Площадь. Формула площади прямоугольника. 5 класс ФГОСпрезентация к уроку по алгебре (5 класс) на тему

Иногда вычисление площади сводится к простому перемножению двух чисел, но зачастую это вычисление более сложное. Прочтите эту статью для краткого обзора по вычислению площади (или площади поверхности) следующих фигур: четырехугольник, квадрат, параллелограмм, трапеция, треугольник, многоугольник, круг, пирамида, цилиндр, кривая линия.

• Возведите в квадрат длину стороны. Это и есть площадь квадрата.
  Это верно, потому что квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Так как для прямоугольника k = b*h, а в квадрате b=h, для вычисления площади квадрата просто умножаем его сторону на саму себя.
• Это верно, потому что квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Так как для прямоугольника k = b*h, а в квадрате b=h, для вычисления площади квадрата просто умножаем его сторону на саму себя.

• Выберите одну сторону, на которую будет опущен перпендикуляр. Найдите длину этой стороны.
• Если нужно, продлите сторону, на которую опускается перпендикуляр, до ее пересечения с перпендикуляром.

• Найдите длину одной стороны треугольника (b), на которую будет опущен перпендикуляр (высота) и длину высоты (h).
• Чтобы найти площадь треугольника, подставьте длину соответствующей стороны и длину высоты в формулу: A=0.5b*h

• Найдите длину стороны и длину апофемы (а) (отрезок, соединяющий центр многоугольника и середину любой из его сторон).
• Умножьте длину стороны на количество сторон, чтобы найти периметр многоугольника (р).

• Найдите площадь прямоугольного основания пирамиды с помощью приведенной выше формулы для нахождения площади прямоугольника: k=b*h.
• Найдите площадь каждой треугольной грани пирамиды с помощью приведенной выше формулы для нахождения площади треугольника: A=0.5b*h.
• Сложите все полученные площади для вычисления площади поверхности пирамиды.

• Найдите радиус круга в основании цилиндра.
• Найдите высоту цилиндра.
• Найдите площадь круга в основании, используя формулу для вычисления площади круга: А=πr^2.
• Найдите площадь боковой поверхности, умножив высоту цилиндра на периметр основания. Периметр основания равен длине окружности: P = 2πr, поэтому площадь боковой поверхности А= 2πhr.
• Сложите все полученные площади: две площади круговых оснований и площадь боковой поверхности. Таким образом, площадь поверхности цилиндра: SA = 2πr^2 + 2πhr.
  Для более детальных инструкций прочтите статью «Как найти площадь поверхности цилиндра».
• Для более детальных инструкций прочтите статью «Как найти площадь поверхности цилиндра».

• Определите f(x) через x.
• Подставьте значения а и b в интегральное выражение. Искомая площадь определяется как ∫abf(x). Поэтому, A=F(b)) – F(a).

Об этой статье

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства шара и сферы, а также формулы, с помощью которых можно найти площадь поверхности и объем данных геометрических фигур.

Определение шара и сферы

Шар – это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на расстоянии не больше заданного от точки, называемой центром шара (на рисунке ниже – это точка O). Другими словами, это совокупность точек, ограниченных сферой.

Шар образуется путем вращения круга вокруг своего диаметра (оси) на 180° или полукруга – на 360°.

Сфера – это поверхность шара. Образуется путем вращения окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности – на 360°.

Различают два вида шаров:

• замкнутый – включает сферу;
• открытый – исключает сферу.

Радиус шара (сферы) – расстояние между центром и точками, лежащими на его поверхности. На рисунке выше обозначен буквой R.

Диаметр шара (сферы) – отрезок, проходящий через центр шара и соединяющие две противоположные точки на его поверхности. Совпадает с осью шара, обычно обозначается буквой d.

Полюсы шара (сферы) – точки A и B, расположенные на концах его диаметра.

Свойства шара и сферы

Любое сечение шара плоскостью является кругом.

Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

Все точки сферы равноудалены от ее центра.

Сфера имеет самый большой объем среди всех фигур в пространстве, имеющих одинаковую площадь поверхности.

Через две любые диаметрально противоположные точки (максимально отдаленные друг от друга точки на окружности) можно провести неограниченное количество кругов для шара или окружностей для сфер радиусом, равным радиусу шара/сферы.

Примечание: если точки не диаметрально противоположны, то провести можно только один круг (окружность).

Части шара

Сегмент шара – это часть шара, отсекаемая плоскостью. Иногда называется шаровым сегментом. На рисунке ниже окрашен в зеленый цвет.

Срез шара – часть шара между двумя параллельными плоскостями, пересекающими его. Также может называться шаровым слоем. На рисунке ниже закрашен желтым.

Сектор шара – состоит из шарового сегмента и конуса, вершина которого находится центре шара, а основание совпадает с основанием сегмента. На рисунке ниже сектор залит оранжевым.

Формулы для шара/сферы

Площадь поверхности сферы

Прямоугольник — четырехсторонняя фигура с четырьмя прямыми углами, противолежащие стороны которой равны. Все, что нужно сделать для вычисления его площади, — умножить длину на ширину. Хотите знать как это сделать? Читайте дальше.

• Прямоугольник — четырехсторонняя фигура, противолежащие стороны которой равны. Если одна сторона равна 10 см, то и противолежащая будет равна 10 см.
  Любой квадрат также является прямоугольником. Площадь квадрата находится по той же формуле.
• Любой квадрат также является прямоугольником. Площадь квадрата находится по той же формуле.
• Выучите формулу нахождения площади прямоугольника: S = a * b, где S — площадь, a — длина, b — ширина, то есть, площадь равна произведению сторон.

• Найдите длину прямоугольника. Как правило, она указана в задаче, но если нет — найдите ее с помощью линейки.
  Двойные отметки на длинных сторонах означают, что их длины равны.
• Двойные отметки на длинных сторонах означают, что их длины равны.
• Так же найдите ширину прямоугольника.Отметки на узких сторонах означают, что их ширины равны.
• Отметки на узких сторонах означают, что их ширины равны.
• Запишите длину и ширину. В нашем примере длина — 5 см, ширина — 4 см.
• Умножьте длину на ширину. Длина — 5 см, ширина — 4 см, вставьте эти числа в формулу S = a * b и вы найдете площадь.
  S = 4 cm * 5 cмS = 20 cм^2
• S = 4 cm * 5 cм
• S = 20 cм^2
• Запишите ответ в квадратных единицах. Ответ: 20 см^2, что означает «двадцать квадратных сантиметров».
  Ответ можно записать как 20 кв. см, так и 20 см^2.
• Ответ можно записать как 20 кв. см, так и 20 см^2.

• Научитесь использовать теорему Пифагора — она позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника, если известны длины двух других сторон. Можно использовать ее для нахождения гипотенузы, самой длинной из сторон треугольника, а также длины и ширины, образующих прямой угол.
  Прямоугольник имеет четыре прямых угла, и его диагональ образует два прямоугольных треугольника, так что мы можем использовать теорему Пифагора.Теорема Пифагора звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть a^2 + b^2 = c^2, где a и b — стороны (катеты) прямоугольного треугольника, а с — гипотенуза, самая длинная сторона.
• Прямоугольник имеет четыре прямых угла, и его диагональ образует два прямоугольных треугольника, так что мы можем использовать теорему Пифагора.
• Теорема Пифагора звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть a^2 + b^2 = c^2, где a и b — стороны (катеты) прямоугольного треугольника, а с — гипотенуза, самая длинная сторона.
• Используйте теорему Пифагора для нахождения другой стороны треугольника. К примеру, прямоугольник имеет сторону длиной 6 см и диагональ длиной 10 см. Одна сторона — 6 см, другая — b, гипотенуза — 10 см. Вставьте значения в теорему и решите. Вот, как это делается:

  Пример: 6^2 + b^2 = 10^236 + b^2 = 100b^2 = 100 – 36b^2 = 64квадратный корень (b) = квадратный корень (64)b = 8
  Длина другой стороны треугольника, которая также является другой стороной прямоугольника, — 8 см.

• Пример: 6^2 + b^2 = 10^2
• 36 + b^2 = 100
• b^2 = 100 – 36
• b^2 = 64
• квадратный корень (b) = квадратный корень (64)
• b = 8
  Длина другой стороны треугольника, которая также является другой стороной прямоугольника, — 8 см.
• Длина другой стороны треугольника, которая также является другой стороной прямоугольника, — 8 см.
• Найдите площадь прямоугольника. Поскольку для нахождения длины и ширины мы использовали теорему Пифагора, все, что нам нужно, — это помножить длину на ширину:

  Пример: 6 cм * 8 cм = 48 cм^2

• Пример: 6 cм * 8 cм = 48 cм^2
• Запишите окончательный ответ в квадратных единицах: 48 cм^2 или 48 кв. см.

Советы

• Все квадраты — прямоугольники, но не все прямоугольники — квадраты.
• При нахождении площади ответ всегда нужно записывать в квадратных единицах.

• Математика
• Геометрия
• Объём шара

Чтобы посчитать объём шара, ограниченного сферой, воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Чему равен объём шара, если:

Округление числа π: Округление ответа:

Площадь поверхности шара Sпов =

Просто введите данные, и получите ответ.

Теория

Чему равен объём шара Vшара, если его радиус r?

Формула

Для примера посчитаем чему равен объём шара в кубических сантиметрах, если его радиус r = 2 см:

Vшара = 4/3 ⋅ 3.14 ⋅ 2³ = 4/3 ⋅ 3.14 ⋅ 8 = 100.48/3 ≈ 33.493 см³

Объём шара через диаметр

Чему равен объём шара Vшара, если его диаметр d?

Vшара = 1⁄6 ⋅ π ⋅ d³

Пример

Для примера посчитаем чему равен объём шара в кубических метрах, если его диаметр d = 0.5 м:

Vшара = 1/6 ⋅ π ⋅ 0.5³ = (3.14 ⋅ 0.125) / 6 ≈ 0.0654 м³

Объём шара через длину окружности

Чему равен объём шара Vшара, если длина его окружности L?

Для примера посчитаем чему равен объём шара в кубических миллиметрах, если длина окружности у него L = 50 мм:

Vшара = 50³ ⁄ 6 ⋅ 3.14² = 125000 / 59.1576 ≈ 2113 мм³

Объём шара через площадь поверхности шара

Чему равен объём шара Vшара, если площадь его поверхности Sпов?

Для примера посчитаем чему равен объём шара в кубических сантиметрах, если площадь поверхности у него Sпов = 225 см²:

Vшара = 225³ ⁄ (36 ⋅ 3.14) = 11390625 ⁄ 113.04 = 11390625 ⁄ 113.04 ≈ 317.44 см³

Самый простой способ – перемножить две стороны. Но иногда эти две стороны неизвестны.

Умножьте его ширину на высоту. Это самый простой способ найти площадь прямоугольника. Например, если ширина прямоугольника равна 4 см, а высота – 2 см, то площадь будет равна 4*2 = 8 см.

По диагонали и стороне

Должна быть известна диагональ и любая из сторон. Действия:

• Найти квадрат диагонали, то есть умножить ее на саму себя.
• Найти квадрат известной стороны.
• Из квадрата диагонали вычесть квадрат стороны.
• Найти квадратный корень получившейся разности.
• Умножить его на известную сторону.

Пример. Сторона прямоугольника равна 3 см, а диагональ – 5 см. Найдите площадь.

• Квадрат стороны = 3*3 = 9 см.
• Квадрат диагонали = 5*5 = 25 см.
• Вычитаю из квадрата диагонали квадрат стороны: 25-9 = 16 см.
• Нахожу квадратный корень получившейся разности. Корень из 16 = 4 см.
• Умножаю корень разности на известную сторону: 16*9 = 144 см.

Ответ: 144 см.

Диагональ в прямоугольнике – это гипотенуза, потому что она всегда находится напротив угла в 90 градусов. Найти диагональ можно по формуле нахождения гипотенузы, например, поделив катет угла A на синус угла A.

По стороне и диаметру описанной окружности

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Вам надо знать диаметр этой окружности и любую из сторон прямоугольника.

• Найдите квадрат диаметра – умножьте диаметр на диаметр.
• Найдите квадрат известной стороны.
• Отнимите от квадрата диаметра квадрат стороны.
• Найдите квадратный корень разности.
• Умножьте квадратный корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если диаметр описанной окружности равен 10 см, а одна из сторон равна 8 см.

• Квадрат диаметра: 10*10 = 100 см.
• Квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
• Отнимаю от квадрата диаметра квадрат стороны: 100-64 = 36 см.
• Квадратный корень из 36 равен 6 см (потому что 6*6 = 36).
• Умножаю сторону на корень из разности: 8*6 = 48 см.

Ответ: 48 см.

Диаметр описанной окружности всегда равен диагонали прямоугольника. Смотрите:

А найти диагональ можно по формуле гипотенузы прямоугольного треугольника.

Диаметр равен двум радиусам, потому что радиус – это половина диаметра.

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

По радиусу описанной окружности и стороне

Можно просто найти диаметр (умножить радиус на два) и использовать формулу выше.

• Найти квадрат радиуса (умножьте радиус на радиус).
• Найти квадрат известной стороны.
• Отнять от четырех радиусов в квадрате квадрат известной стороны (из второго отнять третье).
• Найти квадратный корень разности.
• Умножить корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 5 см, а одна из сторон равна 6 см.

• Квадрат радиуса: 5*5=25 см.
• Четыре квадрата радиуса: 4*25 = 100 см.
• Квадрат стороны: 6*6 = 36 см.
• Отнимаю от четырех радиусов в квадрате квадрат стороны: 100-36 = 64 см.
• Нахожу квадратный корень разности. Корень из 64 равен 8 см.
• Умножаю корень на сторону: 8*6 = 48 см.

Радиус = половине диаметра.

Радиус = половине гипотенузы прямоугольного треугольника, вокруг которого описана окружность. Потому что эта гипотенуза = диагонали прямоугольника = диаметру.

По стороне и периметру – 1 способ

Если известен периметр и одна сторона, надо найти вторую сторону и перемножить их.

Пример. Периметр прямоугольника равен 14 см, а одна из  сторон равна 3 см. Найдите площадь.

• Нахожу вторую сторону прямоугольника:P=2(a+b).P=2a+2b.14= 2*3+2b.14 = 6+2b.2b = 14-6 = 8.b = 8/2.b = 4.
• P=2a+2b.
• 14= 2*3+2b.
• 14 = 6+2b.
• 2b = 14-6 = 8.
• Нахожу площадь по основной формуле. S = 3*4 = 12 см.

Ответ: 12 см.

По стороне и периметру – 2 способ

• Умножьте периметр на сторону.
• Найдите квадрат стороны.
• Отнимите от произведения периметра и стороны два квадрата стороны (от первого отнимите третье).

Пример. Сторона прямоугольника равна 8, а периметр равен 28. Найдите площадь.

• Умножаю периметр на сторону: 8*28 = 224 см.
• Нахожу квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
• Умножаю квадрат стороны на два: 64*2 = 84 см.
• Отнимаю из первого третье: 224-84 = 140 см.
• Делю разность на два: 140/2 = 70 см.

Ответ: 70 см.

По диагонали и углу между диагоналями

Диагонали прямоугольника всегда равны.

• Найти квадрат диагонали (умножить диагональ на саму себя).
• Найти синус угла между диагоналями.
• Умножить половину квадрата диагонали на синус угла между диагоналями.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

• Квадрат диагонали: 10*10 = 100 см.
• Половина этого квадрата: 0,5*100 = 50 см.
• Синус угла между диагоналями: sin 30 градусов = 0,5.
• Перемножаю половину квадрата и синус угла, чтобы найти площадь: 50*0,5 = 25 см.

Ответ: 25 см.

Вот еще вам таблица основных значений из тригонометрии. Там как раз отмечено, что синус 30 градусов всегда равен 0,5 (1/2).

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – первый способ

Радиус описанной окружности равен половине ее диаметра, а диаметр равен диагонали прямоугольника. Надо найти диаметр и посчитать площадь по формуле выше.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

• Находим длину диагонали: 6*2 =12 см.
• Квадрат диагонали равен 144 см.
• Половина квадрата: 72 см.
• Синус 30 градусов равен 0,5.
• Умножаем половину квадрата на синус: 72*0,5 = 36 см.

Ответ: 36 см.

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – второй способ

• Найти квадрат радиуса (умножить радиус на радиус).
• Умножить квадрат радиуса на два.
• Найти синус угла между диагоналями.
• Умножить синус угла на два радиуса в квадрате.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6, а угол между диагоналями – 30 градусов.

• Два радиуса в квадрате: 36*2 = 72.
• Синус 30 градусов равен 0,5.
• Произведение синуса и двух радиусов в квадрате: 72*0,5 = 36 см.

Покритикуйте статью и стиль подачи материала в комментариях, я внесу правки. Это моя вторая статья по математике, я хочу, чтобы они все были образцовыми.

МБОУ гимназии № 19 им.Н.З.Поповичевой г.Липецка Учитель математики Маликова Ольга Георгиевна

1 2 3 4 5 Кроссворд: Free Template from www.brainybetty.com 2 Сумма длин сторон геометрической фигуры. Инструмент для измерения длины отрезка. Правило, записанное с помощью букв. Пройденный путь. Арифметическое действие П Е Р И М Е Т Р Л И Н Е Й К А Ф О Р М У Л А Р А С С Т О Я Н И Е Д Е Л Е Н И Е Щ Ь

Разгадайте ребус ПРЯМОУГОЛЬНИК

Площадь. Формула площади прямоугольника.

1 см 1 см Чему равна площадь такого квадрата? 1 см 2 Площадь квадрата со стороной 1 см называется квадратным сантиметром

Найдите площади фигур, если длина стороны квадрата 1 см.

Задание 1. Какие фигуры равны? 1 2 3 5 4 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Две фигуры называются РАВНЫМИ , если одну из них можно так наложить на другую, что эти фигуры совпадут. Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДИ Площадь прямоугольника: S = a·b b a Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами. Площадь квадрата: S = a· а а Площадь треугольника равна половине площади прямоугольника: S = a·b :2 А В С a b

Задание 2. Найдите неизвестные элементы таблицы S 30 см² 18 дм² 60 см² a 6 c м 3 см 1 дм X мм b 4 см 2 дм 8 см 1 дм 2 см 25 мм S = a · b a = S : b b = S : a 30 24 см² 10 см 9 дм 80 см² 5 см 25х м м²

Решить: № 718 Домашнее задание: п. 18, № 737 – 739

Формула площади для квадрата и прямоугольника

Геометрия, как часть математики, рассматривает целый ряд геометрических фигур: круг, квадрат, прямоугольник, треугольник и многих других.

Геометрические фигуры являются множеством точек на плоской поверхности, которые соединяются прямыми и на выходе становятся разными фигурами с разными особенностями.

Параметры геометрических фигур, такие как длины сторон, периметр, площадь, можно находить разными способами в зависимости от типа фигуры.

Площадь — параметр измерения геометрической фигуры, который передает информацию о ее размере.

Площадь в геометрии обозначается знаком S, от английского square — площадь. Понятием площади пользуются как люди науки — математики, физики, так и люди рабочих профессий, например, строители.

Данная характеристика измеряется в единицах измерения в квадрате, например, квадратный сантиметр (см2), квадратный метр (м2), гектар (га).

Квадрат и прямоугольник являются фигурами, у которых есть по 4 прямых угла. Их отличает только длина сторон — у прямоугольника не все 4 стороны равны, они равны попарно относительно противоположных.

Площадь правильно построенного прямоугольника можно найти через перемножение его сторон друг на друга.

С помощью данной формулы можно найти площади классов или комнат, а также стен, что может помочь как в решении математических, так и бытовых задач.

3d моделью прямоугольника можно считать параллелепипед.

Площадь квадрата можно найти двумя способами:

• по длине стороны в квадрате;
• по длине диагонали.

Так как квадрат является частным случаем прямоугольника, его площадь также можно найти по формуле S=a×b, однако в таком случае a и b будут равны, а формула по смыслу будет повторять выше написанную.

В некоторых случаях необходимо нахождение площади квадрата через диагональ. Это может быть связано с решением определенной геометрической задачи или в связи с практическим удобством.

Формула площади для круга и эллипса

Круг и эллипс относятся к фигурам, которые состоят из множества точек, соединенных кривыми. Данные фигуры не содержат углов, однако это не значит, что у них нельзя найти площадь.

Площадь круга можно найти двумя способами:

• через радиус;
• через диаметр.

Радиус является отрезком, соединяющим центр окружности и точку на самой окружности.

Диаметр, в отличие от радиуса, соединяет 2 точки на окружности, но при этом также проходит через ее центр. По сути, диаметр является удвоенным радиусом.

Через знание формулы площади круга и прямоугольника можно узнать площадь оболочки цилиндра: боковые стороны будут кругами, а основная часть — свернутым прямоугольником.

Эллипс отличается от круга тем, что его радиусы и диагонали не равны, так как некоторые его части находятся на большем отдалении от цента, чем другие.

Для нахождения площади эллипса необходимо знать его оси.

Осями эллипса являются диагонали эллипса, проведенные через самые ближние точки самого эллипса и центр и через самые дальние точки самого эллипса и центр.

Формула площади для параллелограмма, ромба и трапеции

Параллелограмм, ромб и трапеция отличаются от квадрата и прямоугольника тем, что не все их углы имеют 90°. Из-за этого их площадь изменится, даже при равных значениях сторон, по отношению к площади квадрата и прямоугольника.

Параллелограмм является четырехугольником, чьи стороны попарно параллельны. Частными случаями данной фигуры являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Площадь параллелограмма можно найти тремя способами:

• через сторону и высоту;
• через две стороны и величину угла между ними;
• через диагонали и угол между ними.

Ромб является частным случаем параллелограмма, чьи стороны равны.

Его площадь можно найти тремя способами:

• по длине стороны и высоте;
• по длине стороны и углу;
• по длинам его диагоналей.

Трапеция имеет четыре угла, которые не равны между собой, но в сумме дают 360°. Две стороны данной фигуры параллельны, а две другие — нет. Параллельные стороны считаются основаниями трапеции, непараллельные — боковыми сторонами.

Площадь трапеции можно найти двумя способами:

• по формуле Герона;
• по длине основ и высоте.

Формула площади треугольника по гипотенузе и острому углу

Треугольник является геометрической фигурой, имеющей три угла и три прямых, соединяющих их. Все треугольники делятся:

• по величине углов на острые, тупые и прямоугольные;
• по числу равных сторон на разносторонние, равносторонние и равнобедренные.

Одной из возможных формул нахождения площади треугольника является формула:

Определение площади треугольника другими способами

Помимо этого, площадь треугольника также можно найти через:

• сторону и высоту;
• через три стороны;
• через две стороны и угол между ними;
• через три стороны и радиус описанной окружности;
• через три стороны и радиус вписанной окружности.

Следует отметить, что находить площадь геометрических фигур можно через другие фигуры, когда, например, их разбивают на части. Так, площадь квадрата можно найти, сложив площади двух треугольников, а площадь параллелограмма — через сумму площади двух треугольников и прямоугольника или квадрата.

Примеры решения задач

«Формула площади прямоугольника»

Тест по теме «Площадь прямоугольника»

Выбирайте формулу, ориентируясь на известные величины.

Если известны две соседние стороны

Просто перемножьте две стороны прямоугольника.

• S — искомая площадь прямоугольника;
• a и b — соседние стороны.

Если известны любая сторона и диагональ

Найдите квадраты диагонали и любой стороны прямоугольника.

От первого числа отнимите второе и найдите корень из результата.

Умножьте длину известной стороны на полученное число.

• S — искомая площадь прямоугольника;
• a — известная сторона;
• d — любая диагональ (напомним: обе диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину).

Если известны любая сторона и диаметр описанной окружности

Найдите квадраты диаметра и любой стороны прямоугольника.

Умножьте известную сторону на полученное число.

• S — искомая площадь прямоугольника;
• a — известная сторона;
• D — диаметр описанной окружности.

Если известны любая сторона и радиус описанной окружности

Отнимите от полученного числа квадрат известной стороны.

Найдите корень из результата и умножьте на него длину известной стороны.

• S — искомая площадь прямоугольника;
• a — известная сторона;
• R — радиус описанной окружности.

Если известны любая сторона и периметр

Умножьте периметр на длину известной стороны.

• S — искомая площадь прямоугольника;
• a — известная сторона;
• P — периметр прямоугольника (равен сумме всех сторон).

Если известны диагональ и угол между диагоналями

Найдите квадрат диагонали.

Умножьте результат на синус угла между диагоналями.

• S — искомая площадь прямоугольника;
• d — любая диагональ прямоугольника;
• α — любой угол между диагоналями прямоугольника.

Если известны радиус описанной окружности и угол между диагоналями

Найдите квадрат радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Умножьте полученное число на 2, а потом на синус угла между диагоналями.

• S — искомая площадь прямоугольника;
• R — радиус описанной окружности;
• α — любой угол между диагоналями прямоугольника.

1 3 2 5 4 6 7 8 Укажите все прямоугольники.

Как найти периметр прямоугольника? a b P= 4 a Как найти периметр квадрата? a P=2( a+b )

Найдите периметр прямоугольника со сторонами: Найдите периметр квадрата со стороной: а) 12 см а ) 8 и 7 см б ) 14 и 8 м б ) 15 м в ) 7 дм в ) 10 и 9 см г ) 6 и 5 дм г ) 101 мм 30 см 44 м 38см 22 дм 48 см 60 м 28 дм 404 мм

Один квадрат равен 1 см 2 . Чему равна площадь фигур? 10 11 Чему равна площадь прямоугольников ? 10 12

Как вы думаете чем мы будем заниматься сегодня на уроке? Сформулируйте т ему урока, цель. Всегда ли удобно разбивать прямоугольник на квадратные сантиметры, чтобы найти его площадь? Как найти площадь прямоугольника не подсчитывая квадраты? Какие измерения нужно произвести?

Тема: Научиться находить площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника. Цель урока:

Чтобы найти площадь прямоугольника нужно умножить его длину на ширину. S=ab . a b Формула:

Две фигуры называют равными, если одну из них можно так наложить на вторую, что эти фигуры совпадут.

A C B K F L E D N M Какие из флажков равны? A, D, L,N B, K C, E, F, M

Равны ли выкройка и вырезанный по ней кусок материи? Да.

Какие из отрезков АВ, МР, С D, OK, EF равны, если МР = 5 см, АВ = 3 см С D = 30 мм , EF = 84 мм, OK = 50 мм , B М = 40 д м , АС = 200 см D F = 400 мм , KL = 4000 мм, OK = 20 дм , C F = 2 м,

Длина прямоугольника ABCD равна 28 см, а его ширина в 7 раз меньше. Чему равна площадь прямоугольника? D B A C BC=28 :7= 4 (см), S=AB*BC = 28* 4 =112 (см 2 ). АВ = 28 (см), Ответ: 1 12 см 2 .

Ширина прямоугольника К NMT равна 26 см, а его длина на 14 см больше. Чему равна площадь прямоугольника? T N K M KM=26+14 = 4 0 (см), S=MN*KM = 26* 4 0=1040 (см 2 ). MN = 26 (см), Ответ: 1 040 см 2 .

Чему равна площадь каждого из треугольников, на которые разбивает отрезок КМ этот прямоугольник? T N K M 1040:2 =520 (см 2 ) Ответ: 520 см 2 .

Два прямоугольника имеют равные площади. Длина первого прямоугольника 16 см, а его ширина на 12 см меньше длины. Длина второго прямоугольника 32 см. Найдите ширину второго прямоугольника. 16*4=64 (см 2 ) 64:32=2 (см ). 16-12=4 (см), Ответ: 2 см. S S Найдем площадь первого прямоугольника: Найдем ширину второго прямоугольника:

Как изменится площадь прямоугольника, если ширину увеличить в 2 раза? Уменьшить в 3 раза? K ак изменится площадь квадрата если его сторону уменьшить в 2 раза?

Рефлексия Что нового вы узнали? Какая была цель урока? Как вы считаете, достигли мы поставленной цели? С чем возникли трудности? Оцените свою работу на уроке.

Домашнее задание Выучить свойства площадей. С. 112, № 737, 738; с. 113, №

Использованная литература: Н. Я. Виленкин «Математика. 5 класс». Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2014 ; Фон – http://lenagold.ru/ Все рисунки созданы автором презентации Мартенс Е.В. Использование презентации или ее элементов без указания авторства – запрещено. Примечание:

• Математика
• Геометрия
• Площадь поверхности шара

Чтобы посчитать площадь поверхности шара (площадь сферы) воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Чему равна площадь поверхности шара, если:

Просто введите известный вам параметр, и узнаете площадь сферы шара.

Ликбез: Поверхность шара — сфера.

Площадь поверхности шара через радиус

Чему равна площадь поверхности шара Sпов, если его радиус r:

Для примера посчитаем какая площадь поверхности у шара, если его радиус r = 3 см:

Sпов = 4 ⋅ 3.14 ⋅ 3² = 12.56 ⋅ 9 = 113.04 см²

Площадь поверхности шара через диаметр

Чему равна площадь поверхности шара Sпов, если его диаметр d?

Для примера посчитаем какая площадь поверхности у шара, если его диаметр d = 6 см:

Sпов = 3.14 ⋅ 6² = 3.14 ⋅ 36 = 113.04 см²

Площадь поверхности шара через длину окружности

Чему равна площадь поверхности шара Sпов, если длина его окружности L?

Для примера посчитаем чему равна площадь поверхности шара, имеющего длину окружности L = 10 см:

Sпов = 10² ⁄ 3.14 ≈ 31.85 см²

• Если у фигуры все стороны равны, в задаче дан квадрат. Квадрат является частным случаем прямоугольника.Если данная в задаче фигура не соответствует приведенным условиям, она не является прямоугольником.
• Если у фигуры все стороны равны, в задаче дан квадрат. Квадрат является частным случаем прямоугольника.
• Если данная в задаче фигура не соответствует приведенным условиям, она не является прямоугольником.
• Единицы измерения площади записываются так: м2, см2 и так далее.
• Найдите длину и ширину прямоугольника. Длина прямоугольника — это его верхняя или нижняя сторона. Ширина прямоугольника — это одна из его боковых сторон. Измерьте стороны прямоугольника с помощью линейки, чтобы найти длину и ширину.
  Например, длина прямоугольника равна 5 см, а ширина равна 2 см.
• Например, длина прямоугольника равна 5 см, а ширина равна 2 см.
• В формулу подставьте значения переменных и вычислите площадь. В формулу подставьте значения длины и ширины, которые вы только что нашли, а затем перемножьте их, чтобы вычислить площадь прямоугольника.
  В нашем примере: S = l x w = 5 x 2 = 10 см2.
• В нашем примере: S = l x w = 5 x 2 = 10 см2.

• Удостоверьтесь, что в задаче дан прямоугольник (показан на рисунке). Помните, что у прямоугольника противоположные стороны параллельны и равны (верхняя и нижняя стороны, а также боковые стороны). Более того, боковые стороны перпендикулярны (пересекают под 90°) верхней и нижней сторонам.
  Если у фигуры все стороны равны, в задаче дан квадрат. Квадрат является частным случаем прямоугольника.Если данная в задаче фигура не соответствует приведенным условиям, она не является прямоугольником.
• Если у фигуры все стороны равны, в задаче дан квадрат. Квадрат является частным случаем прямоугольника.
• Если данная в задаче фигура не соответствует приведенным условиям, она не является прямоугольником.
• Единицами измерения периметра являются единицы измерения длины, например, метры, сантиметры и так далее.
• Найдите длину и ширину прямоугольника. Длина прямоугольника — это его верхняя или нижняя сторона. Ширина прямоугольника — это одна из его боковых сторон. Измерьте стороны прямоугольника с помощью линейки, чтобы найти длину и ширину.
  Например, длина прямоугольника равна 5 см, а ширина равна 2 см.
• Например, длина прямоугольника равна 5 см, а ширина равна 2 см.
• В формулу подставьте значения переменных и вычислите периметр. В формулу подставьте значения длины и ширины, которые вы только что нашли. Периметр можно вычислить двумя способами в зависимости от выбранной вами формулы. Если вы выбрали формулу P = 2(l + w), сложите значения длины и ширины, а затем сумму умножьте на 2. Если вы выбрали формулу P = 2l + 2w, умножьте длину на 2, затем ширину умножьте на 2, а затем сложите полученные значения.
  В нашем примере: P = 2(l + w) = 2(2 + 5) = 2(7) = 14 см.В нашем примере: P = 2l + 2w = (2 x 2) + (2 x 5) = 4 + 10 = 14 см.
• В нашем примере: P = 2(l + w) = 2(2 + 5) = 2(7) = 14 см.
• В нашем примере: P = 2l + 2w = (2 x 2) + (2 x 5) = 4 + 10 = 14 см.

Что вам понадобится

• Бумага
• Ручка или карандаш
• Линейка, чтобы измерять стороны