параллелепипеда строятся с использованием свойств, которые сохраняются при параллельном проектировании (все грани параллелепипеда являются параллелограммами, следовательно, их изображения — параллелограммы). На рисунке 195, б, в даны различные изображения параллелепипеда

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярность плоскостей

Оцените статью
Добавить комментарий