Перпендикулярные прямые. Перпендикулярность в пространстве

15.1. Признаки перпендикулярности двух плоскостей

Взаимную перпендикулярность плоскостей и обозначают . При этом также говорят, что плоскость перпендикулярна плоскости или плоскость перпендикулярна плоскости .

Заметим, что все четыре двугранных угла, образованные взаимно перпендикулярными плоскостями, прямые.

Примерами взаимно перпендикулярных плоскостей могут служить плоскости пола и стены комнаты в хорошо построенном доме, плоскости двух соседних граней куба или прямоугольного параллелепипеда.

Для стены и пола перпендикулярность проверяют при помощи «отвеса». А как определить, проверить, перпендикулярны ли две плоскости? Ответы на эти вопросы дают признаки перпендикулярности двух плоскостей, а также свойства, которыми обладают перпендикулярные плоскости.

Рассмотрим признаки перпендикулярности двух плоскостей.

признак перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоcкости перпендикулярны.

и пересекаются; ; (рис. 103).

Обозначим: = , = . Так как по условию теоремы прямая перпендикулярна плоскости , то эта прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости . Значит, .

Проведём в плоскости через точку прямую , перпендикулярную прямой . Тогда — линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей и . Так как , то = 90 (почему?). Это означает, что

(; ) = 90, т. е. (по определению перпендикулярных плоскостей). Теорема доказана.

Если в плоскости есть хотя бы одна прямая, перпендикулярная другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

Если плоскость перпендикулярна прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, то эта плоскость перпендикулярна каждой из данных плоскостей.

Докажите эти следствия самостоятельно.

15.2. Свойства перпендикулярных плоскостей

Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна другой плоскости.

; = ; , (рис. 104).

Обозначим = и в плоскости проведём через точку прямую , перпендикулярную прямой . Тогда

Если прямая, проведённая через точку одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна другой плоскости, то она лежит в первой из них.

, , , (рис. 105).

Обозначим = и через точку проведём в плоскости прямую , перпендикулярную прямой . По теореме 29 прямая перпендикулярна плоскости . Так как в пространстве через точку можно провести лишь одну прямую, перпендикулярную данной плоскости, то прямая совпадает с прямой , лежащей в плоскости . Значит, . Теорема доказана.

Докажите самостоятельно следующее предложение («теорему отвеса»). Если прямая, проведённая через точку одной из двух пересекающихся плоскостей, перпендикулярна другой плоскости и не лежит в первой, то данные плоскости не перпендикулярны.

В планиметрии две прямые, перпендикулярные третьей прямой, не могут пересекаться. Проводя аналогию, можно предположить, что не могут пересекаться и две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости. Однако это не так. Достаточно посмотреть на две соседние стены вашей комнаты (мы надеемся, что они обе перпендикулярны к полу), чтобы убедиться, что эти стены не параллельны. Вообще, если две плоскости пересекаются по прямой, перпендикулярной третьей плоскости, то каждая из них перпендикулярна этой третьей плоскости.

Верно и обратное утверждение.

Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

, ; = (рис. 106, ).

Отметим на прямой произвольную точку и проведём через неё прямую , перпендикулярную плоскости . Так как точка принадлежит плоскости ( = ), которая перпендикулярна плоскости , то прямая лежит в плоскости (т. 30). Аналогично, точка принадлежит плоскости , поэтому прямая лежит в плоскости .

Таким образом, прямая проходит через точку , перпендикулярна плоскости и лежит в плоскостях и . Это означает, что прямая совпадает с прямой , т. е. . Теорема доказана.

В дальнейшем придётся часто рассматривать три попарно взаимно перпендикулярные плоскости, имеющие общую точку (рис. 106, ).

Вернёмся к вопросу об измерении угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Прямую, перпендикулярную данной плоскости, называют нормалью к этой плоскости.

Пусть плоскости и , величина угла между которыми равна , пересекаются по прямой . На рисунке 107 плоскость , перпендикулярная прямой , пересекает плоскость по прямой , а плоскость по прямой ; через точки и проведены прямые соответственно и , перпендикулярные плоскостям и .

Так как , то по признаку перпендикулярности двух плоскостей каждая из плоскостей и перпендикулярна плоскости . По теореме 30 прямые и лежат в плоскости , в которой лежат также и прямые и . Тогда в плоскости угол между прямыми и (линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями и ) и угол между прямыми и равны (как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Таким образом, величина угла между двумя пересекающимися плоскостями равна величине угла между нормалями к этим плоскостям.

Перпендикулярность прямой и плоскости

9.1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Построение перпендикулярных прямой и плоскости

Вы приступаете к изучению важного раздела стереометрии — перпендикулярности прямых и плоскостей. Интуитивное представление о прямой, перпендикулярной плоскости (иногда говорят: «»), вы получили из практики.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 55, ).

Если прямая перпендикулярна плоскости , то записывают или и также говорят, что плоскость перпендикулярна прямой или прямая и плоскость перпендикулярны. (Прямую называют также плоскости .)

На плоскости прямая может быть перпендикулярна двум прямым только в том случае, когда они параллельны, в пространстве же прямая может быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым. Действительно, рассмотрим две плоскости и , пересекающиеся по прямой (рис. 55, ). В плоскости проведём прямую , перпендикулярную , и в плоскости — прямую , также перпендикулярную . Теперь прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и . Ниже будет доказано, что прямая перпендикулярна и плоскости .

При решении задач затруднительно обосновывать перпендикулярность прямой и плоскости при помощи только одного определения. Более того, возникает вопрос о существовании прямой, перпендикулярной данной плоскости. Решению этих вопросов поможет признак перпендикулярности прямой и плоскости.

(признак перпендикулярности прямой и плоскости).Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

, ; , ; и пересекаются (рис. 56).

Для доказательства теоремы достаточно убедиться, что прямая перпендикулярна любой прямой , лежащей в плоскости и не параллельной ни одной из прямых и .

Проведём в плоскости через точку = прямые , , и, выбрав на прямой любую точку , отличную от , построим параллелограмм с вершинами и на прямых соответственно и . Тогда:

( , ) ;

( , ) .

Если — любая точка прямой ( ) и — точка пересечения диагоналей параллелограмма , то отрезки и — медианы треугольников и соответственно. Обозначив длины отрезков: = , = , = , = , = , = , на основании соотношения между медианой и сторонами треугольника получаем:

в : =

Учитывая, что треугольники и — прямоугольные, находим:

Тогда в получаем + = . Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, — прямоугольный, откуда , т. е. . А так как , то .

В силу произвольного выбора прямой в плоскости , приходим (на основании определения прямой, перпендикулярной плоскости) к выводу: прямая перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.

Векторное доказательство теоремы 13 вы сможете прочесть в пункте 23.3.

Переходим к построению перпендикулярных прямой и плоскости.

Через данную точку провести плоскость , перпендикулярную данной прямой .

Возможны два случая: точка не принадлежит данной прямой ; точка принадлежит данной прямой .

Рассмотрим случай, когда (рис. 57, ).

Через прямую и точку проведём плоскость (рис. 57, ) и в ней через точку — прямую , перпендикулярную прямой ; = (рис. 57, ). Далее, через прямую проведём любую плоскость (рис. 57, ), отличную от , и в ней через точку — прямую , перпендикулярную (рис. 57, ). Теперь через прямые и проведём плоскость (рис. 57, ), которая по признаку перпендикулярности прямой и плоскости перпендикулярна прямой ( , , = , , ). Таким образом, — искомая плоскость.

Докажем, что — единственная плоскость, удовлетворяющая условию задачи. В самом деле, предположим, что через точку можно провести другую плоскость, например , перпендикулярную прямой (рис. 58). Тогда плоскости и , имея общую точку , пересекаются по некоторой прямой , которая перпендикулярна прямой ( , ). Получили: в плоскости через точку проходят две прямые и , перпендикулярные прямой , что невозможно. Следовательно, предположение неверно, и плоскость единственна.

Через данную точку провести прямую , перпендикулярную данной плоскости .

Рассмотрим случай, когда (рис. 60, ). Шаги построения:

в плоскости через точку проводим произвольную прямую (рис. 60, );

через точку проводим плоскость , перпендикулярную прямой (), при этом пересекает плоскость по прямой , перпендикулярной прямой (рис. 60, );

в плоскости проводим через точку прямую перпендикулярно прямой (рис. 60, ). Прямая — искомая.

В самом деле, прямая проходит (по построению) через точку и перпендикулярна пересекающимся в точке и лежащим в плоскости прямым и ( , так как прямая лежит в плоскости , которая перпендикулярна прямой ). Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая перпендикулярна плоскости .

Доказательство (методом от противного) единственности прямой проведите самостоятельно.

Обобщая вышесказанное, отметим, что:

через каждую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, следовательно, две различные плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, не имеют общих точек.

В главе 4 назовём не имеющие общих точек плоскости (рис. 61).

Мы доказали, что параллельные плоскости существуют, и будем этим пользоваться.

Через каждую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости, следовательно, две различные прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, не могут пересекаться.

В дальнейшем (в п. 9.2) докажем, что такие прямые .

9.2. О прямых, перпендикулярных плоскости

Проведём в плоскости две пересекающиеся прямые и (рис. 62). Так как прямая перпендикулярна плоскости , то (по определению прямой, перпендикулярной плоскости) прямая перпендикулярна каждой из прямых и . Значит, прямая , параллельная , также перпендикулярна каждой из прямых и (почему?). Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.

Верна и обратная теорема.

Прямые и не могут пересекаться в силу единственности перпендикуляра, проведённого через точку к данной плоскости. Прямые и не могут и скрещиваться. Действительно, допустив, что прямые и скрещиваются, проведём через любую точку прямой прямую , параллельную , но не совпадающую с (почему?). По предыдущей теореме прямая перпендикулярна плоскости . Получили два перпендикуляра (прямые и ) к плоскости , проходящих через точку , что невозможно. Следовательно, прямые и не могут быть скрещивающимися.

Таким образом, прямые и не могут быть ни пересекающимися, ни скрещивающимися, значит, они параллельны. Теорема доказана.

Содержание

Перпендикулярность двух плоскостей
Что такое перпендикулярность двух плоскостей
Примеры в повседневной жизни
Признак перпендикулярности плоскостей
Свойства
Примеры решения задач
Перпендикулярные плоскости
Признаки перпендикулярности двух плоскостей
Свойства взаимно перпендикулярных плоскостей

Перпендикулярность двух плоскостей

Что такое перпендикулярность двух плоскостей
Признак перпендикулярности плоскостей
Свойства
Примеры решения задач

Что такое перпендикулярность двух плоскостей

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя различными полуплоскостями и прямой — их общей границей.

Линейным углом данного двугранного угла является , где — произвольная точка на прямой , а и — перпендикуляры к прямой .

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера любого из его линейных углов.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Две плоскости называют перпендикулярными, если угол между ними прямой

Примеры в повседневной жизни

стена и потолок;
грани коробки;
спинка и сиденье стула.

Признак перпендикулярности плоскостей

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

Дано: — плоскости, , — прямая,

Свойства

Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна другой плоскости.
Если прямая, проведенная через точку одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна другой плоскости, то она лежит в первой из них.
Теорема отвеса: если прямая, проведенная через точку одной из двух пересекающихся плоскостей, перпендикулярна другой плоскости и не лежит в первой, то данные плоскости не перпендикулярны.
Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

Примеры решения задач

Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°. Отрезки и проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла. Причем . Найдите .

Дано: двугранный угол (CABD=120°, ACperp AB, ACsubsetalpha, BDperp AB, BDsubseteta, AB=AC=BD=a.)

Рассмотрим данный двугранный угол: в одной полуплоскости лежит точка и прямая , перпендикулярная прямой , в другой полуплоскости лежит точка и прямая , перпендикулярная . Проведем и так что (AKperp AB, DKparallel AB). Тогда — линейный угол двугранного угла.

Рассмотрим четырехугольник :

Мы знаем, что и и перпендикулярны , значит они параллельны. так же параллельна по построению, значит — параллелограмм, а точнее прямоугольник. Из этого следует, что

По теореме косинусов: (CK^2=AC^2+AK^2-2cdot ACcdot AKcdotcosangle CAK=a^2+a^2-2cdot acdot acdotcos120^circ=2a^2+a^2=3a^2)

, так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости, значит и . Поэтому и —прямоугольный.

По теореме Пифагора:

— тетраэдр (треугольная пирамида). (angle BAB=angle DAC=angle ACB=90^circ, AC=CB=5, DB=5sqrt5). Найдите двугранный угол

Дано: ABCD — тетраэдр, (angle BAB=angle DAC=angle ACB=90^circ, AC=CB=5, DB=5sqrt5.)

т.к. A(B,;ACsubset(ABC), ABcap AC, DAperp AB, DAperp AC). Тогда по теореме о трех перпендикулярах ( — прямая, — проекция DC на — наклонная). Значит — линейный угол искомого двугранного угла.

Взрослым: Skillbox, Geekbrains, Хекслет, Eduson, XYZ, Яндекс.
8-11 класс: Умскул, Лектариум, Годограф, Знанио.
До 7 класса: Алгоритмика, Кодланд, Реботика.
Английский: Инглекс, Puzzle, Novakid.

Перпендикулярные плоскости

Перпендикулярные плоскости – важный математический термин.

Признаки перпендикулярности двух плоскостей

Определение: если две плоскости пересекаются под прямым углом, то такие плоскости считаются перпендикулярными.

Для обозначения перпендикулярности плоскостей используют знак ⏊. Стоит отметить, что все двугранные углы, которые были образованы взаимно перпендикулярными плоскостями, являются прямыми. Взаимно перпендикулярные плоскости встречаются повсюду. Например, потолок и стены, грани куба и т. д.

Теорема 1: если плоскость проходит через прямую, являющейся перпендикулярной по отношению к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Дано: α∩β; АВ⏊β; АВ⊂α.

Допустим, что α и β пересекаются по прямой АС. Необходимо между плоскостями построить линейный угол, равный 90 градусов. Таким образом, можно доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны.
Согласно условиям, АВ⏊β, следовательно, АВ⏊АС, лежащей на плоскости β.
На плоскости β проводим прямую АD, перпендикулярную АС. Получился линейный угол ВАD.
АВ⏊β, так как АD⊂β, то АВ⏊АD. Из этого следует, что угол BAD – прямой, поэтому β⏊α.

Если на плоскости расположена хоть одна прямая, перпендикулярная другой плоскости, то обе плоскости взаимно перпендикулярны.
Если плоскость перпендикулярна прямой, по которой пересекаются две другие плоскости, то данная плоскость перпендикулярна к остальным плоскостям.

Свойства взаимно перпендикулярных плоскостей

Теорема 2: если на одной из двух перпендикулярных плоскостей лежит прямая, перпендикулярная их линии пересечения, то данная прямая перпендикулярна второй плоскости.

Дано: α⏊β; α∩β = с; а⊂α; с⏊α.

Для начала нужно обозначить точку О на пересечении прямых а и с.
Через точку О на плоскости β необходимо провести прямую b так, чтобы она была перпендикулярна с.
Следовательно, между прямыми а и b угол – прямой.
Таким образом, согласно признаку перпендикулярности плоскости и прямой, а⏊с, а⏊b, следовательно, β⏊а.

Теорема 3: если прямая проходит через точку, лежащую на одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, и перпендикулярна другой плоскости, то она лежит в первой из них.

Дано: α⊥β, A∈α, A∈a, a⊥β.

Пусть c = α∩β.
На плоскости α проводим прямую m через точку А так, чтобы m⊥c.
Согласно теореме 2, m⏊β.
Поскольку в пространстве через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную этой плоскости, то а совпадает с m, поэтому a⊂α.

Теорема отвеса: плоскости не являются перпендикулярными, если прямая, проведённая через точку одной из пересекающихся плоскостей, перпендикулярна одной из них и не лежит в другой.

Как мы знаем, пересечение двух прямых, перпендикулярных третьей, невозможно. Однако данное правило не работает с плоскостями. Достаточно взглянуть на смежные стены в комнате, чтобы убедиться в этом. Это значит, что каждая из двух плоскостей будет перпендикулярна к третьей, если они пересекаются по прямой, перпендикулярной к этой третьей плоскости.

Данное утверждение работает и в другую сторону.

Теорема 4: если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

Дано: α⏊γ, β⏊γ; α∩β = a.

На прямой а отмечаем произвольную точку А.
Через точку А проводим прямую b так, чтобы b⏊γ.
Поскольку A∈a= α∩β и α⏊γ, то b находится в плоскости α.
Кроме того, A∈β, следовательно, b расположена в плоскости β.
Получается, что b, проходящая через А, является перпендикулярной по отношению к γ и лежит в плоскостях β и α. Из этого следует, что b совпадает с а, значит a⏊γ.

Стоит уделить внимание измерению угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Нормаль плоскости – это прямая, перпендикулярная к этой плоскости.

Предположим, что две плоскости, β и α, пересекаются по прямой с. Угол между плоскостями равен φ. На рисунке мы видим, что γ⏊с и пересекает плоскости β и α по прямым n и m соответственно. Через точки P ∈ m и H ∈ n проходят прямые a и b, при этом а⏊α, b⏊β.

Поскольку c⏊γ, то, согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, α⏊γ и β⏊γ. Опираясь на теорему 3, мы получаем следующее: a и b лежат в плоскости γ, где находятся прямые m и n. Тогда угол между m и n равен углу между а и b. Итак, можно сказать, что величина угла между двумя пересекающимися плоскостями равна величине угла между нормалями к этим плоскостям.

, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется .

(AB) — наклонная;(B) — основание наклонной.

, проведённым из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется .

(AC) — перпендикуляр;

Расстоянием от точки до плоскости называется , проведённого из этой точки к плоскости.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки, называется .

(CB) — проекция наклонной (AB) на плоскость

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.

(CBA) — угол между наклонной (AB) и плоскостью

Если из данной точки к данной плоскости провести несколько наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.

(DAB) — угол между наклонными;

(DCB) — угол между проекциями.Отрезок (DB) — расстояние между основаниями наклонных.

· сформулируем
теорему о трех перпендикулярах и докажем ее;

· сформулируем
и докажем обратную теорему.

Напомню, что перпендикуляром, проведенным из точки А к
плоскости α, называется отрезок AH. Точка AH называется основанием перпендикуляра. Если точка M – произвольная точка плоскости α, отличная от точки AH, то отрезок AM называется
наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием
наклонной. Проекцией наклонной на плоскость, называется отрезок, соединяющий
основание перпендикуляра и основание наклонной, проведенных из одной и той же
точки к данной плоскости. В нашем случае, отрезок HM является проекцией наклонной AM на
плоскость α.

Рассмотрим пример. Пусть ABCA1B1C1 – прямая треугольная
призма. Тогда ребро B1B есть перпендикуляр, проведенный из точки B1
к плоскости ее основания ABC, отрезок B1C – наклонная, отрезок CB – проекция наклонной B1C на плоскость ABC.

Давайте сформулируем и докажем теорему, которая играет
важную роль при решении многих задач.

Теорема. Прямая, проведенная в плоскости
через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость,
перпендикулярна и к самой наклонной.

Доказательство. Пусть нам дана плоскость α.
Проведем перпендикуляр AH к
плоскости α. Тогда AM – наклонная, точка М –
основание наклонной. HM – проекция наклонной AM на плоскость α. В плоскости α проведем прямую а
через основание наклонной M перпендикулярно проекции HM. Докажем, что прямая а перпендикулярна и наклонной AM.

Прямая AH – это перпендикуляр
к плоскости α по условию. Значит, прямая AH
перпендикулярна и всем прямым, лежащим в этой плоскости. А тогда прямая AH перпендикулярна и прямой а, лежащей в плоскости α.

Прямая HM перпендикулярна
прямой а по условию. Следовательно, прямая а перпендикулярна двум
пересекающимся прямым AH и HM
плоскости AHM. Тогда по признаку перпендикулярности
прямой и плоскости прямая а перпендикулярна плоскости AHM.
Значит, прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости AHM. Прямая AM лежит в плоскости AHM. Следовательно, прямая а перпендикулярна прямой AM. Теорема доказана.

Эта теорема называется теоремой о трех
перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами AH, HM и AM.

Что и требовалось доказать.

Справедлива также и обратная теорема. Сформулируем и
докажем ее.

Обратная теорема. Прямая, проведенная в
плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к
ее проекции.

Доказательство. Пусть нам дана плоскость альфа.
Проведем перпендикуляр AH к
плоскости α. Тогда прямая AM – наклонная. HM – проекция наклонной AM на
плоскость α. В плоскости α проведем прямую а через основание
наклонной M перпендикулярно
наклонной AM. Докажем, что прямая а перпендикулярна
проекции HM.

Прямая AH – это перпендикуляр
к плоскости α по условию. Значит, прямая AH
перпендикулярна и всем прямым, лежащим в этой плоскости. А тогда прямая AH перпендикулярна прямой а. Прямая AM
перпендикулярна прямой а по условию. Следовательно, прямая а перпендикулярна
двум пересекающимся прямым AH и AM плоскости AHM. Тогда по признаку
перпендикулярности прямой и плоскости прямая а перпендикулярна плоскости AHM. Значит, прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в
этой плоскости. Прямая HM лежит в плоскости AHM. Следовательно, прямая а перпендикулярна прямой HM. Теорема доказана.

Замечание. В доказанной прямой и обратной
теореме точка М (основание наклонной) лежала на прямой а, принадлежащей
плоскости α. Давайте проведем в плоскости α другую прямую b, которая параллельна прямой а. Тогда углы между прямыми b, АМ, HМ не изменятся. И из
перпендикулярности прямой b и прямой AМ
будет вытекать перпендикулярность прямой b и HМ и наоборот.

Решим несколько задач на применение теоремы о трех
перпендикулярах.

–
перпендикуляр к плоскости

–
точка пересечения диагоналей грани

Задача. Из вершины

к
плоскости прямоугольника. Расстояния от точки

до
остальных вершин прямоугольника равны

см.
Найдите длину перпендикуляра

Ответ. 2 см.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы
сформулировали теорему о трех перпендикулярах:прямая, проведенная в плоскости
через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость,
перпендикулярна и к самой наклонной, и доказали ее. Сформулировали и доказали
обратную теорему: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной
перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. А также решили
несколько задач на применение теоремы о трех перпендикулярах.

Напомним,
что прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости,
если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема
1. Если
одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая
перпендикулярна этой прямой.

Теорема
2. Если
одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая
перпендикулярна этой плоскости.

Теорема
о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости:
если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.

Признак
перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая
перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она
перпендикулярна этой плоскости.

Теорема
о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой:
через любую точку пространства проходит единственная плоскость,
перпендикулярная данной прямой.

Теорема
о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости:
через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная
данной плоскости.

Также
напомним, что две плоскости называются перпендикулярными, если угол
между ними равен

Признак
перпендикулярности плоскостей: если одна из двух
плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти
плоскости перпендикулярны.

Теорема
3. Прямая,
лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой,
по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

А
теперь давайте рассмотрим следующий рисунок.

не
лежит на плоскости

–
перпендикуляр, проведённый из точки

–
основание перпендикуляра, а точка

–
произвольная точка этой плоскости. Итак, наклонной, проведённой к данной
плоскости, называется прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная
ей. Точка пересечения наклонной и плоскости называется основанием наклонной.

Проекцией
точки на плоскость называется основание перпендикуляра,
опущенного из данной точки на данную плоскость.

Проекцию
прямой на плоскость задают проекции двух её точек на
плоскость или точка пересечения прямой и плоскости и проекция одной из её
точек.

Проекцией
наклонной на плоскость называется прямая, состоящая из
проекций всех точек наклонной на данную плоскость.

Перпендикуляр
и проекция меньше наклонной, так как катет меньше гипотенузы.

Углом
между наклонной и плоскостью называется угол между
наклонной и её проекцией.

Углом
между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её
проекцией на эту плоскость (если прямая параллельна плоскости, то этот угол
равен

,
если перпендикулярна –

Вспомним
теорему о трёх перпендикулярах: прямая, проведённая в плоскости и
перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой
наклонной.

Прямая,
проведённая в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и её
проекции на эту плоскость.

Теорема
о наклонных, проведённых из одной точки: если из одной точки к плоскости
проведены перпендикуляр и несколько наклонных, то меньшей наклонной
соответствует меньшая проекция, большей – большая, равным наклонным
соответствуют равные проекции и наоборот.

Расстоянием
от точки до плоскости называется длина перпендикуляра,
проведённого из этой точки к данной плоскости.

Расстоянием
между параллельными плоскостями называется расстояние от
произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.

Расстоянием
между прямой и параллельной ей плоскостью называется
расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

Расстоянием
между скрещивающимися прямыми называется расстояние от
одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и
параллельной первой прямой.