В каком классе урок по теме “Логарифмы и их свойства” .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс) Реш еду ру

Мы открываем цикл статей про самые тёмные глубины школьной программы, отвечая на извечный вопрос юных «грызунов науки»: «Зачем мне это учить?!!?» На повестке дня царица наук — математика. Точнее, одна из самых непонятных её тем — логарифмы. Так ли они страшны на деле, как их представляют?

Одна из «великих и ужасных» тем школьной программы по математике — логарифмы. Ещё с 7 – 8 класса учеников начинают пугать этими «монстрами»: «Вот сейчас ты не можешь посчитать дискриминант, а что же будет потом, когда логарифмы пойдут?» В этот момент несчастный подросток понимает, что ничего хорошего от этой темы ждать не стоит.

Изучение логарифмов начинается спустя несколько лет, чаще в 10 или 11 классе. Понимание действительно приходит далеко не сразу и далеко не ко всем. Рядовые школьники без склонности к точным науках нередко в муках решают задания по этой теме, задаваясь сакраментальным вопросом: «Зачем же мне это надо?!?» Разбираемся, для чего нужны логарифмы в жизни и в каких сферах без них никуда.

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Урок математики

Предлагаем вам для начала посмотреть, как работают логарифмы и каковы их основные принципы. Особенно если школьные годы далеко позади, а вы питаете любовь скорее к гуманитарным наукам.

Должно быть, вы помните, что в математике есть такое понятие, как степени. Например: 2¹ = 2 (2 в первой степени). Соответственно, 2² = 4 (2 во второй степени, или 2, умноженное на само себя, то есть на 2). По тому же принципу, 2³ = 8 (2 в третьей степени, т.е. 2 сначала умножаем на само себя, получаем 4, а потом снова на исходное 2, в результате чего получается 8). Эту последовательность можно продолжать до бесконечности: 2⁴ = 16, а 2⁵ = 32. Принцип понятен, надеемся.

Логарифм же является обратной операцией, т.е. он показывает, в какую степень нужно возвести число (или на математическом языке «основание», чтобы получился некий результат). Так log₂32 = 5, log₂16 = 4, a log₂4 = 2.

Как мы видим, система-то не самая сложная.

Зачем это нужно?

Мы в общих чертах поняли, что представляют из себя логарифмы. Остаётся главный вопрос: зачем их учить и где их можно применить?

Конечно, здесь можно упомянуть, например, компьютерные технологии. Кодирование происходит с помощью нулей и единиц, т.е. в каждой позиции только два варианта — 0 и 1. В то же время, чтобы закодировать, скажем, русский и латинский алфавиты, цифры и некоторые знаки, мы можем посчитать конкретное число всех символов: скажем, 256. Нам нужно узнать, сколько всего позиций нам нужно использовать. Для этого мы извлекаем log₂256 и получаем 8 позиций.

Зачем это нужно делать? Прежде всего, мы можем узнать, сколько памяти займёт программа в компьютере. 1 позиция — это бит, 8 позиций — байт, а 1024 байта — это уже килобайт.

Но, согласитесь, далеко не все мы кодируем компьютерные программы. Давайте посмотрим, нужны ли логарифмы для чего-либо ещё.

О, спорт!

Допустим, проводятся соревнования, в которых участвует 16 команд. Нам нужно посчитать, сколько туров будет за весь чемпионат, учитывая, что в каждом матче участвует 2 команды. Это может быть интересно как простым зрителям, так и людям, которые занимаются планированием телевизионного эфира или организаторов спортивных мероприятий. Для ясности примера не будем брать ситуации, когда команды сыграли вничью, и нужен дополнительный матч, чтобы понять, какая из них выйдет в следующий этап. Зачем же здесь логарифмы?

С их помощью мы можем очень просто рассчитать, первую величину — количество туров, т.е. log₂16, где 16 — это общее количество команд-участниц, а 2 — число команд, играющих в каждом матче. У нас получается 4 тура. Соответственно, в первом этапе 8 матчей и 8 команд, прошедших в следующий. Во втором 4 матча. В третьем — 2. В последнем туре всего один матч — финал, благодаря которому и определится победитель.Так мы можем посчитать, сколько всего матчей за весь чемпионат: 8+4+2+1=15.

Теория шести рукопожатий

А точнее не 6, а 3,74. Именно через столько знакомых в среднем «дружат» люди в известной социальной сети. До этого существовала упомянутая теория 6 рукопожатий — через такое количество людей в среднем знаком между собой каждый житель нашей планеты. И эти результаты удалось получить именно благодаря логарифмам.

Если упрощать, то для получения этих цифр анализируется общее количество пользователей социальной сети, а ещё сравнивается каждая пара человек и количество «друзей» между ними. Естественно, механизм может усложняться, особенно наличием фейковых страниц и страниц-клонов. Особенно в условиях огромной соцсети (на момент подсчётов было зарегистрировано около 700 млн. человек). Но в то же время это помогает увидеть приблизительный результат и получить хоть малую долю информации.

Похожий механизм помогает узнать, с какой скоростью распространяется вирус, что может помочь предотвратить и проконтролировать эпидемию.

Изучение логарифмов и знание их принципов может быть полезно просто для общего развития, а информация о плодах их применения позволит вам блеснуть своей эрудицией даже в компании друзей (например, спросите знакомых, знали ли они, что между каждым пользователем соцсети примерно 4 друга. Да-да, даже между вами и каким-нибудь голливудским актёром). Да и просто тренировать мозг никогда не бывает слишком поздно или слишком рано: будь вам 15 или 65.

Понятие логарифма

При решении показательных уравнений удается представить обе части уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями и рациональными показателями. Так, например, при решении уравнения

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

и из равенства степеней с одинаковыми основаниями

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Действительно, если бы равенство

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

, где m и n — натуральные числа, было верным, то, возведя его в степень n, мы должны были бы получить верное равенство 2m = 3n. Но последнее равенство неверно, так как левая его часть является четным числом, а правая — нечетным. Значит, не может быть верным и равенство

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

С другой стороны, график непрерывной функции y = 2x пересекается с прямой y = 3, и, значит, уравнение 2x = 3 имеет корень. Таким образом, перед нами стоят два вопроса: «Как записать этот корень?» и «Как его вычислить?».

Теперь мы можем записать корень уравнения 2х = 3:

х = loga3

Равенства ax = b и x = logab, в которых число a положительно и не равно единице, число b положительно, а число x может быть любым, выражают одно и то же соотношение между числами a, b и x. Подставив в первое равенство выражение x из второго, получим основное логарифмическое тождество.

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Понятие логарифма в методическом пособии

Решите уравнение: а) 2x = 64; б)

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

; г) 4x = 0; д) 7x = −12.

После проверки ученикам предлагается ответить на вопрос, какое из заданий показалось им наиболее трудным. Вероятный ответ: 2 (в), так как в нем нужно было приводить дробь к степени числа 5. Затем школьникам предлагается высказать мнение о сравнительной с заданием 2 (в) трудности уравнения 2x = 3. На первый взгляд кажется, что это уравнение проще, однако представить 3 в виде степени числа 2 школьникам не удается.

Дальше изучение нового материала проводится в соответствии с учебником. При этом в зависимости от уровня класса рассматривается или не рассматривается дополнительный материал о невозможности представления 3 в виде 2r , где r = m/n.

После этого диалог с классом можно строить примерно так:

Затем вводится определение логарифма числа b по основанию а и записывается основное логарифмическое тождество

. При этом выписывание равенства происходит синхронно с повторным чтением определения теперь уже в обратном, по сравнению с учебником, порядке. Теперь можно записать корень уравнения 2х = 3: х = loga3 и предложить школьникам серию самостоятельных работ.

Логарифмическая функция

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Выразим x из равенства y = logax, получим x = ay. Последнее равенство задает функцию x = ay, график которой симметричен графику показательной функции y = ax относительно прямой y = x.

Показательная функция x = ay является монотонной, и, значит, разные значения y соответствуют разным значениям x, но это говорит о том, что y = logax, в свою очередь, является функцией x.

Показательная функция y = ax и логарифмическая функция y = logax являются взаимно обратными. Сравнивая их графики, можно отметить некоторые основные свойства логарифмической функции.

  • Функция y = logax определена и непрерывна на множестве положительных чисел.
  • Область значений функции y = logax — множество действительных чисел.
  • График функции y = logax проходит через точку (1; 0).
  • Ось ординат — вертикальная асимптота графика функции y = loga.

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс. Учебник

Учебник входит в учебно-методический комплекс по математике для 10–11 классов, изучающих предмет на углубленном уровне. Теоретический материал в нем разделен на обязательный и дополнительный. Каждая глава завершается домашней контрольной работой, а каждый пункт главы — контрольными вопросами и заданиями. Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования, имеет гриф «Рекомендовано» и включен в Федеральный перечень учебников.

Решение логарифмических уравнений и неравенств на основе свойств логарифмической функции

Освобождаясь от внешнего логарифма, имеющего основание 3, мы ссылаемся на возрастание соответствующей логарифмической функции, то есть на то, что большему значению логарифма соответствует большее значение выражения, стоящего под его знаком. Однако следует иметь в виду, что если функцию y = log3 log0,5(2x + 1) считать логарифмической, то ее аргумент не переменная x, а все выражение log0,5(2x + 1). Если же все-таки рассматривать x как аргумент функции y = log3 log0,5(2x + 1), то эта функция окажется убывающей, так как при увеличении значения x увеличивается значение выражения 2x + 1, уменьшается значение выражения log0,5(2x + 1) и, соответственно, уменьшается значение самой функции.

Свойства логарифмов

Связь двух форм записи соотношения между числами a, b и x (речь о ax = b и x = logab) позволяет получить свойства логарифмов, основываясь на известных свойствах степеней.

Рассмотрим, например, произведение степеней с одинаковым основанием: axay. Пусть a x = b и a y = c. Перейдем к логарифмической форме: x = logab и y = logac, тогда bc = a logab × a logac = a logab + logac. От показательной формы равенства bc = a logab + logac перейдем к логарифмической форме:

loga(bc) = logab + logac

Заметим, что в левой части формулы числа a и b могут быть отрицательными. Тогда формула будет выглядеть так:

Аналогично можно получить еще два свойства для логарифмов частного и степени.

Последнее свойство дает возможность вывести важную формулу, с помощью которой можно выразить логарифм с одним основанием через логарифм с другим основанием.

Пусть logab = x. Перейдем к показательной форме ax = b. Прологарифмируем это равенство по основанию c, т.е. найдем логарифмы с основанием c обеих частей этого равенства: logcax = logcb. Применяя к левой части свойство логарифма степени, получим x logca = logcb или

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Полезно запомнить частный случай формулы перехода, когда одно из оснований является степенью другого:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Рассмотренные свойства и формула перехода «работают», конечно, только когда все входящие в них выражения имеют смысл.

Логарифмы на ЕГЭ

Логарифмы встречаются на ЕГЭ: как во второй части (обычно, это задание 15), так и, реже, в первой части. Задания из аттестации — одно из средств мотивации детей на уроках. Зная, что упражнение на доске аналогично заданию ЕГЭ, ученик будет внимательнее следить за его решением.

Разберем несколько таких заданий.

Из первой части (определение логарифма на ЕГЭ профильного уровня)

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы уйти от радикала:

Нули числителя: 2/3, 3, с учетом положительности x, нуль заменяется на 1.

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Алгебра в таблицах. 7-11 классы. Справочное пособие

Пособие содержит таблицы по всем наиболее важным разделам школьного курса арифметики, алгебры, начал анализа. В таблицах кратко изложена теория по каждой теме, приведены основные формулы, графики и примеры решения типовых задач. В конце книги помещен предметный указатель. Пособие будет полезно учащимся 7-11 классов, абитуриентам, студентам, учителям и родителям.

Из второй части (логарифмическое уравнение с параметром на ЕГЭ профильного уровня)

Найдите все значения a, для которых при любом положительном значении b уравнение

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Решение. Найдем ОДЗ:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Стандартно приводим логарифмы к одному основанию

Получили квадратное уравнение относительно

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Оно должно иметь корень при

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

и рассмотрим квадратичную функцию y = t2 — bt — 2a.

Учебник
«Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс» схож по структуре с учебником базового уровня, однако предполагает больше часов на изучение сложных задач. Эти и другие издания линейки вы можете апробировать прямо сейчас, воспользовавшись акцией
«5 учебников бесплатно». Методическое пособие представлено в свободном доступе. Приглашаем познакомиться с другими вебинарами экспертов и порекомендовать нам интересующую вас тему для последующих трансляций.

Проспект урока  «Логарифмы. Свойства логарифмов»

Урок «открытия» нового знания

Цель: формирование способности обучающихся к новому способу действия, расширение понятийной базы за счет введения понятия логарифма

Образовательные: Изучить понятие логарифма, его обозначение, учиться применять логарифмы к решению показательных уравнений. Учиться вычислять логарифмы с помощью изученного понятия.  Вывести простейшие свойства логарифма и закрепить их при вычислении логарифмов.  Познакомиться с историей появления термина «десятичный логарифм», «логарифмическая линейка» и ролью логарифма в жизни общества. Закрепить первичные навыки вычисления логарифмов.

Развивающие: Развивать логическое мышление, навыки аналитико-синтетической деятельности,  внимание и умение делать выводы на основе известных фактов, умения использовать полученные знания в новых ситуациях

Воспитательные: воспитание интереса к предмету, аккуратности, культуру учебного труда

Формируемые УУД: личностные – независимость и критичность мышления, воля и настойчивость в достижении цели.

совокупность умений самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему, определять цель учебной деятельности;

совокупность умений по использованию понятия логарифма для решения математических задач и оценки полученных результатов;

совокупность умений самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в коллективе

Тема предыдущего урока – решение показательных уравнений и неравенств.

Тема последующего урока –

Домашнее задание к уроку: вспомнить, в чем заключается графический способ решения уравнений, теорему о корне

  • Мобилизующее начало урока
  • Фронтальный опрос с целью повторения теоретического материала
  • Коллективное решение уравнений  с целью мотивации
  • Постановка проблемной задачи, постановка темы урока.
  • Подготовка к введению определения (эвристическая беседа с целью выделения существенных свойств для конструирования определения)
  • Введение определения (запись в тетрадь и на доске)
  • Решение задач  с целью введения свойств логарифма
  • Устное решение задач
  • Коллективное, письменное решение задач (доказательство логарифмического тождества)
  • Историческая справка (сообщение учащихся о логарифмической линейке и десятичном логарифме)
  • Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

Рассмотрим простейшие показательные  уравнения: 2=6 данные  уравнение мы можем решить алгебраически (кроме последнего), представив правую часть в виде степени числа 2, а чтобы убедиться, что корни действительно есть и решим их графически для этого в системе координат построим график функции у=2 и прямые  у=4, 8, 6

Постановка проблемы и ее разрешение

В чем заключается проблема? (знаем, что корень есть, но не знаем, как этот корень представить)

Вспомните, сталкивались ли мы где-то с похожей ситуацией?(8 кл при решении простейшего квадратного уравнения, когда для записи его корней возникла необходимость появления нового знака)

Аналогично, обдумывая ситуацию с рассмотрением решения уравнении,  математики ввели в рассмотрение новый символ log с помощью которого записывают корень уравнения

Подготовка к введению определения и введение определения

Запись определения: x=logb (логарифм числа b по основанию a)

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а  называют показатель степени, в которую нужно возвести число а , чтобы получить число b.

Подведение под определение и получение свойств

Прочитать и вычислить устно:

Задачник 14.1,14.2, 14.5,  + задания типа (имеет ли смысл выражение (под знаком логарифма поставить отрицательное число или 0, в основании 1 или отрицательное число)

Задач. 14.2(а,в)(св-во1),14.6(а)(св-во 2), свойство 3 (самостоятельно)

Посмотрите на выражения  последние 3 выражения, как их можно охарактеризовать с помощью свойств в символьной форме (записать св-ва в тетрадь): log

Основное логарифмическое тождество (доказательство от противного) По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом(корень).

(доказательство «от противного»)Докажем, что корень данного уравнения является числом рациональным, т.е. Тогда выполняется равенство  в любой натуральной степени будет числом четным, а  в любой натуральной степени – число нечетное. Получаем противоречие, которое и доказывает, что корень уравнения – число иррациональное. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением  математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения – иррациональное число. Мы дали определение логарифма на обычном языке, а теперь приведем то же определение на языке символов. Ab=b. Какое число находится в показатели степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b? Ответ следует из данного выше определения: этим показателем является

Сообщение ученика о десятичном логарифме

В математике для упрощения вычислений много лет используют различные вычислительные приборы. Я вам предлагаю рассмотреть интересное приспособление и ответить на некоторые вопросы (показываю логарифмическую линейку, вывожу на экран картинку с линейкой)

Беседа: знаете ли вы что это такое? Где вы ее видели? Как вы думаете, как называется эта линейка? Для чего она предназначена?

Сообщение ученика о логарифмической линейке

Тема урока: Понятие логарифма

учитель математики Каплина С.В.

познакомиться с понятием логарифма научиться находить логарифм по основанию  числа, представленного в виде степени с основанием , записывать числа в виде логарифма с основанием ,  применять основное логарифмическое тождество, а также логарифмировать выражения по указанному основанию.

повторить знания, полученные на предыдущих занятиях по теме «Показательная функция»; познакомить с понятием логарифма и научить их вычислять; установить связи преемственности в изучении нового материала с изученным, включить новые знания в систему ранее усвоенных; закрепить изученный на этом уроке материал .

развивать умственные и познавательные способности учащихся; развивать потребность в образовании, самообразовании, постоянном пополнении своих знаний, расширении общего кругозора; развивать творческое мышление.

воспитание положительного отношения к знаниям, привитие интереса к изучаемому предметуформирование навыков самоорганизации и самоконтроляразвитие познавательного интереса

обозначение и  определение логарифма числа, основное логарифмическое тождество.

находить логарифм числа,  логарифмировать выражение, содержащее степень, применять основное логарифмическое тождество.

изучения нового учебного материала.

Форма проведения урока:  фронтальная , индивидуальная, работа в парах.

Основные методы обучения: фронтальный, проблемный, частично-поисковый, наглядно-иллюстративный, информационно-коммуникационная технология.

  • компьютер – рабочее место учителя
  • раздаточный материал для учеников

2.Мотивация учебной деятельности.

3. Актуализация опорных знаний.

4.Изучение нового материала.

5.Этап закрепления знаний.

1. Организационный момент (приветствие; проверка отсутствующих; проверка готовности к уроку)

2. Мотивация учебной деятельности.

Наш урок мне хотелось бы начать словами американского математика

“Музыка может возвышать или умиротворять душу, Живопись – радовать глаз, Поэзия – пробуждать чувства, Философия – удовлетворять потребности разума, Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей”.

Надеюсь эти слова станут хорошим стимулом для изучения новой темы  и мотивируют вас на дальнейший интерес  к изучению математики в целом.

Сегодня на уроке мы должны будем ответить на 5 ключевых вопросов, качающихся нашей темы: «ЧТО?», «КТО?», « КАК?», «ЗАЧЕМ?»,  «ГДЕ?».

(Актуализация опорных знаний может быть основана на необходимости решения уравнения вида a=b при условии, что правая часть не представима в виде степени)

Итак, давайте сформулируем цель, которая стоит перед нами на 1 этапе, отвечая на вопрос  ( Узнать, что такое логарифмы.)

Начнем мы с устного  решения показательных уравнений:

=4        2 =1                ( ½) =8              2 =1/2             2

(х = 2)    ( х = 0)               (х = -3)               (х = -1)             (х= ?)

Можем ли мы решить последнее уравнение? (Нет. Потому что правую и левую часть нельзя представить в виде степени по одному основанию.)

4. Изучение нового материала

(Эвристическая беседа с использованием наглядных материалов)

Учащиеся ищут ответы на следующие вопросы:

– Что представляет собой левая часть уравнения?

– Что представляет собой правая часть уравнения?

– Какие способы решения уравнений известны?

– В чем заключается графический способ решения уравнения?

2 ≤  х ≤ 3,так как 2 < 5 < 2

Если корень показательного уравнения получается иррациональным, то как его лучше записать?

Для обозначения такого корня вводится новое понятие и новый символ –

Очень часто приходится решать подобную задачу: известно, что  Необходимо найти показатель степени  то есть решать задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени  и возникает понятие логарифма числа

x = log. Даем определение логарифма.

(Предлагается обучающимся прочитать определение логарифма вслух и про себя.  )

Логарифмом положительного числа b  по положительному и не равному единице основанию a называется показатель степени, в который надо возвести число a, чтобы получить b.

Операцию нахождения логарифма числа называют

(Операция логарифмирования является обратной для операции возведения в степень с соответствующим основанием. На слайде № 12 презентации рассматриваются примеры  взаимно обратных действий)

Из определения логарифма следует   равенство:

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Рассмотрим примеры применения основного логарифмического тождества:

Из определения логарифма следует  ещё три важные формулы

Мы познакомились с новым для вас понятием логарифма. Теперь перейдем к следующему ключевому вопросу «КТО?».

Сформулируйте цель следующего этапа урока, отвечая на второй вопрос  (Выяснить, кто впервые ввёл понятие логарифма.)

Откройте стр. 269-270 учебника и прочитайте историческую справку.

КТО автор изобретения логарифмов?

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений.   Идея логарифма,  т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю.

Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития.

Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером (1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги (1552-1632).

Слово «логарифм»  происходит от греческих слов logoz и ariumoz – оно означает буквально “числа отношений”.

Впервые понятие логарифма  ввел английский математик  Джон Непер, о чем сообщалось в публикации 1614 года, когда была опубликована работа Непера под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов».

Кроме того, этот человек известен тем, что он первый изобрел таблицу логарифмов, которая пользовалась большой популярностью среди ученых на протяжении долгих лет. Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены в 1617 г. английским математиком Бриггсом.

Изобретатели логарифмов не ограничились созданием  логарифмических таблиц, уже через 9 лет после их разработки в 1623 г. английским математиком Гантером была создана первая логарифмическая линейка. Она стала рабочим инструментом для многих поколений инженеров (до 70-х годов нашего века). В настоящее время мы можем находить значения логарифмов, используя компьютер. Так, в языке программирования BASIC с помощью встроенной функции можно находить натуральные логарифмы чисел.

5. Этап закрепления знаний.(Решение задач с целью усвоения понятия логарифма)

Переходим к следующему вопросу  Сформулируйте цель этого этапа урока. (Узнать как вычисляются логарифмы. Научиться вычислять логарифмы)

Рассмотрим примеры вычисления логарифмов:

Решите устно тренировочные упражнения:

Выполняем № 758 в тетрадях. Работаем вместе с доской. (К доске выходит один учащийся и решает примеры 1, 2 и 3).

Разберем следующие примеры на вычисления:

Какие свойства степени и новые полученные знания мы здесь можем применить?  (степень степени, основное логарифмическое тожество, определение степени)

Какие свойства степени и новые полученные знания мы здесь можем применить?  ( сумма степеней, основное логарифмическое тожество, определение степени.)

1 пара – 1 и 2,2 пара –  3 и 4, 3  пара – 5 и 6.

К доске по одному от каждой пары решить по одному уравнению.

На очереди следующий вопрос Сформулируем цель данного этапа урока, отвечая на поставленный вопрос. (Выяснить зачем изучают логарифмы).

«Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней словно удваивает жизнь астрономов»

Откройте учебник и прочитайте информацию на  странице  241.

Логарифмы упрощают вычисления, позволяют решать показательные уравнения, где правая часть не может быть выражена  в виде степени, находить показатель степени, т.е. выполнять операцию, обратную возведению в степень. Логарифмы широко используются при решении различных теоретических и практических задач.

состоит в сведении сложных действий возведения в степень и извлечения корня к более простым действиям – умножению и делению, а последних к – самым простым – сложению и вычитанию.

Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов упростило жизнь тех, кто по роду своей деятельности был связан с громоздкими вычислениями и сложными расчетами.

Как не правы те друзья,

что утверждают смело:

логарифмы – ерунда,

не нужны для дела.

Логарифмы – это всё:

музыка и звуки,

и без них никак нельзя

обойтись в науке!

Вот мы перешли к последнему вопросу  Сформулируйте цель. Что мы должны узнать отвечая на этот вопрос? (Узнать, где применяются логарифмы.)

Логарифмы широко используются в различных областях науки, например:

  • интенсивность звука (децибелы).
  • шкала яркости звёзд.
  • активность водородных ионов.
  • нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
  • — логарифмическая шкала времени.

Математическим символом соотношения формы и роста является

логарифмическая спираль. Эта спираль пересекает все прямые, проходящие через полюс под одним и тем же углом.

Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться  лишь по логарифмической спирали или ее аналогиям. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, закручены по логарифмической спирали.

Рога таких животных, как архары, закручены по логарифмической спирали. В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.

По логарифмической спирали формируется и тело циклона, закручены и многие галактики, в частности – Галактика Солнечной системы.

6. Итоги урока.  Вот мы ответили на все поставленные в начале урока вопросы.

Основные результаты урока :

  • Ввели обозначение для записи корня уравнения вида
  • Пополнили словарный запас математического языка понятиями   логарифм числа,     основание логарифма;
  • Ввели новые обозначения:
  • Научились вычислять значения логарифма.

7. Домашнее задание: учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» под редакцией Ю.М. Колягина. Глава 7, § 1, №756, 757,   759, 762

Ответьте на вопросы и самостоятельно оцените свою работу на уроке по 10 бальной шкале.

– Как ты считаешь, полезным ли было проведенное занятие?

– Получены ли новые знания и умения?

– Какие моменты занятия особенно запомнились?

– Каких моментов занятия хотелось бы избежать?

Оцени свою работу на уроке по 10 бальной шкале (поставь свою точку на шкале).

Комитет образования и науки Курской области

Областное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Курский автотехнический колледж»

«Логарифмы и их свойства»

(методическая разработка открытого занятия по предмету «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для специальности

20.02.02   Защита в чрезвычайных ситуациях)

Власова Валентина Егоровна

В данной методической разработке приводится описание методики проведения занятия по совершенствованию знаний  по теме «Логарифмы и их свойства». Рассматриваются следующие вопросы: определение логарифма, свойства логарифмов, основное логарифмическое тождество, переход к новому основанию. Решаются примеры на использование свойств логарифмов, преобразование логарифмических выражений.

Урок-путешествие «Логарифмы и их свойства»

  • Формирование умений применять стандартные приемы вычисления логарифмов, самостоятельно определять цели деятельности и составлять план деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность.
  • Развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры.
  • Формирование понимания значимости понятия логарифм в области естественнонаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла..

показать способы интенсификации учебно-воспитательного процесса на уроке повторения.

систематизация  и обобщение знаний.

ЧС-11, специальность 20.02.02   Защита в чрезвычайных ситуациях.

: Власова В.Е.

: компьютер, экран, проектор, электронная презентация; карта маршрута, карточки-задания для команд и групп поддержки; магнитная доска и магниты, бейджи для членов команд, задания на доске, учётные листы для жюри и сводная таблица на доске, призы.

1. Организационный момент. Приветствие. Проверка отсутствующих -1 мин

3. Актуализация знаний –

4.Самостоятельная  работа –

»  – 8мин

«Долина математических знаний»-

«Привал у реки» ( « Логарифмический дартс» ) -4мин

Путь через лес» (составление верных равенств) -3 мин

Восхождение в гору знаний

орога к дому» (разгадывание ребуса)  2 мин

5. Домашнее задание

6. Подведение итогов. Рефлексия –

1. Организационный момент. Приветствие. Проверка отсутствующих.

– Дорогие ребята, практически все люди любят путешествия и хотя бы раз в жизни отправляются в поход. Я тоже хочу пригласить вас в виртуальное путешествие в «Математическое царство». ().Темой нашего маршрута станет раздел математики: «Логарифмы и их свойства». В качестве девизов нашего путешествия мне хотелось бы предложить такие слова:  «Знания приумножая, чужие посещать края считаю делом добрым я» и «Люди познаются в споре и в пути».

– Участниками нашего путешествия станут члены двух команд «Знатоки» и «Смекалистые», позвольте представить их капитанов За каждый  этап маршрута члены команды получат заработанные ими баллы, а команду-победительницу ждёт достойная награда. Помогать вести учёт накопленных баллов мне помогут независимые члены жюри.

-В начале давайте выберем способ передвижения.  На столах у вас имеются карточки (№1), вы отвечаете на вопросы, и записываете  лишь первую букву ответа. Из записанных букв вы должны составить слово, которое должно определить вид транспорта  (слайд2), (приложение1)

3. Актуализация знаний.

наряжаемся в путешествие»

– Перед тем как отправиться в путешествие мы должны собрать всё необходимое снаряжение. Это будут знания по изученной теме, которые пригодятся нам в пути. За каждый правильный ответ на вопрос команда заработает 1 балл (

Выставление баллов в

– Обе команды подошли к «Пещере вычислений». Ваша задача решить 4 примера, т.е. расшифровать код, с помощью которого пещера откроется. После мы обсудим ваши старания

– Итак, перед нами долина математических знаний. Представитель команды должен познакомить присутствующих с применением или  использованием знаний о логарифмах в различных областях науки и техники. Оценивается выступление 5 баллами.

«Применение логарифмов в различных областях» (презентация2).

– Наши команды  подошли  к реке. Здесь можно устроить привал и  поиграть в логарифмический дартс.  Каждая команда может  бросать дротик в течение 2 минут. Каждое попадание в цель  – правильный ответ приносит команде 1 балл

– Впереди нас ждёт целый лес математических названий и формул. Капитанам нужно расчистить дорогу среди густых зарослей. По команде за 2 минуты должны составить верные равенства    (приложение 4 )

Восхождение в гору знаний(решение 5 примеров в картах) Участникам путешествия предстоит преодолеть крутые подъемы, пройти узкими тропинками, не допустит обвалов. На столах у вас находится путевой лист, который нужно заполнить в течение 8 минут. Удачи

– Чтобы найти кратчайший путь к исходному пункту, командам предстоит разгадать ребус . Время выполнения -2 минуты (

5. Домашнее задание.

– Уважаемые туристы, наше путешествие подошло к концу. Спасибо Вам за полноценную работу.  По свежим впечатлениям вы дома сделаете путевые заметки. Для этого нужно решить задачу. Запишите её условие в тетради.

– Жюри подсчитали сумму заработанных командами баллов. Давайте поздравим победителей! Все участники основной команды заработали сегодня отметку «5». Другая команда тоже показала большую волю к победе и получает отметку «4». Все были активными, позитивно настроены и успешно преодолели все этапы путешествия. А как вы оцениваете наш урок, с каким настроением уходите с него? Запишите свое мнение в графе итог урока. Собираю карты.

– Благодарю всех студентов и гостей! Урок окончен (

1.Чему равен логарифм 8 по основанию 8?                                  Единица

26    и   log

3. Чрезвычайная ситуация, связанная с распространением огня? Пожар

4. Сколько корней имеет уравнение     2 logx  =  4 ?                    Один

5. Как называют группу ликвидаторов чрезвычайных ситуаций, выполняющих единую задачу?                                                                                                       Команда

6. Чему равно выражение

П Е Ш К О М

6.Чему равен логарифм степени   log

7.Основное логарифмическое тождество? (записать на доске)

8. Чему равно выражение   log

9. Вычислить  log

10. Формула перехода к другому основанию (записать на доске)

2. Найти значение выражения

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Составить верные равенства ( карточки разрезаны и перемешаны)

Для обогрева помещения, температура в котором  TC , через радиатор отопления пропускают горячую воду   C . Расход проходящей через трубу воды  m = 0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние   (м), вода охлаждается до температуры Т, причем,

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

(м),  где  с =4200Дж/кг·с  – теплоемкость воды,                      у = 21 Вт/м·с – коэффициент теплообмена, а

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

= 1,6 – постоянная. До какой температуры охладиться вода, если длина трубы 96м?

C . Расход проходящей через трубу воды  m = 0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние   (м), вода охлаждается до температуры Т, причем,  x =

Ограничения, связанные с логарифмом

Основные свойства логарифмов

Три основных вида логарифмов

Преобразования логарифмических выражений

Переход к новому основанию алгоритма

Использование логарифма для вычислений

Логарифмическая функция в природе и науке

Великий ученый Пьер-Симон Лаплас говорил, что изобретение логарифмов продлило жизнь астрономов вдвое, ведь с их помощью астрономические расчеты, которые ранее занимали несколько месяцев, стало возможно выполнять за считанные дни. Что же представляют собой логарифмы и как они так сильно упрощают вычисления? Для ответа на этот вопрос сначала следует вспомнить показательные уравнения.

Рассмотрим простейшее показательное уравнение 2х = 4. Так как 22 =4, то, очевидно, оно имеет единственный корень, равный 2. Найти его можно не только аналитически, но и графически:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Далее посмотрим на уравнение 2х = 8. Так как восьмерка – это двойка в кубе (23 = 8), то единственным корнем ур-ния будет число 3. Также проиллюстрируем это с помощью графика:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Однако если мы попытаемся решить уравнение 2х = 6, то мы столкнемся с проблемами. Представить шестерку как какую-то степень двойки не получается. Графический метод показывает, что у этого ур-ния есть единственный корень, который лежит между числами 2 и 3, но точно определить его значение не получается:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Можно доказать (мы не будем этого делать), что искомый нами корень невозможно выразить с помощью дробей и даже корней n-ой степени. Поэтому возникает необходимость ввести какое-то новое обозначение, чтобы записывать корни таких уравнений. Математики придумали для такого числа обозначение log2 6, которое читается как «логарифм шести по основанию два».

Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть есть некоторое ур-ние

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Если число b положительно, то уравнение имеет корень, и при том единственный. Для его обозначения используется запись logab. Покажем, как графически показать значение величины logab. Для этого надо построить показательную функцию у = ах и горизонтальную линию у = b. Они пересекутся в единственной точке (если b положительно). Абсцисса (координата х) этой точки и будет равна logab:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Дадим строгое определение логарифма:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Задание. Какое число является решением показательного уравнения

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Задача. Слиток радиоактивного изотопа, чей период полураспада (его обозначают буквой Т) составляет 10 минут, имеет начальную массу (m0), равную 1 кг. Через сколько минут его вес уменьшится до 300 грамм (0,3 кг)? Масса радиоактивного изотопа изменяется по закону

m(t) = m0•2–t/T

Решение. Подставим исходные данные в формулу, и получим уравнение с неизвестной величиной t:

0,2 = 1•2–t/10

0,3 = 2–t/10

Получили простейшее показательное уравнение, однако его левую часть (число 0,3) нельзя представить как степень двойки. Однако с помощью определения логарифма мы можем записать, что

– t/10 = log2 0,3

Умножаем ур-ние на (– 10) и получаем:

t = – 10 log2 0,3

С помощью калькулятора или компьютера можно узнать, что

log2 0,3 ≈ – 1,737

Тогда искомое нами время примерно равно

t = – 10 log2 0,3 ≈ – 10•(– 1,737) ≈ 17,37 минут ≈ 17 минут 22 секунды

Ответ: – 10 log2 0,3 минут ≈ 17 минут 22 секунды.

Из задачи видно, что с логарифмы используются и при решении некоторых практических задач.

Иногда бывает удобнее использовать иное определение, которое по своей сути почти не отличается от первого:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Вычислим для примера несколько простейших логарифмов:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Ограничения, связанные с логарифмом

Заметим, что сам логарифм может оказаться любым вещественным числом, ведь мы умеем возводить числа и в отрицательные, и в дробные, и даже в иррациональные степени. Однако для логарифма logab некоторые ограничения накладываются на значение числа а (оно называется основанием логарифма) и на значение числа b (будем называть его аргументом логарифма).

Напомним, что при определении показательной функции у = ах было введено ограничение, согласно которому основание степени (число а) должно быть строго положительным числом и при этом НЕ может равняться единице. Из-за этого и основание логарифма должно также соответствовать этому ограничению. Основание логарифма и основание показательной функции даже специально обозначают одной буквой а, чтобы связь этих двух понятий была очевидней.

Также напомним, что показательное уравнение ах = b имеет решение только при положительных значениях b. Это решение и представляет собой logab. Если же число b отрицательно, то корня у уравнения нет, а значит и вычислить logab невозможно. Поэтому аргумент логарифма не может быть отрицательным.

Сформулируем эти ограничения в виде одного правила:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Ранее мы уже сталкивались с тремя случаями, когда выражения не имеют смысла. Во-первых, это происходит при делении на ноль (или нахождении нуля в знаменателе дроби, что, по сути, одно и то же). Во-вторых, выражения бессмысленны, если под корнем четной степени находится отрицательное число. В-третьих, не имеют смысла выражения, в которых отрицательные числа возводятся в дробную степень, ведь возведение в дробную степень можно заменить извлечением корня

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

а отрицательное число не должно оказываться под знаком корня

Сейчас мы узнали четвертый подобный случай, связанный с понятием логарифма. Больше в рамках школьного не будут рассматриваться никакие другие ситуации, в которых выражение может потерять смысл.

Основные свойства логарифмов

Любое число, возведенной в первую степень, равно самому себе. То есть справедливо равенство

а1 = а

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Продемонстрируем использование этого правила:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Любое число при возведении в нулевую степень равно единице:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Из этого следует второе важное правило: логарифм единицы по любому основанию равен нулю:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Покажем несколько примеров использования этого тривиального правила:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Для получения третьего свойства логарифма запишем очевидно справедливое равенство:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Пользуясь определением логарифма, мы можем записать, что logaac = c.

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Продемонстрируем, как работает это свойство логарифмов:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Это правило можно применить для вычисления некоторых простейших логарифмов:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Логарифм logab, согласно одному из своих определений, это та степень, в которую нужно возвести а, чтобы получилось b. Это определение можно представить в виде формулы:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Данное равенство называют основным логарифмическим тождеством.

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

В силу этого тождества справедливы следующие равенства:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Функция логарифма

Арифметическое действие, в ходе которого находят логарифм какого-либо числа, называется логарифмированием. Это действие является обратным по отношению к возведению в степень. Проиллюстрируем это табличкой, в которой слева будет показана операция возведения в степень, а справа – логарифмирование:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Теперь подумаем о функции у = logax. Так как логарифмирование является обратным действием для возведения в степень, то и ф-ция у = logax должна быть обратной для показательной ф-ции у = ах.

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

В свою очередь это означает, что графики этих двух функций должны быть симметричны относительно прямой, задаваемой уравнением у = х.

Напомним, что на вид показательной функции у = ах влияет значение основания степени а. Если оно больше единицы, то функция оказывается возрастающей. Тогда и обратная ей логарифмическая функция также окажется возрастающей. Для примера построим графики у = 2х и у = log2x.

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Полученный график логарифмической функции называют логарифмической кривой, однако понятно, что она представляет собой всё ту же экспоненту, которую отобразили симметрично относительно оси Ох.

График у = log2x можно и построить иначе, по точкам, просто вычислив ее значение в нескольких «удобных» для вычисления точках:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Видно, что в обоих случаях получился один и тот же график. Похожим будет и график любой функции у =logax, если число а будет больше единицы.

Ситуация меняется в том случае, когда а < 1, ведь при таком основании показательная функция у = ах будет убывающей. Тогда убывающим окажется и логарифмическая функция. Для примера построим график ф-ции = 0,5х и график обратной ей функции у = log0,5x:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Возможно, вы заметили, что графики у = log2x и у = log0,5xчем-то похожи друг на друга. И действительно, если построить их на одной плоскости, то мы увидим, что они симметричны относительно оси Ох:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Причиной такой симметрии является то, что их основания, числа 2 и 0,5, являются обратными числами, то есть при перемножении дают единицу (2•0,5 = 1).

Аналогично такой же симметрией будут обладать любые две логарифмические кривые с обратными основаниями. Это свойство логарифмов мы докажем чуть позднее.

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Далее построим ещё несколько графиков, чтобы лучше понять свойства логарифмических функции:

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Анализируя полученные графики, мы можем заметить следующие свойства функции логарифма:

Областью значения логарифмической функции является множество всех действительных чисел, то есть промежуток(– ∞; + ∞).

График каждой логарифмической функции проходит через точку (1; 0). Это связано с тем, что для любого основания справедливо равенство loga 1 = 0.

Три основных вида логарифмов

Математика изучает логарифмы с любыми положительными основаниями. Однако на практике наиболее распространены три их вида.

Первым из них является десятичный логарифм, основание которого равно 10. Дело в том, что его помощью до изобретения калькуляторов и компьютеров можно было быстро и с высокой точностью перемножать большие числа, используя такой прибор, как логарифмическая линейка. История понятия логарифма начиналась в XVI-XVII веках и была связана именно с необходимостью выполнения сложных арифметических действий с большими числами. Для обозначения десятичных логарифмов используют специальный символ lg, то есть

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Сегодня из-за развития электроники десятичные логарифмы используются значительно реже по сравнению с 50-60 г. XX века. Но, так как почти вся вычислительная техника построена на использовании двоичной системы счета, возросла значимость двоичного логарифма log2b. Для его обозначения не используются никакие специальные символы, однако в работах, посвященным информатике и оценке сложности алгоритмов, он используется особенно часто.

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

В каком классе урок по теме "Логарифмы и их свойства" .) схема подачи материала в виде конспекта по математике (10 класс)

Свойства натурального логарифма, которые отличают его от других логарифмов, будут изучены нами позднее, в 11 классе. Заметим лишь, что многие физические формулы содержат именно натуральный логарифм.

Оцените статью
Добавить комментарий