Показательные уравнения и неравенства в 10 классе. Открытый урок по алгебре и началам анализа (10 класс)

План урока:

Простейшие показательные уравнения ах = b

Уравнения вида а^f(x)= a^g(x)

Задачи, сводящиеся к показательным уравнениям

Уравнения с заменой переменных

Графическое решение показательных уравнений

Показательные неравенства

В данной статье я хочу привести методический материал, который использую при проведении обобщающего урока по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств» с учениками 10 класса.

Цель урока: систематизировать знания о методах решений различных типов указанных уравнений и неравенств, закрепить навыки решения задач.

Обобщить и систематизировать знания учащихся о показательной функции и
ее свойствах, о методах решения показательных уравнений и неравенств.
Показать как одна из линий курса математики средней школы “Уравнения и
неравенства” реализуются в содержании ЕГЭ.
Развивать практические навыки в решении показательных уравнений и
неравенств.
Развивать логическое мышление, математическую речь, навыки
самостоятельной работы, самоконтроля.
Воспитывать познавательный интерес, творческие способности,
ответственное отношение.

Карточки-бланки;
Тесты ЕГЭ;
Карточки-задания;
Карточки с алгоритмами;
Мультимидийный проектор.

1. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы повторим свойства показательной функции, методы решения
показательных уравнений и неравенств. В течении всего урока мы будем решать
задания /ЕГЭ по этой теме .

2. Актуализация опорных знаний.

1. Устная работа (блиц-опрос, Презентация
Слайд 2).

2. Проверка домашнего задания.

Ребята, как вы думаете, а только ли на уроках математики мы встречаемся с
показательной функцией? О применении показательной функции в природе и техники
готовили проект 1-я группа учеников, послушаем их отчет (презентация проекта).
Как видите во всех приведенных примерах используется показательная функция.

3. Устная работа (блиц-опрос, Слайд 3).

4. Вспомните, какие методы решения показательных уравнений вы знаете (работа
по таблице Слайд 4).

5. Работа с таблицей.

У вас на столах лежит таблица № 1, не решая уравнения сгруппируйте их по
методам решения (Слайд 5).

3. Страничка ЕГЭ (Слайд 6).

1. Решить уравнения (к доске вызвать 3-х учеников, решают за доской,
остальные самостоятельно. Ученики у доски должны выбрать свое уравнение по
указанному методу решения). Проверка решения уравнения.

2. Все эти задания вы решили из первой части ЕГЭ, а какие задания могут быть
во второй части ЕГЭ. О решении показательных уравнений из части С готовила
проект 2-я группа учеников (презентация проекта).

4. Мы говорили с вами о том, что показательная функция является
возрастающей или убывающей. А для чего нужно знать эти свойства?

1. Устная работа (Слайд 8).

2. Вспомните способы решения показательных неравенств (Слайд 8).

3. Решить неравенства (к доске вызвать 3-х учеников, решают за доской,
остальные самостоятельно).

5. Страничка ЕГЭ.

Решение однородных неравенств второй степени (презентация проекта).

6. Самостоятельная работа, тест (Слайд 9).

7. Подведение итогов урока (Слайд 10).

8. Домашнее задание. Итоговый тест.

Цели урока.

Образовательные:

обобщить теоретические знания, используемые
при решении иррациональных уравнений;
организовать работу учащихся на уровне,
соответствующем уже сформированных знаний.

Развивающие:

формирование умения выделять главное,
сравнивать, анализировать и делать выводы;
формирование умения формулировать
познавательные задачи, планировать
познавательную деятельность;
развивать качества личности – трудолюбие,
аккуратность, настойчивость в достижении цели.

Воспитательные:

выработка объективной оценки своих достижений;
формирование ответственности.

I этап – организационный. Учитель
сообщает тему и цель урока.

1 группа – развить умения решать иррациональные
уравнения на базовом уровне.
2 группа – закрепить и развить умения решать
иррациональные уравнения базового и повышенного
уровня сложности.
3 группа – закрепить умения решать
иррациональные уравнения повышенного уровня
сложности.

II этап – повторение теоретического
материала по теме.

Дайте определение иррационального уравнения.
Приведите примеры.

Задание: какие из этих уравнений являются
иррациональными

Какие уравнения называются равносильными.

Задание: равносильны ли пары уравнений

Как решить уравнение .

На доске вывешивается плакат:

Задание: решить устно уравнения

Задание: почему данные уравнения не имеют
корней

III этап – работа в разноуровневых
группах.

Решить уравнение вместе со всем классом на доске. Далее 1
группа работает самостоятельно

Найти сумму корней уравнения

1) 6; 2) 2; 3) – 6; 4) – 2.

Какому промежутку принадлежит корень
уравнения

1) (- 2; 0); 2) (0; 2); 3) (2; 4); 4) (4; 8).

Решить уравнение

Решить уравнение вместе со 2 и 3 группами на доске. Далее 2
группа работает самостоятельно

Какому промежутку принадлежит корень
уравнения

1) (- 12; – 8); 2) (- 8; – 4); 3) (-4; 0); 4) (0; 4).

Решить уравнение .

Решить уравнение вместе с 3 группой. Далее 3 группа
работает самостоятельно

Решить уравнение

IV этап – применение полученных знаний
и умений в новой ситуации.

Указать наибольшее целое значение параметра а,
при котором уравнение имеет единственное решение.

V этап – подведение итогов урока.
Учитель и учащиеся повторяют теоретические
факты и типы уравнений, которые вспомнили на
уроке. Выставляются оценки за урок. (Можно оценки
за урок поставить на следующем уроке после
проверки домашнего задания).

VI этап – домашнее задание
(разноуровневое).

Решить уравнения

1 группа.

2 группа.

3 группа.

Решением неравенства

f(x)>g(x)

называют всякое значение переменной \(x\), которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство.

Этот термин применяют для обозначения и общего решения, и частного решения, и процесса.

Определение 1.

Два неравенства с одной переменной —

f(x)>g(x)

p(x)>h(x)

— называются равносильными, если их решения совпадают.

Вместо знака \(>\) может стоять любой другой знак неравенства (меньше, меньше либо равно, больше либо равно).

Определение 2.

Если решение неравенства

p(x)>h(x)

\((1)\)

включает решение неравенства

f(x)>g(x)

, \((2)\)

то неравенство \((1)\) является следствием неравенства \((2)\).

Покажем, что неравенство

3x2x+2>1

— следствие неравенства

3x>2x+2

. Действительно, решим каждое неравенство:

3x2x+2−1>0;x−22x+2>0;x∈(−∞;−1)∪(2;+∞)

3x>2x+2;x>2;x∈(2;+∞).

Неравенство

3x2x+2>1

является следствием неравенства

3x>2x+2

, так как решение второго неравенства является решением первого неравенства.

При решении неравенств используют \(6\) теорем о равносильности.

Теорема 1.

Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 2.

Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечётную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 3.

Показательное неравенство

af(x)>ag(x)

равносильно:

а) неравенству

f(x)>g(x)

, при \(a>1\);

б) неравенству

f(x)<g(x)

, при \(0<a<1\).

Теорема 4.

a) При умножении обеих частей неравенства

f(x)>g(x)

на одинаковое выражение \(h(x)\), положительное при всех \(x\) из области определения (области допустимых значений переменной) неравенства

f(x)>g(x)

, оставив при этом знак неравенства без изменения, получаем неравенство

f(x)⋅h(x)>g(x)⋅h(x)

, равносильное данному.

б) При умножении обеих частей неравенства

f(x)>g(x)

на одинаковое выражение \(h(x)\), отрицательное при всех \(x\) из области определения неравенства

f(x)>g(x)

, изменяя при этом знак неравенства на противоположный, получаем равносильное данному неравенство

f(x)⋅h(x)<g(x)⋅h(x)

Теорема 5.

Если обе части неравенства

f(x)>g(x)

неотрицательны в области его определения (в ОДЗ), то после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же чётную степень \(n\) получится неравенство того же смысла

f(x)n>g(x)n

, равносильное данному.

Теорема 6.

Если

f(x)>0

g(x)>0

, то логарифмическое неравенство

logaf(x)>logag(x)

равносильно:

а) неравенству того же смысла

f(x)>g(x)

, если \(a>1\);

б) неравенству противоположного смысла

f(x)<g(x)

, если \(0<a<1\).

Равносильные уравнения и неравенства

План урока

Понятие равносильности уравнений
Понятие равносильности неравенств
Преобразования, приводящие к равносильности уравнений или неравенств
Понятие уравнения-следствия
Преобразования, приводящие к посторонним корням и потере корней при решении уравнений
Решение задач на установление равносильности уравнений или неравенств

Цели урока

Знать определение равносильных уравнений и неравенств, уравнения-следствия, при каких преобразованиях происходит замена уравнения равносильным ему, при каких появляются посторонние корни, а при каких корни теряются
Уметь устанавливать равносильность и следствие, выполнять преобразования при решении уравнений и неравенств

Разминка

1. Решить неравенство:

а) -3×2+2x+5≤0;

б) x2-3x-3×2-2x+2>0;

в) x(x+5)≥0.

2. Решить уравнение:

а) x-2x+3-30×2-9=3;

б) 6×2+x-1=0;

в) (x+10)(x-2)=2(x-2)(5-x).

Рассмотрим важный вопрос, связанный с решением уравнений и неравенств на множестве действительных чисел, а именно как правильно преобразовывать уравнения и неравенства к «более простому виду», не теряя корни, не изменяя область допустимых значений, когда надо делать проверку полученных корней.

Пусть есть два уравнения 25x=5 и 5x-1=0. Корнем первого уравнения является x=15, он же является и корнем второго уравнения. Такие уравнения называются равносильными.

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются
равносильными
.

Уравнения, не имеющие корней, также являются
равносильными
.

Например, уравнения (x-8)(x+3)=0 и x2-5x-24=0 являются равносильными, т.к. они имеют одни и те же корни x1=8, x2=-3. Уравнения x2-16=0 и 5x=20 неравносильны, у первого корни x1=4 и x2=-4, у второго только x=4.

Равносильность неравенств с неизвестным определяется аналогично.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называются
равносильными
.

Неравенства, не имеющие решений, также являются
равносильными
.

Например, неравенства x+8×2+9>0 и x+8>0 равносильны, т.к. множества их решений совпадают – x>-8. А неравенства 3x-4x+2>1 и 3x-4>x+2 не будут равносильными: решение первого (-∞;-2)∪(3;+∞), второго – (3;+∞).

При решении любого уравнения или неравенства первостепенной задачей является преобразовать исходное выражение к «более простому виду». Понятно, что этот термин не совсем определяем, обычно, нам кажется выражение более простым, чем другое, по внешним признакам. И тут возникает вопрос, а совпадает ли множество решений исходного уравнения или неравенства с тем, что получили после всех преобразований? Получились ли лишние корни, или, наоборот, не потеряли ли их? Не изменилась ли область допустимых значений? Рассмотрим преобразования, приводящие к равносильному уравнению или неравенству.

Видно, что не при любом преобразовании уравнение заменяется равносильным ему. Например, 3x+4=2-x. При возведении во вторую степень получим уравнение 3x+4=(2-x)2. Оно не равносильно исходному, т.к. решение первого x=0, а второго x=0, x=7. В таком случае говорят, что второе уравнение является следствием первого.

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называют следствием первого уравнения.

Из определений равносильности двух уравнений и уравнений-следствий следует, что:

Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.
Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

При решении уравнений могут появиться посторонние корни или, наоборот, корни можно потерять.

Посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение с неизвестной. Потеря корней – при делении обеих частей уравнения на выражение с неизвестной.

Главное, корни не потерять, а наличие посторонних корней можно установить проверкой.

Например, при решении уравнения (x+7)(x-2)=(x+4)(x+7) деление обеих частей уравнения на (x+7) приведет к потере корня x=–7. А умножение обеих частей уравнения 3×2+2x-1x+1=5 на (x+1) к постороннему корню x=–1.

Выяснить какое из двух данных уравнений x2-4x-32=0 и x-8=0 является следствием другого.

Решение

Первое уравнение имеет корни x1=8, x2=-4, а второе x=8. Значит, первое уравнение является следствием второго.

Ответ: x2-4x-32=0.

Выяснить какое из двух данных уравнений 25-x2=0 и x2-25x+5=0 является следствием другого.

Выяснить равносильны ли уравнения x(x-3)=0 и x(x2-9)=0.

Решение

Корни первого уравнения x=0,x=3, второго – x=0,x=3,x=-3. Значит, уравнения не являются равносильными.

Ответ: не равносильны.

Выяснить равносильны ли уравнения x2=4 и (x-2)(x+2)=0.

Выяснить равносильны ли неравенства 4x+22x-5≤6 и 4x+2≤6(2x-5).

Решение

Неравенство 4x+22x-5≤6 равносильно неравенству 4x+22x-5-6≤0 , значит, и неравенству 4x+2-6(2x-5)2x-5≤0, x-42x-5≥0. Решением последнего будет x∈(-∞;2,5)∪[4;+∞).

Решением неравенства 4x+2≤6(2x-5) является промежуток [4;+∞).

Значит, неравенства не равносильны.

Ответ: не равносильны.

Выяснить равносильны ли неравенства x(x+3)<0 и xx+3<0.

Итак:

Уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называются равносильными.
Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называются равносильными.
Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.
При решении уравнений можно заменять уравнение равносильным ему уравнением (без проверки на выявление посторонних корней), заменять уравнение его следствием (с последующей проверкой).

Известно, что оба уравнения не имеют корней. Являются ли они равносильными?
Даны два уравнения, каждое из которых является следствием другого. Можно ли назвать эти уравнения равносильными?
Назовите неравносильные преобразования уравнений.
Назовите основные причины возможной потери корней при решении уравнений.

Ответы

Упражнение 1

25-x2;

Упражнение 2

равносильны;

Упражнение 3

равносильны.

Тема: «Иррациональные уравнения вида , .»

(Методическая разработка.)

Основные понятия

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала) или знаком возведения в дробную степень.

Уравнение вида f(x)=g(x), где хотя бы одно из выражений f(x) или g(x) иррационально является иррациональным уравнением.

Основные свойства радикалов:

Все радикалы четной степени являются арифметическими, т.е. если подкоренное выражение отрицательно, то радикал не имеет смысла (не существует); если подкоренное выражение равно нулю, то радикал тоже равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение радикала существует и положительно.
Все радикалы нечетной степени определены при любом значении подкоренного выражения. При этом радикал отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если покоренное выражение положительно.

Методы решения иррациональных уравнений

Решить иррациональное уравнение – значит найти все действительные значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение оно обращается в верное числовое равенство, либо доказать, что таких значений не существует. Иррациональные уравнения решаются на множестве действительных чисел R.

Областью допустимых значений уравнения состоит из тех значений переменной, при которых неотрицательны все выражения, стоящие под знаком радикалов четной степени.

Основными методами решения иррациональных уравнений являются:

а) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

б) метод введения новых переменных (метод замен);

в) искусственные приемы решения иррациональных уравнений.

В данной статье остановимся на рассмотрении уравнений определённого выше вида и приведём 6 методов решения таких уравнений.

1 метод. Возведение в куб.

Этот способ требует применения формул сокращённого умножения и не содержит «подводных» камней, т.е. не приводит к появлению посторонних корней.

Пример 1. Решить уравнение

Решение:

Перепишем уравнение в виде и возведём в куб обе его части. Получим уравнение равносильное данному уравнению ,

Ответ: х=2, х=11.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение:

Перепишем уравнение в виде и возведём в куб обе его части. Получим уравнение равносильное данному уравнению

и рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно одного из корней

следовательно, дискриминант равен 0,а уравнение может иметь решение х=-2.

Проверка:

Ответ: х=-2.

Замечание: Проверка может быть опущена, в том случае, если дорешивается квадратное уравнение.

2 метод. Возведение в куб по формуле.

По-прежнему будем возводить уравнение в куб, но при этом пользоваться модифицированными формулами сокращенного умножения.

Воспользуемся формулами:

(незначительная модификация известной формулы), тогда

Пример3. Решить уравнение .

Решение:

Возведём уравнение в куб с использованием формул, приведённых выше.

Но выражение должно быть равно правой части. Поэтому имеем:

, откуда

Теперь при возведении в куб получаем обычное квадратное уравнение:

, и два его корня

Оба значения, как показывает проверка, правильные.

Ответ: х=2,х=-33.

Но все ли преобразования здесь равносильны? Прежде чем ответить на этот вопрос, решим ещё одно уравнение.

Пример4. Решить уравнение .

Решение:

Возводя, как и ранее, обе части в третью степень, имеем:

Откуда (учитывая, что выражение в скобках равно ), получаем:

, значит

. Получаем, .Сделаем проверку и убедимся х=0 –посторонний корень.

Ответ: .

Ответим на вопрос: «Почему возникли посторонние корни?»

Равенство влечёт равенство . Заменим с на –с, получим:

и .

Нетрудно проверить тождество

Итак, если , то либо , либо . Уравнение можно представить в виде , .

Заменяя с на –с, получаем: если , то либо , либо

Поэтому при использовании этого метода решения обязательно нужно сделать проверку и убедиться что посторонних корней нет.

3 метод. Метод системы.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение:

Введём замену, составим и решим систему уравнений.

Пусть , . Тогда:

откуда очевидно, что

Второе уравнение системы получается таким образом, чтобы линейная комбинация подкоренных выражений не зависела от исходной переменной.

Легко убедиться , что система не имеет решения, следовательно и исходное уравнение не имеет решения.

Ответ: Корней нет.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение:

Введём замену, составим и решим систему уравнений.

Пусть , . Тогда

или

Возвращаясь к исходной переменной имеем:

х=0.

Ответ: х=0.

4 метод. Использование монотонности функций.

Прежде чем использовать данный метод обратимся к теории.

Нам понадобятся следующие свойства:

Если функции y=f(x) и y=g(x) возрастают (убывают) на некотором множестве, то функция y=f(x)+g(x) также возрастает (убывает ) на этом множестве.
Если функции y=f(x) и y=g(x) возрастают (убывают) на некотором множестве, при чем обе они принимают неотрицательные значения при всех допустимых х, то функция y=f(x)g(x) возрастает (убывает) на данном множестве.
Если функция y=f(x) монотонная, то уравнение f(x)=a имеет не более одного решения.
Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют разный характер монотонности, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения.
Функция вида возрастает при к>0 и убывает при к<0.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение:

Левая часть уравнения возрастающая функция, а правая – число, т.е. константа, следовательно, уравнение имеет не более одного корня, который подберём: х=9. Проверкой убедимся, что корень подходит.

Ответ: х=9.

Пример 8. Решить уравнение .

Решение:

Левая часть уравнения возрастающая функция, а правая – число, т.е. константа, следовательно, уравнение имеет не более одного корня, который подберём: х=-2. Проверкой убедимся, что корень подходит.

Ответ: х=-2.

Последнее уравнение можно представить ином виде , тогда правая часть уравнения убывает, а левая возрастает, следовательно уравнение имеет не более одного корня , и приходим к х=-2.

5 метод. Графический метод решения уравнений.

Пример 9. Решить уравнение

Решение:

Перепишем уравнение в виде: Построим графики левой и правой частей.

Рисунок 1

Графики пересекаются в точке (-1;2), х=-1.

Проверка: 2=2 (верно).

х=-1 – является корнем исходного уравнения.

Ответ: х=-1.

6 метод. Метод замены

Пример. Решить уравнение:

Решение:

Введём замену. Пусть тогда уравнение принимает вид

t=0 или – нет решений.

t=0, тогда возвращаясь к исходной переменной имеем: х=-8.

Ответ: х=-8.

Задания для самостоятельного решения.

№1. Решить уравнение		№2. Каждое уравнение решите двумя способами.

№3. Решите уравнение.

Литература:

Глазков Ю.А. , Корешкова Т.А., Мирошин В.В. Шевелева Н.В. Математика. ЕГЭ.: методическое пособие для подготовки. – М.: Издательство «Экзамен», 2007.
Моденов П.С. Пособие по математике, Ч.1, М:, 1977.
Башмаков М.И. Беккер Б.М., Гольховой В.М. Сборник задач по алгебре и анализу, Библиотечка «Квант», М., 1983.
Ципкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. М., Наука, 1983.

Содержание

.
Уравнения вида аf(x) = ag(x)
Тема 12. Уравнения и неравенства
.
.
.
.
Простейшие показательные уравнения ах = b
.
Уравнения с заменой переменных
.
.
.
.
.
.
.
.
Тема 12. Уравнения и неравенства
.
Тема 12. Уравнения и неравенства
.
.
.
Ход урока
Показательные уравнения
Показательные неравенства
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
.
.
Показательные неравенства
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Методические разработки, презентации и конспекты
.
.
Задачи, сводящиеся к показательным уравнениям
Графическое решение показательных уравнений
Вывод

.

Решение.
+
–
+
Ответ: –6, 1.

Уравнения вида аf(x) = ag(x)

Рассмотрим чуть более сложное показательное ур-ние

Для его решения заменим показатели степеней другими величинами:

Теперь наше ур-ние принимает вид

Такие ур-ния мы решать умеем. Надо лишь приравнять показатели степеней:

При решении подобных ур-ний введение новых переменных опускают. Можно сразу приравнять показатели степеней, если равны их основания:

В общем случае использованное правило можно сформулировать так:

Задание. Найдите корень ур-ния

Решение. Представим правую часть как степень двойки:

Тогда ур-ние примет вид

Теперь мы имеем право приравнять показатели:

Ответ: – 1

Задание. Укажите значение х, для которого выполняется условие

Решение. Здесь удобнее преобразовать не правую, а левую часть. Заметим, что

С учетом этого можно записать

Основания у выражений слева и справа совпадают, а потому можно приравнять показатели:

Ответ: 12,5

Задание. Укажите корень показательного уравнения

Решение. Для перехода к одному основанию представим число 64 как квадрат восьми:

Тогда ур-ние примет вид:

Ответ: х = 3

Задание. Найдите корень ур-ния

Решение. Здесь ситуация чуть более сложная, ведь число 2 невозможно представить как степень пятерки, а пятерки не получится выразить как степень двойки. Однако у обеих степеней в ур-нии совпадают показатели. Напомним, что справедливы следующие правила работы со степенями:

С учетом этого поделим обе части ур-ния на выражения 5^3+х:

Ответ: – 2.

Задание. При каких х справедлива запись

Решение.

Можно сделать преобразования, после которых в ур-нии останется только показательная функция 5^х. Для этого произведем следующие замены:

Перепишем исходное ур-ние с учетом этих замен:

Теперь множитель 5^х можно вынести за скобки:

Ответ: 2

Рассмотрим чуть более сложное ур-ние, которое может встретиться на ЕГЭ в задании повышенной сложности №13.

Задание. Найдите решение уравнения

Решение. Преобразуем левое слагаемое:

Перепишем начальное ур-ние, используя это преобразование

Теперь мы можем спокойно вынести множитель за скобки:

Получили одинаковые основания слева и справа. Значит, можно приравнять и показатели:

Это квадратное уравнение, решение которого не должно вызывать у десятиклассника проблем:

Тема 12. Уравнения и неравенства

12.3. Равносильность уравнений
Проверка корней.
Потеря корней при решении уравнения
https://youtu.be/zmh3ro09Amc

.

Решение.
Решение
Найти ОДЗ в этом уравнении довольно трудно.
Выполним преобразования: возведем обе части этого уравнения в квадрат,
перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые,
два корня запишем под один, получим подобные радикалы, приводим подобные,
делим на коэффициент минус 12, и раскладываем подкоренное выражение на
множители, получим уравнение в виде произведения двух множителей, равное нулю.
Решив его, найдем корни:
икс первое равно единице, икс второе равно нулю.
Так как мы обе части уравнения возводили в четную степень, то проверка корней
обязательна.
Ответ: 1.
Проверка
Если икс равен единице, то получим верное равенство, значит, икс равный единице – корень уравнения.
Если икс равен нулю, то квадратный корень из минус единицы не определен.
Значит, икс равный нулю – посторонний корень.

.

Решение
Найдем ОДЗ уравнения.
Для этого решим неравенство икс квадрат плюс пять икс плюс два больше нуля.
Решаем неравенство методом интервалов. Для этого разложим его левую часть на множители, предварительно решив
квадратное уравнение, и учитывая знак неравенства, определяем ОДЗ. ОДЗ равно объединению открытых лучей от минус
бесконечности до минус дроби пять плюс квадратный корень из семнадцати, деленное на два, и от минус дроби пять минус
квадратный корень из семнадцати, деленное на два, до плюс бесконечности.
Теперь приступим к поиску корней уравнения.
Учитывая, что три равно логарифму восьми по основанию два, запишем уравнение в следующем виде: логарифм
выражения икс квадрат плюс пять икс плюс два по основанию два равно логарифму восьми по основанию два.
Потенцируем уравнение, получим и решим квадратное уравнение.
Дискриминант равен сорока девяти.
Вычисляем корни:
икс первое равно минус шести; икс второе равно единице.
Проверка
Минус шесть принадлежит ОДЗ, единица принадлежит ОДЗ, значит, оба числа являются корнями уравнения.

.

Пример 2. Выяснить, являются ли уравнения х2 – 9 = 0 и (х + 3)(2х – 8) = 0
равносильными?
Решение.
х2 – 9 = 0;
х1= 3, х2= –3;
(х + 3)(2х – 8) = 0;
х1= 3, х2= –3;
Ответ: уравнения х2 – 9 = 0 и (х + 3)(2х – 8) = 0 являются
равносильными.
Данные уравнения являются равносильными,
так как каждое из них имеет по два корня: х1= 3, х2= –3

.

ОДЗ:
x = 4, x = 1;
Ответ: 4.

Простейшие показательные уравнения ах = b

Рассмотрим уравнение

2^х = 8

Его называют показательным уравнением, ведь переменная находится в показателе степени. Для его решения представим правую часть как степень числа 2:

8 = 2³

Тогда уравнение будет выглядеть так:

2^х = 2³

Теперь и справа, и слева стоят степени двойки. Очевидно, что число 3 будет являться его корнем:

2³ = 2³

Является ли этот корень единственным? Да, в этом можно убедиться, если построить в координатной плоскости одновременно графики у = 2^х и у = 8. Второй график представляет собой горизонтальную линию.

Пересекаются эти графики только в одной точке, а потому найденное нами решение х = 3 является единственным.

Так как любая показательная функция является монотонной, то есть либо только возрастает (при основании, большем единицы), либо только убывает (при основании, меньшем единицы), то в общем случае ур-ние а^х = b может иметь не более одного решения. Это является следствием известного свойства монотонных функций – горизонтальная линия пересекает их не более чем в одной точке.

Сразу отметим, что если в ур-нии вида а^х = b число b не является положительным, то корней у ур-ния не будет вовсе. Это следует из того факта, что область значений показательной функции – промежуток (0; + ∞), ведь при возведении в степень любого положительного числа результат всё равно остается положительным. Можно проиллюстрировать это и графически:

Решая простейшее показательное уравнение

2^х = 8

мы специально представляли правую часть как степень двойки:

2^х = 2³

После этого мы делали вывод, что если в обеих частях ур-ния стоят степени с равными основаниями (2 = 2), то у них должны быть равны и показатели. Это утверждение верно и в более общем случае. Если есть ур-ние вида

а^х = а^с

то его единственным решением является х = с.

Задание. Найдите решение показательного уравнения

8^х = 8^{– 9}

Решение. У обоих частей равны основания, значит, равны и показатели:

х = – 9

Ответ: – 9.

Задание. Найдите корень уравнения

Решение. Заметим, что число 625 = 5⁴. Тогда ур-ние можно представить так:

Отсюда получаем, что х = 4.

Ответ: 4.

Видно, что основной метод решения показательных уравнений основан на его преобразовании, при котором и в правой, и в левой части стоят степени с совпадающими основаниями.

Задание. При каком х справедливо равенство

Решение. Преобразуем число справа:

Теперь ур-ние можно решить:

Ответ: – 3.

Задание. Решите ур-ние

Решение. Любое число при возведении в нулевую степень дает единицу, а потому можно записать, что 1 = 127⁰. Заменим с учетом этого правую часть равенства:

Ответ: 0.

.

Теорема 4.
Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и
то же выражение h(х), которое:
1. имеет смысл всюду в области определения (в области
допустимых значений) уравнения f(x) = g(х);
2. нигде в этой области не обращается в 0;
то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное
данному в его ОДЗ.
Следствием теоремы четыре является еще одно «спокойное» утверждение:
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное
от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Уравнения с заменой переменных

В ряде случаев для решения показательного уравнения следует ввести новую переменную. В учебных заданиях такая замена чаще всего (но не всегда) приводит к квадратному ур-нию.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Заметим, что в уравнении стоят степени тройки и девятки, но 3² = 9. Тогда введем новую переменную t = 3^x. Если возвести ее в квадрат, то получим, что

C учетом этого изначальное ур-ние можно переписать:

Получили обычное квадратное ур-ние. Решим его:

Мы нашли два значения t. Далее необходимо вернуться к прежней переменной, то есть к х:

Первое ур-ние не имеет решений, ведь показательная функция может принимать лишь положительные значения. Поэтому остается рассмотреть только второе ур-ние:

Задание. Найдите корни ур-ния

Решение. Здесь в одном ур-нии стоит сразу три показательных функции. Попытаемся упростить ситуацию и избавиться от одной из них. Для этого поделим ур-ние на выражение 4^4х+1:

Так как 1^4х+1 = 1, мы можем записать:

Обратим внимание, что делить ур-ние на выражение с переменной можно лишь в том случае, если мы уверены, что оно не обращается в ноль ни при каких значениях х. В данном случае мы действительно можем быть в этом уверены, ведь величина 4^4х+1 строго положительна при любом х.

Вернемся к ур-нию. В нем стоят величины (9/4)^4х+1 и (3/2)^4х+1. У них одинаковые показатели, но разные степени. Однако можно заметить, что

9/4 = (3/2)², поэтому и (9/4)^4х+1 = ((3/2)^4х+1)². Это значит, что перед нами уравнение с заменой переменных.

Произведем замену t = (3/2)^4х+1, тогда (9/4)^4х+1 = ((3/2)^4х+1)² = t². Далее перепишем ур-ние с новой переменной t:

Снова получили квадратное ур-ние.

Возвращаемся к переменной х:

И снова первое ур-ние не имеет корней, так как при возведении положительного числа в степень не может получится отрицательное число. Остается решить второе ур-ние:

Ответ: – 0,25.

.

Пример 1. Выяснить, являются ли уравнения х2 – 1 = 0 и х –1 = 0
равносильными?
Решение.
х2 – 1 = 0;
х1 = 1, х2 = –1;
Решение
Вычислим корни уравнения х2 – 1 = 0.
Оно имеет два корня х1 = 1, х2 = –1
х – 1 = 0;
х = 1;
Вычислим корни уравнения х – 1 = 0.
Это уравнение имеет один корень — х = 1.
Ответ: уравнения х2 – 1 = 0 и х – 1 = 0 не являются равносильными.
Данные уравнения не являются равносильными,
т.к. х2 – 1 = 0 имеет два корня, а уравнение х – 1 = 0 имеет один корень — х = 1

.

Сокращение обеих частей уравнения на множитель,
содержащий неизвестное, может привести к потере корней.

.

Теорема 1.
Если какой-либо член уравнения перенести из одной части
уравнения в другую с противоположным знаком, то
получится уравнение, равносильное данному уравнению.
х5 + 3х2 – 7 = 4х + 10;
х5 + 3х2 – 4х = 10 + 7
х5 +
3х2
– 4х = 17.
переносим слагаемые 4х и – 7 из одной части в другую
получаем уравнение, равносильное данному уравнению.

.

― Если при решении уравнения использовались равносильные
преобразования, то проверка не требуется.
― При проверке корней уравнения очень часто используют ОДЗ.
― Если по ОДЗ проверку сделать трудно, то выполняют ее
подстановкой в исходное уравнение.

.

Пример 4. Выяснить, какое из уравнений х – 2 = 0 и х2 – 5х + 6 = 0
является следствием другого?
Решение.
х – 2 = 0;
х = 2;
х2 – 5х + 6 = 0;
х1 = 2; х2 = 3;
Ответ: уравнение х2 – 5х + 6 = 0 является следствием
уравнения х – 2 = 0.
Решение
Обозначим уравнение х – 2 = 0 № 1, а уравнение х2 – 5х + 6 = 0 № 2.
Уравнение 1 имеет единственный корень, равный двум.
Уравнение 2 имеет два корня: х1 = 2; х2 = 3;
Единственный корень 1 уравнения — х = 2 — является также корнем второго.
Поэтому второе является следствием первого уравнения.

.

ОДЗ
Решение.
Решение
6х – 11=(х – 1)2 ;
х1 = 6, х2 = 2.
ОДЗ иррационального уравнения задается неравенством 6х – 11 ≥ 0,
решение которого х ≥ одной целой пяти шестым.
В этой ОДЗ обе части уравнения неотрицательны.
Возведем в квадрат обе части уравнения и получим,
согласно теореме пятой, равносильное квадратное уравнение:
ноль равен икс в квадрате минус восемь икс плюс двенадцать.
Корни х1 = 6, х2 = 2 также будут корнями исходного уравнения.

.

Теорема 2.
Если обе части уравнения возвести в одну и ту же
нечетную степень, то получится уравнение, равносильное
данному уравнению.
если обе части уравнения возвести в пятую степень,
то в силу теоремы второй, уравнения равносильны.

.

Запомните:
если каждое из двух уравнений является следствием
другого, то такие два уравнения равносильны.

Тема 12. Уравнения и неравенства

12.1. Равносильность уравнений
https://youtu.be/V9UOk7LWXAM

.

Этапы решения уравнения
Первый этап – технический.
С помощью цепочки преобразований
от исходного уравнения
мы приходим к достаточно простому
уравнению,
которое решаем и находим корни
Второй этап – анализ решения.
Третий этап – проверка.
Анализируем преобразования,
которые выполнили,
и выясняем, равносильны ли они.
Проверка всех найденных корней
их подстановкой в исходное уравнение
обязательна при выполнении
преобразований, которые могут привести к
уравнению-следствию.

Тема 12. Уравнения и неравенства

12.2. Равносильность уравнений.
Уравнение – следствие
https://youtu.be/5tNAKQ3KtZM

.

• Следующие три теоремы называются
«беспокойными». Их применение
возможно при выполнении
определенных условий.
• При их применении требуются внимание
и аккуратность.

.

Запомните:
если в процессе решения уравнения произошло
расширение области определения уравнения, то
обязательна проверка всех найденных корней.

.

Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и р(х) = h(х)
называют равносильными, если множества их корней
совпадают.

Ход урока

Показательные уравнения

Пример 1. 4·2^x – 2^x = 96 (линейное показательное уравнение).

Вводим новую переменную 2^x = у; у > 0, т.к. показательная функция не может принимать отрицательные значения.

4y – y = 96,
3y = 96,
y = 32.

Уравнение 2^x = 32 имеет корень x = 5.

Пример 2. 5^x + 2 / 5^x – 3 = 0 (квадратное показательное уравнение).

Вводим новую переменную 5^x = у; у > 0, т.к. показательная функция не может

принимать отрицательные значения.

у + 2 / у – 3 = 0,
у² – 3у + 2 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем корни у₁ = 1, у₂ = 2.

Уравнение 5^x = 1 имеет корень х = 0.

Уравнение 5^x = 2 имеет корень х = log₅2.

Ответ: 0; log₅2

Показательные неравенства

Пример 1. 5^x – 5^x+2 ≥ – 120 (линейное показательное неравенство).

5^x – 5^x · 25 ≥ – 120,

Т.к. 5 > 1, то функция у = 5^x является возрастающей.

Таким образом, при х ≤ 1 неравенство является верным.

Пример 2. 5^x +2 · 5^-x – 3 ≤ 0 (квадратное показательное неравенство).

5^2x +2 – 3 · 5^x ≤ 0 .

Вводим новую переменную 5^x = у > 0, т.к. показательная функция не может

принимать отрицательные значения.

y² – 3y +2 ≤ 0 .

Решая квадратное неравенство, получаем 1≤ y ≤ 2 .

Отсюда получим неравенство 1≤ 5^x ≤ 2.

Решая его, получаем 0 ≤ х ≤ log₅2

Логарифмические уравнения

Пример 1. log₁₆x + log₄x + log₂x= 7 (переход к новому основанию логарифма).

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем

1/4 log₂x+ 1/2 log₂x+ log₂x= 7.
7/4 log₂x= 7,
log₂x = 4,
x = 16.

Пример 2. lg²x– 3·lg x +2 = 0 (квадратное логарифмическое уравнение).

Вводим новую переменную lg x = у.

Получаем квадратное уравнение относительно новой переменной y² – 3y + 2 = 0 .

Решая квадратное уравнение, получаем корни у₁ = 1, у₂ = 2.

lg x = 1, x₁ = 10.
lg x= 2, x₂ = 100.

Ответ: 10; 100

Пример 3. log₂(x² – 3x) = log₂ (х – 3) (потенцирование логарифмических уравнений).

Потенцируя уравнение, получаем x² – 3x = х – 3 .

x²– 4x + 3 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем корни х₁ = 1, х₂ = 3 .

При потенцировании логарифмического уравнение возможно появление посторонних корней, поэтому необходима проверка.

1) подставляя х = 1 в исходное уравнение, получаем log₂(- 2).

Это выражение не имеет смысла, т.к. логарифмическая функция определена при положительном значении аргумента. Поэтому x₁ не является корнем заданного уравнения.

2) подставляя х = 3 в исходное уравнение, получаем log₂(0).

Это выражение также не имеет смысла, поэтому x₂ не является корнем заданного уравнения.

Ответ: решений нет

Логарифмические неравенства

Пример 1. lg²x– lgx – 2 > 0 (квадратное логарифмическое неравенство).

ОДЗ: x > 0, т.к. логарифмическая функция определена при положительном значении аргумента.

Вводим новую переменную lg x = t .

t² – t – 2 > 0 .

Это квадратное неравенство выполняется при t < -1 и при t > 2 .

Множество всех решений исходного неравенства есть объединение множеств всех решений двух неравенств lgx < -1 и lgx > 2 .

Т.к. логарифмическая функция с основанием 10 определена при х > 0 и возрастает,то первое неравенство имеет решение 0 < x < 0,1, а второе – x > 100.

Ответ: (0; 0,1)U(100; +∞)

Пример 2. log₅(3 – 4x) < -1.

ОДЗ: Логарифмическая функция определена при положительных значениях

аргумента, поэтому левая часть неравенства имеет смысл при 3 – 4x > 0, откуда х < 0,75 .

Т.к. логарифмическая функция с основанием 5 возрастает, то 3 – 4x < 1/5.

Решая данное неравенство, получим х > 0,7.

С учётом области определения неравенства имеем 0,7 < х < 0,75 .

Ответ: (0,7 ; 0,75)

.

Решение.
Первый этап – технический.
х – 6 = 4 – х;
2х = 10;
х = 5.
Первый этап — технический.
Для того чтобы получить простое уравнение и решить его, выполним цепочку
преобразований.
Возведем в квадрат (четная степень) обе части этого уравнения, перенесем иксы в
левую часть , а числа в правую часть уравнения, приведем подобные слагаемые,
получим: 2х = 10.
х = 5.
Второй этап – анализ решения.
Проверка корней обязательна.
Второй этап – анализ решения.
Проверим выполненные преобразования на равносильность.
При решении уравнения, мы его обе части возвели в квадрат. Значит, область
определения уравнения расширилась. Поэтому проверка корней обязательна.
Третий этап – проверка.
Ответ: уравнение корней не имеет.
Третий этап – проверка.
Подставим найденные корни в исходное уравнение.
Если икс равен пяти, выражение квадратный корень из четырех
минус икс не определено, поэтому икс, равный пяти –
посторонний корень. Значит, данное уравнение не имеет корней

.

Решение.
ОДЗ уравнения определяется системой двух неравенств:
Решением является
⇒
⇒
Возведем обе части уравнения в квадрат,
перенесем слагаемые из одной части уравнения в другую,
приведем подобные слагаемые, получим квадратное уравнение
Корни квадратного уравнения
Проверка
Значение х1=√2 является корнем уравнения, так как оно входит в ОДЗ.
Значение х2= -√2 не является корнем уравнения, т.к. оно не входит в ОДЗ.
Проверим х=√2 , подставив его в исходное равенство, получим верное равенство,
значит, х=√2 является корнем уравнения.

Показательные неравенства

Рассмотрим координатную плоскость, в которой построен график некоторой показательной ф-ции у = а^х, причем а > 0. Пусть на оси Ох отложены значения s и t, и t < s. То есть точка t располагается левее на оси Ох.

Ясно, что точкам t и s оси Ох соответствуют точки a^t и a^s на оси Оу. Так как

у = а^х

является возрастающей функцией, то и величина a^t окажется меньше, чем a^s. Другими словами, точка a^t на оси Оу будет лежать ниже точки а^s (это наглядно видно на рисунке). Получается, что из условия t < s следует неравенство a^t < a^s. Это значит, что эти два нер-ва являются равносильными.

С помощью этого правила можно решать некоторые простейшие показательные неравенства. Например, пусть дано нер-во

Представим восьмерку как степень двойки:

По только что сформулированному правилу можно заменить это нер-во на другое, которое ему равносильно:

Решением же этого линейного неравенства является промежуток (– ∞; 3).

Однако сформулированное нами правило работает тогда, когда основание показательной ф-ции больше единицы. А что же делать в том случае, если оно меньше единицы? Построим график такой ф-ции и снова отложим на оси Ох точки t и s, причем снова t будет меньше s, то есть эта точка будет лежать левее.

Так как показательная ф-ция у = а^х при основании, меньшем единицы, является убывающей, то окажется, что на оси Оу точка a^s лежит ниже, чем a^t. То есть из условия t < s следует, что a^t > a^s. Получается, что эти нер-ва равносильны.

Например, пусть надо решить показательное неравенство

Выразим число слева как степень 0,5:

Тогда нер-во примет вид

По рассмотренному нами правилу его можно заменить на равносильное нер-во

В более привычном виде, когда выражение с переменной стоит слева, нер-во будет выглядеть так:

а его решением будет промежуток (3; + ∞).

В общем случае мы видим, что если в показательном нер-ве вида

основание a больше единицы, то его можно заменить равносильным нер-вом

Грубо говоря, мы просто убираем основание степеней, а знак нер-ва остается неизменным. Если же основание а меньше единицы, то знак неравенства необходимо поменять на противоположный:

Это правило остается верным и в том случае, когда вместо чисел или переменных t и s используются произвольные функции f(x) и g(x). Сформулируем это правило:

Таким образом, для решения показательных неравенств их следует преобразовать к тому виду, при котором и справа, и слева стоят показательные ф-ции с одинаковыми показателями, после чего этот показатель можно просто отбросить. Однако надо помнить, что при таком отбрасывании знак нер-ва изменится на противоположный, если показатель меньше единицы.

Задание. Решите простейшее неравенство

Решение.

Представим число 64 как степень двойки:

теперь и справа, и слева число 2 стоит в основании. Значит, его можно отбросить, причем знак нер-ва останется неизменным (ведь 2 > 1):

Задание. Найдите промежуток, на котором выполняется нер-во

Решение. Так как основание степеней, то есть число 0,345, меньше единицы, то при его «отбрасывании» знак нер-ва должен измениться на противоположный:

Это самое обычное квадратное неравенство. Для его решения нужно найти нули квадратичной функции, стоящей слева, после чего отметить их на числовой прямой и определить промежутки, на которых ф-ция будет положительна.

Нашли нули ф-ции. Далее отмечаем их на прямой, схематично показываем параболу и расставляем знаки промежутков:

Естественно, что в более сложных случаях могут использоваться всё те же методы решения нер-ва, которые применяются и в показательных ур-ниях. В частности, иногда приходится вводить новую переменную.

Задание. Найдите решение нер-ва

Решение. Для начала представим число 3^х+1 как произведение:

Теперь перепишем с учетом этого исходное нер-во:

Получили дробь, в которой есть одна показательная ф-ция 3^х. Заменим её новой переменной t = 3^x:

Это дробно-рациональное неравенство, которое можно заменить равносильным ему целым нер-вом:

которое, в свою очередь, решается методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего слева

Отмечаем найденные нули на прямой и расставляем знаки:

Итак, мы видим, что переменная t должна принадлежать промежутку (1/3; 9), то есть

Теперь произведем обратную замену t = 3^x:

Так как основание 3 больше единицы, просто откидываем его:

Итак, мы узнали о показательных уравнениях и неравенствах и способах их решения. В большинстве случаев необходимо представить обе части равенства или неравенства в виде показательных степеней с одинаковыми основаниями. Данное действие иногда называют методом уравнивания показателей. Также в отдельных случаях может помочь графический способ решения ур-ний и замена переменной.

.

Решение.
ОДЗ 2х – 1 ≥ 0;
х + 3 ≠ 0;
х ≥ 0,5;
Следствием теоремы четыре является еще одно
«спокойное» утверждение: если обе части уравнения
умножить или разделить на одно и то же отличное от
нуля число, то получится уравнение, равносильное
данному.
– умножим обе части уравнения на (х + 3)

.

Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью
допустимых значений переменной (ОДЗ) называют
множество тех значений переменной х, при которых
одновременно имеют смысл выражения f(х) и g(х).

.

Пример 1. Решить уравнение x3 = х.
Решение.
1 способ.
2 способ.
х2 = 1;
х3 – х = 0;
х1 = 1, х2 = –1.
х(х2 – 1) = 0;
х1=0, х2=1, х3= –1.
При решении 1 способом мы потеряли один корень, х = 0.

.

Теорема 3.
Показательное уравнение аf(x) = аg(x), где а > 0, a≠1,
равносильно уравнению f(x) = g(х).
Например, показательные уравнения равносильны,
т.к. основания равны,
следовательно уравнения равносильны

.

Пример 6. Решить уравнение ln(х2 + 2х – 7) = ln(х – 1).
Первый этап — технический.
Выполним цепочку преобразований, получим наиболее простое
уравнение и решим его. Для этого потенцируем
уравнение, перенесем все слагаемые в левую часть уравнения,
приведем подобные члены, получим квадратное уравнение икс
квадрат плюс икс минус шесть равно нулю.
Вычислим корни: х1 = 2, х2 = –3.
Решение.
Первый этап – технический.
х2 + 2х – 7= х – 1;
х2 + х – 6 = 0;
х1 = 2, х2 = –3.
Второй этап – анализ решения.
Проверка корней обязательна.
Третий этап – проверка.
х = 2:
ln1= ln1;
х = –3: ln(х2 + 2х – 7),
ln(х – 1) – не определены;
Ответ: 2.
Второй этап – анализ решения.
Проверим выполненные преобразования на равносильность.
В процессе решения данного уравнения мы освободились от знаков
логарифмов. Значит, область определения уравнения
расширилась. Поэтому проверка корней обязательна.
Третий этап – проверка.
Подставим найденные корни в исходное уравнение.
Если икс равен двум, то получаем натуральный логарифм единицы равен
натуральному логарифму единицы —
верное равенство.
Значит, икс равный двум – корень данного уравнения.
Если икс равен минус трем, то натуральный логарифм выражения икс квадрат плюс
два икс минус семь и натуральный логарифм выражения икс минус один не
определены. Значит, икс равный минус трем — посторонний корень.

.

Алгоритм решения уравнения, записанного в виде f(х)h(х) = g(х) h(х):
― разложить на множители g(х)[f(х) – g(х)] = 0;
― получить два уравнения h(х)=0; f(х) – g(х) = 0;
― вычислить корни.

.

Если каждый корень уравнения f(x) = g(х) (1)
является в то же время корнем уравнения р(х) = h(х) (2)
то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

.

Пример 5. Выяснить, какое из уравнений х2 – 4х + 3 = 0 и х2 – 5х + 6 = 0
является следствием другого?
Решение.
х2 – 4х + 3 = 0;
х1=1; х2= 3;
х2 – 5х + 6 = 0;
х1 = 2; х2 = 3;
Ответ: ни одно из уравнений не является следствием другого.
Решение
Обозначим уравнение х2 – 4х + 3 = 0 номером 1, а уравнение х2 – 5х + 6 = 0 — номером 2
Уравнение первое имеет два корня: х1=1; х2= 3,
Уравнение второе имеет два корня: х1 = 2; х2 = 3;
Оба уравнения имеют только по одному общему корню.
Согласно определению, ни одно из них не является следствием другого.

.

Теорема 6.
Пусть а > 0, a ≠ 1 и f(х) > 0, g(х) > 0,, то логарифмическое
уравнение loga f(x) = loga g(x) равносильно уравнению
f(x) = g(х).

.

Решение.
Первый этап – технический.
х2 – 3х – 10 = 0;
х1 = 5; х2 = –2.
Выполним цепочку преобразований, получим наиболее простое
уравнение и решим его. Для этого умножим обе части уравнения на
общий знаменатель дробей, то есть на выражение икс умноженное
на икс минус пять.
Второй этап – анализ решения.
Проверка корней обязательна.
Третий этап – проверка.
Ответ: –2.
Проверим выполненные преобразования на равносильность.
При решении уравнения, мы его обе части умножили на
выражение, содержащее переменную. Значит, область
определения уравнения расширилась. Поэтому проверка корней
обязательна.
Подставим найденные корни в исходное уравнение.
При икс равном минус два общий знаменатель не обращается в нуль.
Значит, икс равно минус два является корнем данного уравнения.
При икс равном пяти общий знаменатель обращается в нуль. Поэтому
икс равно пяти – посторонний корень.

.

Теорема 5.
Если обе части уравнения f(x) = g(х) неотрицательны в
ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в
одну и ту же четную степень n получится уравнение
(f(x))n=(g(x))n равносильное данному в его ОДЗ.

.

Первый этап – технический.
С помощью цепочки преобразований от исходного
уравнения мы приходим к достаточно простому, которо
решаем и находим корни.
Второй этап – анализ решения.
Третий этап – проверка.
Анализируем преобразования, которые
выполнили, и выясняем, равносильны ли они
Проверка всех найденных корней их подстановкой в
исходное уравнение обязательна при выполнении
преобразований, которые могут привести к уравнениюследствию
Вопрос – Всегда ли нужно выделять три этапа при решении уравнения?
Ответ – Конечно, нет. Обязательно проводить анализ на равносильность преобразований

.

Решение.
х2 + 3 = 0 – не имеет корней;
Данные уравнения являются равносильными,
так как каждое из них не имеет корней.

.

Уравнение-следствие получается из данного уравнения путем
расширения области определения уравнения.
Это возможно при выполнении таких преобразований, как
1. Избавление от знаменателей, содержащих переменную величину.
2. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень.
3. Освобождение от знаков логарифмов.

Методические разработки, презентации и конспекты

Изучение темы “Иррациональные уравнения и неравенства” в 10 классе

Мастер-класс по математике “Методика решений иррациональных уравнений и неравенств”

Материал к теме: «Решение иррациональных уравнений и неравенств».

Решение иррациональных уравнений и неравенств 11 класс

решение иррациональных уравнений и неравенств методом замены переменной

Элективный курс “Иррациональные уравнения и неравенства”

.

• Обычно при решении уравнений
используются шесть теорем
равносильности.
Первые три теоремы называются «спокойными».
Их применение гарантирует равносильность преобразований без
дополнительных условий.
Обычно их использование происходит автоматически, без особых
размышлений.

.

Решение.
ОДЗ иррационального уравнения переделяется системой двух неравенств:
⇒
Решая ее, получаем, что эта система не имеет решений.
Корнем уравнения не может быть ни одно из значений
переменной икс.
Ответ: корней нет.

Задачи, сводящиеся к показательным уравнениям

Рассмотрим одну прикладную задачу, встречающуюся в ЕГЭ по математике.

Задание. Из-за радиоактивного распада масса слитка из изотопа уменьшается, причем изменение его массы описывается зависимостью m(t) = m₀ • 2^–^t/^T, где m₀ – исходная масса слитка, Т – период полураспада, t – время. В начальный момент времени изотоп, чей период полураспада составляет 10 минут, весит 40 миллиграмм. Сколько времени нужно подождать, чтобы масса слитка уменьшилась до 5 миллиграмм.

Решение. Подставим в заданную формулу значения из условия:

m₀ = 40 миллиграмм;

T = 10 минут;

m(t) = 5 миллиграмм.

В результате мы получим ур-ние

из которого надо найти значение t. Поделим обе части на 40:

Ответ: 30 минут.

Далее решим чуть более сложную задачу, в которой фигурирует сразу 2 радиоактивных вещества.

Задание. На особо точных рычажных весах в лаборатории лежат два слитка из радиоактивных элементов. Первый из них весит в начале эксперимента 80 миллиграмм и имеет период полураспада, равный 10 минутам. Второй слиток весит 40 миллиграмм, и его период полураспада составляет 15 минут. Изначально весы наклонены в сторону более тяжелого слитка. Через сколько минут после начала эксперимента весы выровняются? Масса слитков меняется по закону m(t) = m₀ • 2^–^t/^T, где m₀ и Т – это начальная масса слитка и период его полураспада соответственно.

Решение. Весы выровняются тогда, когда массы слитков будут равны. Если подставить в данную в задаче формулу условия, то получится, что масса первого слитка меняется по закону

а масса второго слитка описывается зависимостью

Приравняем обе формулы, чтобы найти момент времени, когда массы слитков совпадут (m₁ = m₂):

Делим обе части на 40:

Основания равны, а потому приравниваем показатели:

Ответ: 30 минут.

Графическое решение показательных уравнений

Не всякое показательное уравнение легко или вообще возможно решить аналитическим способом. В таких случаях выручает графическое решение уравнений.

Задание. Найдите графическим способом значение х, для которого справедливо равенство

Решение. Построим в одной системе координат графики у = 3^х и у = 4 – х:

Видно, что графики пересекаются в одной точке с примерными координатами (1; 3). Так как графический метод не вполне точный, следует подставить х = 1 в ур-ние и убедиться, что это действительно корень ур-ния: