Сложение дробей с разными знаменателями 4 примера решения класса и 4. сложение и вычитание смешанных чисел (разные знаменатели)

Для сложения смешанных чисел, надо:

• найти общий знаменатель и привести к нему дробные части;
• сложить целые части смешанных чисел, отдельно сложить дробные части;
• если дробная часть сократима, то её сократить;
• если дробная часть — неправильная дробь, выделить из неё целую часть и добавить к целой части.

Числитель и знаменатель дробной части второго числа умножили на (2). Сложили целые части и отдельно сложили дробные части.

В результате получили дробную часть

— это неправильная дробь, поэтому из неё выделили целую часть

и полученное число прибавили к целой части:

Для вычитания смешанных чисел, надо:

• привести дробные части к общему знаменателю;
• при необходимости «занять» единицу из целой части;
• вычесть отдельно целые части и дробные части;
• если можно, сократить дробную часть.

Числитель и знаменатель дробной части второго числа умножили на ( )(4). Вычли целые части, затем вычли дробные части.

После приведения к общему знаменателю дробная часть первого числа

меньше дробной части второго числа

. Поэтому целую часть уменьшили на (1), а эту единицу внесли в дробную часть:

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида acosx + bsinx=c. Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.

9. а) Решим уравнение:

б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Делим обе части на 2:

В левой части получили синус суммы:

б) Отметим на единичной окружности отрезок

и найденные серии решений.

Обратите внимание, что в этой задаче отрезок больше, чем полный круг. Как нам поступить? Один из способов – нарисовать рядом две окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки:

10. а) Решите уравнение:

Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку

Видим, что данному отрезку принадлежат  точки 0 и

Покажем, как применяется метод введения дополнительного угла в общем случае.

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла

Соотношение (4) тогда приобретает вид:

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол

·    
познакомиться
с понятием «однородные тригонометрические уравнения»;

·    
рассмотреть
способы решения однородных тригонометрических уравнений.

Мы продолжаем с вами изучать тему «Тригонометрические
уравнения» и сегодня на уроке познакомимся ещё с некоторыми уравнениями и
определимся с методами для их решения.

На практике довольно часто встречаются
тригонометрические уравнения вида

Или уравнения вида

Уравнения такого вида называют однородными
тригонометрическими уравнениями.

Итак, рассмотрим однородные уравнения
первой степени.

С помощью деления на одну из
тригонометрических функций решаются и однородные тригонометрические уравнения
первой степени вида

Только делить мы будем не на cos x,
а на cos mx.

Рассмотрим теперь однородное
тригонометрическое уравнение второй степени.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда в
однородном тригонометрическом уравнении отсутствует слагаемое, содержащее синус
квадрат, то есть коэффициент а равен нулю.

Аналогично решаются однородные уравнения
второй степени, у которых отсутствует слагаемое косинус квадрат x.

Давайте, объединим все рассмотренные
случаи и составим единый алгоритм решения однородного тригонометрического
уравнения второй степени в общем виде.

Рассмотрим ещё
один пример.

Тригонометрические уравнения Однородные тригонометрические уравнения

Однородные тригонометрические уравнения первой степени

• Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
• Если a ≠ 0 , b ≠ 0 , то для решения обе части уравнения разделим на cos x , и получим:

Пример 1. Решение

Разделим обе части на

Пример 2. Решение

По формулам приведения преобразуем обе части уравнения:

Однородные тригонометрические уравнения второй степени

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0

называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Алгоритм решения уравнения

• Если a≠0, c≠0, то:
• 1. Уравнение решается делением обеих его частей на cos 2 x и последующим введением новой переменной z =tg x

• Если a=0 ( или c=0), то:
• 2. Уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносим cos x (или sin x)

Пример 3. Решение

Разделим обе части на , получим:

Введем новую переменную z =tg x:

Решив квадратное уравнение получим:

Из первого уравнения получаем:

Из второго уравнения находим:

Ответ: , ,

Пример 4. Решение

Выносим за скобку :

Решаем два уравнения:

из первого уравнения находим

Делим обе части на :

Пример 5. Решение

Обратим внимание на то, что уравнение в правой части содержится не 0, а 2. Значит это не однородное уравнение.

Преобразуем по основному тригонометрическому тождеству:

Подставив в изначальное уравнение полученное выражение получим:

Приведем к виду однородного тригонометрического уравнения второй степени:

Разделим обе части почленно на :

Введем новую переменную :

Решив квадратное уравнение, получим:

А.В. Болоненко, учитель математики

МБОУ «СОШ №4» г. Скопина Рязанской обл.

— однородное тригонометричес – кое уравнение первой степени (а≠0, b ≠ 0)

— однородное тригонометриче c- кое уравнение второй степени

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени

(то есть значения x ,

при которых cos x = 0 , не являются корнями данного уравнения)

Алгоритм решения полного однородного тригонометрического уравнения второй степени (т.е. если а ≠ 0, b ≠ 0 , с ≠ 0)

Разделим обе части почленно на cos 2 x ≠ 0 ( если cos x = 0, то и sin x = 0 , что противоречит основному тригонометрическому тождеству)

a tg 2 x + b tg x + c = 0

— однородное тригонометрическое уравнение первой степени

— неполное однородное тригонометрическое уравнение второй степени

— однородное тригонометрическое уравнение первой степени

sin 2 x + sin x cos x = 0

sin x = 0 или sin x + cos x = 0

x = π k

— полное однородное тригонометрическое уравнение второй степени

sin 2 x + 2 sin x cos x – 3cos 2 x = 0

tg 2 x + 2 tg x – 3 = 0

Пусть t = tg x

t 2 + 2t – 3 = 0

D = 16, t 1 = – 3 , t 2 = 1

Вернёмся к переменной x:

tg x = – 3 или tg x = 1

x = – arctg 3 + π k

5sin 2 x – 14 sin x cos x – 3cos 2 x = 2

5sin 2 x – 14 sin x cos x – 3cos 2 x – 2cos 2 x -2sin 2 x = 0

3sin 2 x – 14 sin x cos x – 5cos 2 x = 0

3tg 2 x – 14 tg x – 5 = 0

3t 2 – 14t – 5 = 0

D = 256, t 1 = – 1/3 , t 2 = 5

tg x = -1/ 3 или tg x = 5

x = – arctg 1/3 + π k x = arctg 5 + π k

Ответ: – arctg 1/3 + π k , arctg 5 + π k , k€Z.

В презентации использованы задания из учебных пособий:

Калькулятор дробей выполнит основные арифметические действия с дробями и смешанными числами.

Если целая часть заполнена, калькулятор приведет смешанное число в неправильную дробь и выполнит операцию.

Заполните поля калькулятора чтобы найти сумму, разность, произведение и отношение дробей.

Основные операции с дробями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями необходимо: привести дробные части к наименьшему общему знаменателю;
затем сложить их числители. Рассмотрим на примере как сложить две дроби с разными знаменателями.

Наименьшее общее кратное знаменателей (8 и 6) равно 24.

Для нахождения разности дробей необходимо: привести дробные части к наименьшему общему знаменателю; затем выполнить вычитание числителей.

Найти разность дробей

Общее кратное знаменателей НОК(16, 20)=80. Для вычисления наименьшего общего кратного можно воспользоваться калькулятором. Калькулятор вычислит НОК автоматически.

Умножение и деление

Для умножения двух дробей нужно: перемножить их числители и знаменатели

Чтобы разделить дробь на другую нужно: умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

Приведение к общему знаменателю

Чтобы совершать операции с дробями часто требуется привести дроби к общему знаменателю.
Рассмотрим процесс приведения двух дробей

Для сравнения дробей приведем их к общему знаменателю и сравним их числители. Воспользуемся шагами описанными выше и найдем наименьшее общее кратное знаменателей дробей и далее преобразуем:

НОК(18, 4)=36, дополнительный множитель первой дроби

,
доп. множитель второй дроби

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Смешанные дроби в математике можно получить одним из способов, например, из неправильной дроби или путем сложения дробей и еще много вариантов, когда вы сможете столкнуться со смешанной дробью.

Как сделать из неправильной дроби правильную дробь?

Дробная черта — это деление, поэтому число 21 поделим на 9 столбиком.

После деления столбиком у нас появились неполное частное, его записываем в целую часть дроби. Остаток записываем в числитель, а делитель записываем в знаменатель.

Смешанные дроби состоят из целой и дробной части.

Разделим ее столбиком:

Как смешанную дробь перевести в неправильную дробь?

Чтобы из смешанной дроби сделать неправильную дробь нужно знаменатель умножить на целую часть и сложить с числителем, получим числитель неправильной дроби. А знаменатель остается без изменения. Рассмотрим пример:

Вопросы по теме:
Смешанная дробь может быть меньше единицы?
Ответ: нет, потому что смешанную дробь можно представить в виде неправильной дроби, а неправильная дробь всегда больше или равна единицы.

Что показывает целая часть у смешанной дроби?
Ответ: целая часть показывает сколько полных знаменателей содержит дробь.

Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?
Ответ: к произведению знаменатели и целой части прибавить числитель получим числитель искомой неправильной дроби, а знаменатель не меняется.

Как перевести неправильную дробь в смешанное число? И как выделить целую часть?
Ответ: делим в столбик числитель на знаменатель, неполное частное – это целое, делитель – это знаменатель, а остаток – это числитель. Смотрите пример выше.

Что такое смешанные дроби или смешанные числа?
Ответ: Смешанные дроби – это числа, которые состоят из целой и дробной части.

Решение:
Разделим дробь столбиком:

Смешанные дроби также, как и простые дроби можно вычитать. Чтобы отнять смешанные числа дробей нужно знать несколько правил вычитания. Изучим эти правила на примерах. Вычитание обыкновенных дробей с разными и одинаковыми знаменателями вы можете посмотреть нажав на ссылку.

Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример с условием, что уменьшаемое целое и дробная часть больше соответственно вычитаемого целой и дробной части. При таких условиях вычитание происходит отдельно. Целую часть вычитаем из целой части, а дробную часть из дробной.

Правильность вычитания проверяется сложением. Сделаем проверку вычитания:

Рассмотрим пример с условием, когда дробная часть уменьшаемого меньше соответственно дробной части вычитаемого. В таком случае мы занимаем единицу у целого в уменьшаемом.

Вычитание смешанного дроби из целого числа.

Рассмотрим пример с условием, если дробные части уменьшаемого и вычитаемого с разными знаменателями. Нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание.

Вопросы по теме:
Как вычитать смешанные дроби? Как решать смешанные дроби?
Ответ: нужно определиться к какому типу относиться выражение и по типу выражения применять алгоритм решения. Из целой части вычитаем целое, у дробной части вычитаем дробную часть.

Как из целого числа вычесть дробь? Как от целого числа отнять дробь?
Ответ: у целого числа нужно занять единицу и записать эту единицу в виде дроби

а потом целое отнять от целого, дробную часть отнять от дробной части. Пример:

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

Сложение дробей с разными знаменателями.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти общий знаменатель, а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

В буквенном виде получаем такую формулу:

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение смешанных дробей происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух правильных дробей в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

Ответ: весь торт съели.

Метод оценки

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки

13. Рассмотрим уравнение:

Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в том случае, когда они равны единице одновременно:

Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:

Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:

Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:

Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где

. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

14. Рассмотрим уравнение:

Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:

Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:

Умножаем на 21 и сокращаем на π:

Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.

Ответ: решений нет.

Это был тренировочный пример. А в задачах ЕГЭ решения есть всегда.

Посмотрите, как применяется метод оценки в задачах с параметрами.

15. Страшное с виду уравнение

В самом деле, из неравенства

Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Перенесем в левую часть и вынесем общий множитель за скобки ,  получим:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Каждое уравнение равносильно совокупности:

Это значит, что синус угла х равен нулю, а его косинус равен 0, 1 или -1.

Или синус угла х равен 1, а косинус этого угла равен 0, 1 или -1.

Такие углы легко найти на тригонометрическом круге. Найденные серии решений запишем в ответ.

Учет ОДЗ уравнения

12. а) Рассмотрим уравнение:

б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Перепишем уравнение в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством

не удовлетворяет этому неравенству, а серия

удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия

Ответ в пункте (а):

Неравенство имеет единственное целое решение

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений, которые применяются в задаче 12 ЕГЭ.

Где же еще нам могут встретиться тригонометрические уравнения? Конечно, в задачах с параметрами. Или на олимпиадах по математике. Сейчас мы увидим еще несколько полезных приемов решения.

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:

Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при

11. а) Решите уравнение:

Получаем кубическое уравнение:

Оно имеет единственный корень

Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало

Универсальная тригонометрическая подстановка может также пригодиться при решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ. Поэтому формулы лучше выучить.

Однородные уравнения

7. а) Решите уравнение:

Такое уравнение называется однородным.

Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене

Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на

Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.

Предположим, что cosx = 0. Тогда в силу уравнения и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cosx 0, и мы можем поделить обе его части на .

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:

б) Отметим отрезок

и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат  точки:

8. а) Решите уравнение:

Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение

Получили однородное уравнение второй степени.

Так как не существует такой точки на единичной окружности, в которой одновременно синус и косинус равнялись бы нулю, мы разделим обе части уравнения на

Выполним замену: tgx = y, получим:

Ответом в пункте (а) являются  две серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных, тригонометрических,  логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.

1. а) Решите уравнение:

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку

а) Рассмотрим уравнение

Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:

Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:

Решая его, получим:

Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению

Оно не имеет решений, поскольку

Второй корень даёт простейшее уравнение

б) Найдем корни уравнения на отрезке

Разделим обе части неравенства на

Разделим на 2 обе части неравенства:

Единственное целое решение – это n=0. Тогда

— это единственный корень, который принадлежит отрезку

2. а) Решите уравнение:

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Выразим косинус двойного угла по формуле

Заменяя cos⁡x на t, приходим к квадратному уравнению:

нет решений, т. к.

3. а) Решите уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а)  Чтобы упростить уравнение

Сделаем обратную замену.

— нет решений, т. к.

Для серии решений

У этого неравенства нет целых решенией, и значит, из второй серии ни одна точка в указанный отрезок не входит.

Разложение на множители

Во многих случаях уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

4. а) Решите уравнение:

а) Применяем формулу синуса двойного угла:

Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель выносим за скобки:

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cosx = 0 и 2sinx – 1 = 0.

Все эти три серии решений являются ответом в части (а).

5. а) Решите уравнение:

Применим формулу суммы синусов:

Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:

Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).

Поэтому ответ в пункте (а):

Этот промежуток содержит 8 целых чисел: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Для каждого из этих n найдем x. Получим 8 решений на данном промежутке:

6. В следующей задаче также применяется метод разложения на множители. Но это заметно не сразу.

Используем формулу понижения степени:

Применяем формулу суммы косинусов:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:

Решив неравенство, получим:

Им соответствуют решения:

2) Из серии решений

на указанном отрезке лежит только корень

Но он уже входит в первую серию решений.

Можно также заметить, что вся вторая серия решений является подмножеством первой.

Тригонометрические уравнения

• Замена переменной и сведение к квадратному уравнению
• Разложение на множители
• Введение дополнительного угла
• Учет ОДЗ уравнения
• Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
  Приемы решения

В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах их решения. Тригонометрические уравнения чаще всего встречаются в задаче 12 ЕГЭ.

В вариантах ЕГЭ задача, где нужно решить уравнение, состоит из двух пунктов. Первый пункт – решение самого уравнения. Второй – нахождение его корней на некотором отрезке.

Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются специфическими именно для тригонометрии.

Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Учите наизусть!
Тригонометрические формулы.

Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

Теперь — сами методы. Теория и примеры решения задач.

Тригонометрические уравнения повышенной сложности. Приемы решения

16. Рассмотрим такое уравнение:

Начнем со второго уравнения.

то их сумма может быть равна 2, только оба слагаемых равны 1. Но на единичной окружности не существует точки, в которой одновременно синус и косинус равен единице. Значит, второе уравнение корней не имеет.

Решим первое уравнение методом введения дополнительного угла.

Для этого разделим обе части уравнения на

17. Помним формулы косинуса и синуса тройного угла:

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно

Решим второе уравнение с помощью замены sinx = t.

А решением первого уравнения sinx = 0 являются числа вида

Интересно, что формулы синуса и косинуса тройного угла также могут пригодиться вам в решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ.

18. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса?

Выделяем полный квадрат!

19. А как быть с суммой шестых степеней?

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов:

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Тригонометрические уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Однородные уравнение – подробнее

Что такое однородные уравнения? Давай посмотрим на определение.

Совершенно пугающее определение, поэтому разберемся на примере.

Это уравнение однородное. Почему? Давай посмотрим на определение.

Стоп! Давай все-таки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.

Дальше идет первая переменная в степени ( n-1) и вторая переменная в первой степени.

В нашем случае это ( -4ab).

Как мы выяснили, ( n=2), значит здесь степень ( n-1=1) при первой переменной ( left( a
ight)) – сходится.

И вторая переменная ( left( b
ight)) в первой степени – на месте. Коэффициент ( k=)( -4).

Первая переменная ( left( a
ight)) в степени ( n-2=0), и вторая переменная ( left( b
ight)) в квадрате, с коэффициентом ( left( 3
ight)). Это последний член уравнения.

Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.

Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.

У нас две неизвестные ( (a) и ( b)). Здесь сходится.

Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.

( -4ab) – сумма степеней равна ( 2) (( 1) при ( a) и ( 1) при ( b)).

Как видишь, все сходится! Это однородное уравнение.

Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.

На примере этой задачи повторим, что такое однородные уравнения и как их решать.

То есть это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна ( 2).

Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:

Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:

Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю!

В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решения (краткое описание):

А здесь надо не делить, а умножать:

Если тригонометрические уравнения ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.