В учебнике математики 6 класса “Пропорции” (с примерами) на тему

По трём известным членам пропорции всегда можно найти её неизвестный (четвёртый) член.

Решить пропорцию — значит, найти все её члены. Решим пропорцию ниже (найдём
«»).

Чтобы найти «», используем основное свойство пропорции (правило «креста»).

Теперь мы готовы разбираться, как решать задачи на пропорции.

Некоторые линейные уравнения имеют вид, который сильно напоминает обыкновенную пропорцию.
Например, рассмотрим такое уравнение.

Для решения уравнения с пропорцией используют правило пропорции или,
как его называют по-другому, правило креста.

Подробно понятие пропорции мы рассматривали в уроке
«Пропорции».
В этом уроке мы вспомним только основные моменты необходимые для решения уравнений с пропорцией.

Кратко пробежимся по теории.

Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остаётся неизменным.

Пропорция – это равенство двух отношений.

Отношение – это частное двух чисел. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого.

Основное свойство пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

Решим две задачи.

Задача № 1. За (5) кг товара заплатили (325) руб. Вычисли стоимость (11) кг этого товара.

1) Масса товара и его стоимость — прямо пропорциональные величины, т. к. при увеличении массы стоимость увеличивается во столько же раз.

2) Обозначим стоимость (11) кг товара буквой (x). Составим пропорцию.

3) Применим основное свойство пропорции. Найдём (x).

4) Ответим на вопрос задачи.

Краткая запись задачи:

(5) кг     —   (325) руб.

(11) кг     —     (x ) руб.

Применим основное свойство пропорции и найдём (x):

(x = 715) руб.

Ответ: товар стоит (715) руб.

Задача № 2. (16) солдат могут отрыть окоп за (21) ч. Сколько понадобится солдат, чтобы выполнить эту работу за (12) ч?

1) Количество солдат и продолжительность работы при одинаковой производительности труда каждого солдата — обратно пропорциональные величины.

2) Обозначим количество солдат, которые смогут выполнить работу за (12) ч., как (y). Составим пропорцию.

3) Применим основное свойство пропорции. Найдём (y).

(16) солдат    —    (21) ч.

(y) солдат     —   (12) ч.

Применим основное свойство пропорции и найдём (y):

(y = 28) солдат.

Ответ: чтобы выполнить работу за (12) ч., понадобится (28) солдат.

Найдите неизвестный член пропорции:

Изучение нового материала.

Ввести понятие пропорции и его основного свойства.

активизировать знание учащихся по теме «Отношения»; познакомить учащихся с понятиями: пропорция, члены пропорции, верная и неверная пропорция, а также с основным свойством пропорции и сформировать навык по определению верной пропорции.

развивать математическую речь, сформировать умения сравнивать, внимание классифицировать, обобщать.

формировать культуру учебного труда, воспитывать целеустремленность.

мультимедиа проектор, таблицы.

I. Актуализация знаний

1. сообщение темы и целей урока

2. Фронтальный опрос

3. Индивидуальный опрос (на местах и у доски)

4. Устное решение задач

5. Подведение итогов I этапа урока

II. Изучение нового материала

1. Эвристическая самостоятельная работа с целью введения определения «пропорции».

2. Запись определения в тетради

3. Устное, фронтальное решение задачи с целью первичного закрепления определения пропорции

4. Комплексная работа по оформлению таблицы 1 и формулировки основного свойства пропорции.

III. Первичное закрепление

1. Коллективная работа по заполнению таблицы 2 с вызовом ученика к доске

2.Самостоятельное, коллективное решение задачи с последующей проверкой

3. Математический диктант

IV Итог урока, проверка д/з

Сегодня мы приступаем к изучению новой темы. Чтобы узнать тему урока прочитайте слово: ЯИООППРРЦ (слайд 1). Правильно. Тема урока: «Пропорция» (слайд 2). На уроке мы познакомимся с пропорцией, узнаем из чего состоит пропорция, научимся выяснять является пропорции верными или неверными. Но прежде блиц-опрос и проверка д/з. (пока проводится фронтальный опрос, один ученик готовит задачу из д/з, а другие 2 выполняют задание на карточках (приложение 1).

Блиц – опрос:

– Что такое отношение?

– Как можно записать отношение?

– Что показывает отношение?

– Как найти процентное отношение?

– Перейдем к устному решению задач (слайд 3)

– Перед вами несколько отношений. Найдите значение этих выражений (слайд 4)

4 : 0,5 =

5 : 10 =                         2,5 : 5 =

Сгруппируйте отношения и составьте соответствующие равенства (слайд 5). (полученные равенства записывают в тетрадь)

4 : 0,5 = 8 : 1

5 : 10 = 2,5 : 5

Полученные равенства называются пропорцией. Подумайте и дайте определение пропорции. (Пропорция – это равенство двух отношений) (записывают определение в тетради)

Далее рассказывается о значении слова «Пропорция» в толковом словаре (слайд 6)

– Запишем пропорцию, используя буквы a, b, c, d (слайд7)

a : b = c : d или

одновременно учащиеся делают все записи в тетрадях.

-Эти записи читают так:

» или «

называются крайними членами, а  – средними (слайд 7)

Далее устно выполняется следующие задание с последующей проверкой:

– Перед вами равенства. Все ли они являются пропорциями? (слайд 8, 9)

0,8 : 0,2 = 4,8 : 1,2

0,5 * 40 = 10*2

– Проверьте пропорции, определяя отношения чисел и назовите верные и неверные пропорции.

Далее проводится письменная работа по заполнению таблицы 1 (приложение 1) с целью введения основного свойства пропорции.

3 человека работают на откидной доске, а остальные на местах.

– какой вывод можно сделать?

(Произведение крайних членов равно произведению средних). Это и есть основное свойство пропорции (слайд 10).

Учащиеся записывают его в тетрадь.

III. Первичное закрепление нового материала:

– Переходим к следующему заданию: используя основное свойство пропорции, определите какие пропорции являются верными а какие нет. (данное задание выполняется по цепочке с выходом к доске) (слайд 10) (приложение 1 таблица 2)

7,5 : 5 = 2 : 3

5 : х = 20 : 4х

Затем, ребята самостоятельно с последующей проверкой, выполняют задание из чисел 1; 3; 5; 15 составьте верную пропорцию (слайд 11, 12)

– Сколько верных пропорций можно составить?

– Какое свойство использовали при выполнении данного задания?

Последующие упражнения посвящены нахождению неизвестного члена пропорции (слайд 13, 14) – данные задания можно исключить за нехваткой времени.

В конце урока проводится математический диктант с последующей проверкой. (слайд 15, 16).

IV. Итог урока, постановка д/з.

Ириски – 1,2 кг

Карамели 1,8 кг

1. Во сколько раз меньше купили ирисок чем карамели?

2. Какую часть всех конфет составляют ириски?

3. Сколько процентов составляет карамель от всех конфет?

Из ружья сделано 50 выстрелов при этом 5 пуль пролетело мимо цели. Определите процент попаданий.

Используя основное свойство пропорции, определите какие пропорции являются верными, а какими неверными. (используйте буквы В и Н)

Общие сведения

Изучение какого-либо термина в математике начинается с определения. Пропорцией вида x / y = v / z (x: y = v: z) называется равенство отношений двух чисел. Она представлена в виде правильной дроби, и состоит из следующих элементов, которые называются крайними (x и z) и средними (y и v) членами.

Следует отметить, что в некоторых сферах пропорциональная зависимость может быть представлена в немного другом виде. В этом случае знак равенства не указывается. Для удобства используется символ деления «:». Записывается в таком виде: a: b: c. Объяснение такой записи очень простое: для приготовления какого-либо вещества нужно использовать «а» частей одного компонента, b — другого и с — третьего.

Знак равенства не имеет смысла указывать, поскольку этот тип пропорциональной зависимости является абстрактным. Неизвестно, какой результат получится на выходе. Если взять за единицу измерения массу в кг, то и конечный результат получится в кг. В этом случае решать пропорцию не нужно — достаточно просто подставить данные, и получить результат.

Бывают случаи, когда следует посчитать пропорцию в процентах. Пример — осуществление некоторых финансовых операций.

Сферы применения

Пропорция получила широкое применение в физике, алгебре, геометрии, высшей и прикладной математике, химии, кулинарии, фармацевтике, медицине, строительстве и т. д. Однако ее нужно применять только в том случае, когда элементы соотношения не подчиняются какому-либо закону (методика исследования величин такого типа будет рассмотрена ниже), и не являются неравенствами.

В алгебре существует класс уравнений, представленных в виде пропорции. Они бывают простыми и сложными. Для решения последних существует определенный алгоритм. Кроме того, в геометрии встречается такие термин, как «гомотетия» или коэффициент подобия. Он показывает, во сколько раз увеличена или уменьшена фигура относительно оригинала.

Масштаб в географии является также пропорцией, поскольку он показывает количество см или мм, которые содержатся в какой-либо единице, зависящей от карты (например, в 1 см = 10 км). Специалисты применяютправило пропорции в высшей и прикладной математике. Расчет количества реактивов, вступающих в реакцию, для получения другого вещества применяется также пропорциональная зависимость.

Каждая хозяйка также применяет это соотношение для приготовления различных блюд и консерваций. В этом случае пропорция имеет немного другой вид: 1:2. Все компоненты берутся частями с одинаковыми размерностями или единицами измерения. Например, на 1 кг клубники необходимо 2 кг сахара. Расшифровывается такое соотношение следующим образом: 1 часть одного и 2 части другого компонентов.

В фармацевтике она также применяется, поскольку необходимо очень точно рассчитать массовую долю для каждого компонента лекарственного препарата. В медицине используется пропорциональная зависимость для назначения лекарства больному, дозировка которого зависит от массы тела человека.

Для приготовления различных строительных смесей она также используется, однако у нее такой же вид, как и для кулинарии. Например, для приготовления бетона М300 необходимы такие компоненты: цемент (Ц), щебень (Щ), песок (П) и вода (В). Далее следует воспользоваться таким соотношением, в котором единицей измерения является ведро: 1: 5: 3: 0,5. Запись расшифровывается следующим образом: для приготовления бетонной смеси необходимо 1 ведро цемента, 5 щебня, 3 песка и 0,5 воды.

Основные свойства

Для решения различных задач нужно знать основные свойства пропорции. Они действуют только для соотношения x / y = v / z. К ним можно отнести следующие формулы:

• Перемножение «крест-накрест»: x * z = y * v.
• Перестановка: x / v = y / z и v / x = z / y.
• Увеличение или уменьшение: x + у / y = v + z / z и x — у / y = v — z / z.
• Составление через арифметические операции сложения и вычитания: (x + v) / (y + z) = x / y = v / z и (x — v) / (y — z) = x / y = v / z.

Первое свойство позволяет перевернуть правильные дроби соотношений двух величин. Это следует делать одновременно для левой и правой частей. Умножение по типу «крест-накрест» считается главным соотношением. С помощью его решаются уравнения и упрощаются выражения, в которых нужно избавиться от дробных частей. Найти неизвестный член пропорции можно также с помощью второго свойства, формулировка которого следующая: произведение крайних эквивалентно произведению средних элементов (членов).

Очень часто члены соотношения необходимо переставить для оптимизации вычислений. Для этого применяется свойство перестановки. При этом следует внимательно подставлять значения в формулу, поскольку неправильные действия могут существенно исказить результат решения. Этого можно не заметить. Для осуществления проверки следует подставить значение неизвестной в исходную пропорцию. Если равенство соблюдается, то получен верный результат. В противном случае необходимо найти ошибку или повторить вычисления.

Увеличение или уменьшение пропорции следует производить по четвертому свойству. Основной принцип: равенство сохраняется в том случае, когда уменьшение или увеличение числителя происходит на значение, которое находится в знаменателе. Нельзя отнимать от пропорции (от числителя и знаменателя равные числовые значения), поскольку соотношение не будет выполняться. Это является распространенной ошибкой, которая влечет за собой огромные погрешности при расчетах или неверное решение экзаменационных заданий.

Составить пропорцию можно с помощью вычитания и сложения. Этот прием применяется редко, но в некоторых заданиях может использоваться. Суть его заключается в следующем: отношение суммы крайнего и среднего элемента к суммарному значению других крайнего и среднего членов, которое равно отношению крайнего к среднему значению. Однако не ко всем выражениям можно применять свойства пропорции. Следует рассмотреть методику их определения.

Урок математики по теме: «Пропорции»

Дидактическая цель урока: ввести определение пропорции;

организовать деятельность учащихся по выведению основного свойства пропорции;

создать условия для формирования у учащихся умения применять основное свойство пропорции для нахождения неизвестного члена пропорции.

учащиеся учатся записывать пропорции, проверять полученные пропорции, определяя отношения чисел;

учатся записывать основное свойство пропорции и применять его для нахождения неизвестного члена пропорции.

понимать и принимать учебную задачу, поставленную учителем на разных этапах обучения;

Осуществлять анализ своих действий и делать выводы;

Участие в диалоге, отражение в письменной форме своих решений;

ответственное отношение к учению;

ясно, точно грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи на выполнение действий с отношениями чисел;

коммуникативная компетентность в общении и сотрудничестве со сверстниками в образовательной учебно–исследовательской и других видах деятельности;

уважительное отношение к другому мнению при ведении диалога.

создать условия для приобретения знаний по теме «Пропорция»;

способствовать осознанию правила нахождения неизвестного члена пропорции через применения основного свойства пропорции.

способствовать формированию умений анализировать и систематизировать информацию.

продолжать развитие теоретического мышления, математической речи, коммуникативных умений делового общения.

математика 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений Н.Я. Виленкин; наглядный материал.

Формы организации познавательной деятельности: фронтальная, парная, групповая.

компьютер, проектор, интерактивная доска.

7.   Самостоятельная работа.

8.   Подведение итогов.

9.  Домашнее задание.

1. Организационный момент:

– Эпиграфом к нашему уроку станут следующие слова Льва Толстого:

“Человек подобен дроби: в знаменателе – то, что он о себе думает, в числителе – то, что он есть на самом деле. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь”.

Перед вами на столе лежат детали белого и зеленого цветов.

Пододвиньте к себе детали белого цвета и попробуйте собрать из них фигурку человечка.

Вам нравится эта фигурка? (нет) Почему? (она не пропорциональная.)

Теперь пододвиньте детали зеленого цвета и соберите из них фигурку. Что про нее можете сказать? (Она пропорциональная).

Само слово «пропорция» (от латинского proportio) означает «соразмерность», определенное соотношение частей между собой. Значит, в первом случае  не учтена пропорциональность размеров объектов и фигурка теряет привлекательность, красоту.Учение о пропорциях особенно успешно развивалось в IV в до н.э. в Древней Греции, славившейся произведениями искусства, архитектуры, развитыми ремеслами. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке. Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета .Вот примеры.

2.Формулировка темы урока.

Давайте сформулируем тему урока.

1)Открываем тетради   записываем дату и тему урока.

Клоун решил найти отношение массы мышки к массе слона. Мышка весит – 30 г, слон – 5т. “Составляем отношение: 30/5, – сказал клоун. – Мышка в 6 раз тяжелее слона!”

Публика смеялась: все видели, что клоун, что сделал ошибку. Какую?

(Использовал разные единицы массы)

Составьте правильное отношение и найдите, какую часть массы слона составляет масса мышки.

1т=1000кг         1кг=1000г             5т.=5000 000 г

30: 5000 000 = 6:1000 000

Вывод. Что за выражение получилось? Что мы о нем можем сказать?

К этим вопросам мы вернёмся в конце урока.

3.Изучение нового материала.

1) Найдём числовые значения двух отношений:

30:3 и 10 :5?

Следовательно, можем записать равенство 6:3=10:5

Такое равенство называется

равенство двух отношений называется пропорцией.

2)  a: b=c :d

a,d -крайние члены пропорции

b,c-  средние члены пропорции

30:5000 000 =6 :1000 000

1)Какие из равенств являются пропорциями?

а) 2,5 : 0,5 = 45 : 9;б) 2,5 : 0,5 = 3 + 2;в) 0,5 * 12 = 24 : 4.

2)Назовите пропущенные числа.

а) 105 :  __ = 70 : 2    б) 15 : 3 =  __ : __

3) Прочитайте пропорцию:

а) 18 : 6 = 24 : 8б) 30 : 5 = 42 : 7в)36 : 9 = 50 : 10.

4) Назовите крайние и средние члены пропорции.

5) Верно ли составлены пропорции? Проверьте.

– Как проверить верно, ли составлена пропорция? (Вычисляют числовое значение каждого отношения, составляющего пропорцию. Если эти отношения равны, то пропорция составлена, верно; если не равны, то пропорция составлена неверно.)

– Оказывается можно проверить и по-другому. Можно проверить пропорцию с помощью основного свойства пропорции.

. Игра-соревнование.  (Проверка заполнение на интерактивной доске).

Работа в группах

– Что вы заметили? (Произведение крайних членов верной пропорции равно произведению средних членов пропорции

– Это свойство называют основным свойством пропорции. Для пропорции a : b = c : da * d = b * c.

Верно и обратное утверждение: “Если a * d = b * ca : b = c : d.”

Чтобы убедиться в том, что пропорция составлена, верно, достаточно проверить, равны ли произведения крайних и средних членов. Если эти произведения равны, то пропорция составлена, верно.

2)Запись на доске учителем.

Примеры: 1) Пропорция 0,9 : 3,6 = 0,4 : 1,6 составлена верно, так как 0,9 x 1,6 = 1,44 и 0,4 x 3,6 = 1,44.

2) Пропорция 5,4 : 1,8 = 4 : 3 составлена неверно, так как 5,4 x 3 = 16,2; а 1,8 x 4 = 7,2.

Работа с учебником.

(Учащиеся работают у доски с объяснением, начиная с первой парты, по очереди)

Выполнить № 760, № 762.

4)Работа в парах:

Составить, если можно, пропорции из четырёх данных чисел:

а) 100; 80; 4; 5. б) 5; 10; 9; 4,5. в) 45; 15; 8; 75.

. (Видео физминутка)

7. Самостоятельная работа.

Тест по теме «Пропорция»

Выберите один верный ответ:

Отношением двух чисел называют: а) произведение этих чисел;

с) частное этих чисел.

. В пропорции

ч) средними членами пропорции;

п) крайними членами пропорции.

3. Верна ли пропорция 2,4:6=1,6:4

Найдите произведение средних членов пропорции

2,4 : 20 = 0,24 : 2.

т) 4,8    с)5,4   м)48

Из данных пропорций выберите верную:

а) 36: 2 = 64 : 3 ; б)15 : 8 = 13 : 6; ь 17 : 2 = 34 : 4;

г) 22 : 5 = 81 : 4.

. Найдите произведение крайних членов пропорции:

т) 0,3   р)4      я)9,6

В – 2     Тест по теме «Пропорция»

Отношение показывает: в) во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое составляет от второго; т) на сколько первое число больше второго или какую часть второе составляет от первого.

д)средними членами пропорции;

е) крайними членами пропорции.

Верна ли пропорция 2,5:5=1,5:2

2,1 : 7 = 1,5 : 0,5.

н) 10,5  с)5,4   м)48

8. Итог урока.

1) Однажды учёные нашли в Индии древнюю рукопись. Их заинтересовала запись:

Впоследствии выяснилось, что индусы так записывали пропорцию.

Проверьте, верна ли эта пропорция?

2) Сформулируйте основное свойство пропорции.

30:5000 000 =6 :1000 000 ( Запись на доске.)

Что за выражение? Что можете о нем сказать? Каким правилам оно подчиняется?

– Что называется пропорцией?– Основное свойство пропорции.– Сколько верных пропорций можно составить из заданной?

– Оцените свою деятельность на лестнице знаний.

9. Информация о домашнем задании и инструктаж по его выполнению.

п.21, № 776.Составить три пропорции из любой верной пропорции.

Чтобы узнать название темы урока, обратите внимание на картинку.

Попробуйте отгадать ребус.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

На этом уроке вы узнаете, что называют пропорцией, выведете основное свойство пропорции и с помощью него научитесь решать задачи и уравнения.

Слово «пропорция» (proportio) в переводе с латинского – соразмерность, отношение частей (соотношение).

В IV веке до н.э. древнегреческий математик Евдокс Книдский дал определение пропорции, состоящей из величин любой природы, а не только из натуральных величин.

Пропорции применяли с древности при решении различных задач.

Древние греки использовали пропорцию и ее свойство для строительства сооружений, при создании произведений искусства (скульптуры, статуи), в ремесленническом деле и др.

Соблюдение пропорций, определенных соотношений, активно используется и в настоящее время в архитектуре, искусстве, музыке, при решении физических задач.

В географии и моделировании пропорциональные зависимости применяют при создании уменьшенной копии реального объекта.

В швейных технологиях – для изменения размеров выкройки изделия до нужного размера.

В химии для проведения успешной реакции рассчитывают пропорциональное отношение химических веществ.

В медицине и фармацевтике используют пропорции при изготовлении лекарственных препаратов.

В кулинарии, например, с помощью пропорции можно рассчитать рецепт одного и того же блюда для разного количества гостей.

Разберем, что же такое пропорция в математическом понимании.

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Эту математическую запись читают так: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a так относится к b, как c относится к d».

Числа a и d называют крайними членами пропорции.

Числа b и c называют средними членами пропорции.

Теория отношений и пропорции изложена в «Началах» древнегреческого математика Эвклида (3 век до н.э.), в этом же труде было подробно описано и доказано основное свойство пропорции.

Давайте рассмотрим, какими же свойствами обладает пропорция и каким правилам подчиняется.

Пропорция, в которой произведение крайних членов равно произведению средних членов, является верной пропорцией.

Обратное утверждение так же является истинным.

Если произведение крайних членов равно произведению средних членов, то пропорция верна.

Данное свойство пропорции – это основное свойство пропорции.

По основному свойству пропорции

Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получатся новые верные пропорции.

Пропорция обладает рядом других интересных свойств.

Так как члены пропорции отличны от нуля, то справедливо следующее: если в пропорции перевернуть отношения, то в результате получится тоже верная пропорция.

При решении задач иногда используют правило увеличения и уменьшения пропорции.

Пропорция обладает еще одним свойством: нахождение пропорции сложением или вычитанием членов пропорции.

Применяя основное свойство пропорции, можно найти неизвестный член этой пропорции.

Решить пропорцию – это значит найти средний или крайний член пропорции.

Для решения пропорции с неизвестным крайним членом, при условии, что все остальные члены пропорции определены, необходимо умножить средние члены пропорции и полученный результат разделить на известный крайний член пропорции.

решите пропорцию, найдя значение крайнего члена пропорции (a).

Подставьте значение крайнего члена (а) в пропорцию

Для решения пропорции с неизвестным средним членом, при условии, что все остальные члены пропорции определены, необходимо умножить крайние члены пропорции и полученный результат разделить на известный средний член пропорции.

Подставим значение среднего члена (b) в пропорцию

Часто для решения пропорции используют способ «крест-накрест».

Чтобы вычислить неизвестный член пропорции, нужно перемножить известные члены пропорции, находящиеся на диагональной линии, а затем разделить результат на оставшееся известное число, находящееся на диагональной линии с неизвестным членом пропорции.

Полученный результат делим на известный член, находящийся по диагонали с неизвестным.

К решению пропорции сводятся многие математические задачи и уравнения.

Рассмотрим некоторые из них.

Найдем неизвестный член пропорции y, применив основное свойство пропорции.

Составим уравнение и решим его

На товар была сделана скидка 150 рублей, что составляет 15% от первоначальной цены товара.

Чему равна первоначальная цена товара?

В задачах на проценты целое принимают за 100% или 1.

Неизвестную величину обозначают буквой (чаще всего x или y).

Величины в задаче должны быть приведены в одинаковые единицы измерения.

Модель решения задач с процентами при помощи пропорции можно представить в виде таблицы:

Или с помощью логической схемы

В результате пропорция получается такого вида:

Исходя из вышеизложенного, решение задачи будет выглядеть так:

Часть от целого (первоначальной цены) = 15%

Составим условную запись задачи:

150 (руб.) – 15%

По основному свойству пропорции решим уравнение.

За 5 кг Муки заплатили 195 рублей. Какова стоимость 3 кг этой муки?

Пусть x (рублей)- стоимость 3 кг муки.

Составим условную запись задачи.

5 (кг)- 195 (руб)

3 (кг)- x (руб)

По основному свойству пропорции решим уравнение:

Методика исследования

Пропорция применима только к линейным законам изменения величин. Примером этого является поведение простой тригонометрической функции z = sin (p). Величина «z» — зависимая переменная, которая называется значением функции. Переменная «p» — независимая величина или аргумент. В данном контексте она принимает значения углов в градусах. Для демонстрации того, что пропорция «не работает» необходимо подставить некоторые данные.

Кроме того, нужна таблица значений тригонометрических функций некоторых углов. Необходимо предположить, что p = 30, тогда z = sin (30) = 0,5. По свойству пропорции можно найти значение функции при р = 60, не используя таблицу. Для этого нужно составить пропорцию с неизвестным: 30 / 0,5 = 60 / х. Чтобы найти х («икс»), нужно воспользоваться свойством умножения «крест-накрест»: 60 * 0,5 = 30 * х. Уравнение решается очень просто: х = 60 * 0,5 / 30 = 30 / 30 = 1. Ответ получен очень быстро, и нет необходимости смотреть табличное значение.

• Записать функцию.
• Рассмотреть составные части.
• Определить тип зависимости ее значения от аргумента: линейная или нелинейная. Если получен второй тип, то свойства пропорции применить невозможно.
• Определить тип линейности, построив график.

По таким правилам были исследовано огромное количество функций. К нелинейным относятся следующие: прямые и обратные тригонометрические, гиперболические, показательные, логарифмические и сложные математические, состоящие из нелинейных зависимостей.

К прямым тригонометрическим относятся sin (p), cos (p), tg (p) и ctg (p), а к обратным — arcsin (p), arccos (p), arctg (p) и arcctg (p). Следует отметить, что гиперболическими являются sh, ch, th, cth, sech и csch. Показательная — z = a^y, а логарифмической — функция, имеющая операцию логарифмирования. Простые линейные могут объединяться с нелинейными. В таких случаях правило пропорции также не соблюдается.

Уравнения с пропорцией

Существуют уравнения в виде обыкновенной дроби, в которых необходимо найти неизвестную величину. Для этого нужно рассмотреть основные их виды:

• Линейные.
• Квадратные.
• Кубические.
• Биквадратные.

Различаются они степенным показателем. У первого типа степень переменной соответствует 1, второго — двойке, третьего — тройке и четвертого — четверке. При решении таких типов нужно выписать знаменатели отдельно, и решить их. Такие корни не являются решением исходной пропорции, поскольку знаменатели должны быть отличны от нулевого значения.

Решение линейного типа сводится к применению правила «крест-накрест». После чего нужно руководствоваться четвертым пунктом универсального алгоритма. Квадратное уравнение (ap 2 + bp + c = 0) решается при помощи разложения на множители (существует высокая вероятность сокращения степени с последующим упрощением выражения) или с использованием дискриминанта (D = b 2 — 4ac). Корни зависят от его значения:

• При D равном 0 (один): р = (-b) / 2a.
• Если D < 0, то решений нет.

Решение уравнений кубического и биквадратного видов сводятся к разложению на множители. В результате этого происходит понижение степени до двойки. Кроме того, эффективным методом нахождения корней считается введение замены переменной.

Правило пропорции или правило креста

Произведение крайних членов пропорции произведению средних.

По-другому сформулировать правило выше можно так: если нарисовать крест поверх пропорции,
то произведения членов пропорции, которые лежат на концах креста, .

Вернемся к нашему уравнению. Решим его, использую правило пропорции.
Нарисуем поверх пропорции крест.

Теперь по правилу пропорции (правило креста) запишем пропорцию
в виде равенства произведений крайних и средних членов пропорции.

Вспомним правило деления и
решим уравнение до конца.
В ответе не забудем выделить целую часть у дроби.

Рассмотрим другой пример уравнения с пропорцией.

Такое уравнение также решается с помощью правила пропорции.

Если в члене пропорции присутствуют знаки «» или «»,
обязательно заключайте этот член пропорции в скобки перед использованием правила пропорции.

Если вы не заключите в скобки такой член пропорции, то с большей вероятностью сделаете ошибку, когда
будете использовать правило пропорции.

После заключения в скобки члена пропорции «(2 − x)» используем правило пропорции
для дальнейшего решения.

Теперь раскроем скобки с помощью
правила раскрытия
скобок.

Из урока «Решение линейных уравнений» используем
правило переноса и
правило деления для уравнений.

Не забудем при делении на отрицательное число, использовать
правило знаков.

Иногда уравнения с пропорцией могут быть представлены следующим образом:

Чтобы было проще использовать правило пропорции (правило креста) нужно записать исходное уравнение,
в общем для пропорции виде.

Для этого нужно вспомнить, что знак деления «» можно заменить на дробную черту.

Другие примеры решения уравнений с пропорцией

• =

  18 · x = 6 · 3x
  18x = 18x
  18x − 18x = 0
  0 = 0

  Ответ: — любое число

• =

  3x · 6,8 = 0,21 · 1,7 ·

  x =
  =

  Ответ:

Пример решения

Решение уравнений в виде пропорции осуществляется по такому же принципу. При этом рекомендуется использовать любые свойства. Необходимо проходить процесс обучения постепенно. Начинать нужно с простых примеров, а затем практиковаться на сложных заданиях. Первый тип был рассмотрен выше на примере sin (p).

Затем следует воспользоваться третьим пунктом алгоритма: (t — 5)(t — 1) = (t — 2)(t — 5). Если раскрыть скобки, то должно получиться такое равенство: t 2 — t — 5t + 5 =t 2 -5t -2t + 10. Перенести все слагаемые в левую сторону с противоположными знаками: t 2 — t — 5t + 5 + 5t — t 2 — 10 + 2t = 0. Приведя подобные слагаемые, выражение будет иметь такой вид: t = 5. Решением пропорции является значение t = 5.

Таким образом, для решения пропорций необходимо знать основные свойства, определение типа выражения по методике и алгоритм расчета.

Универсальный алгоритм

Алгоритм позволяет решать уравнения, и найти неизвестный член пропорции. Для его реализации следует знать теорию о пропорциях, и методику обнаружения нелинейных функций. Он состоит из нескольких шагов, которые помогут правильно вычислить необходимую величину:

• Записать соотношение пропорции.
• Проанализировать выражение в пункте под первым номером на наличие нелинейных функций и составляющих.
• Применить свойство умножения «крест-накрест».
• Перенести неизвестные в левую сторону, а известные — в правую. Необходимо обратить внимание на знаки: умножение — деление, сложение — вычитание и положительная величина становится отрицательной.
• Решить уравнение.

Существуют различные приложения, позволяющие решить пропорцию. Онлайн-калькулятор позволяет вычислить неизвестный компонент очень быстро. Кроме того, результат вычислений отображается после проведения расчетов. Для реализации последнего пункта необходимо рассмотреть некоторые типы равенств с неизвестными.

Нестандартные задачи на пропорции

Задача 1. Поп нанял работника Балду на год, обещал ему 120 рублей и красный кафтан. Однако, проработав 7 месяцев, Балда стал просить у попа расчет и получил за работу 50 рублей и красный кафтан. Сколько стоит кафтан у Балды?

Эту задачу можно решить, не прибегая к уравнению и пропорции, однако можно и пропорцией.

Пусть x – цена кафтана. Тогда за 12 месяцев Балда мог получить 120 руб. и кафтан, т.е. 120 + x. Но за 7 месяцев он получил 50 + x. Запишем в привычном для шестиклассника виде:

Применяя основное свойство пропорции, получаем уравнение:

7 * (120 + х) = 12 * (50 + х)840 + 7 х = 600 + 12 х12 х – 7 х = 840 – 6005 х = 240х = 48

Ответ: 48 рублей стоил кафтан у Балды.

Гораздо сложнее ученикам даются задачи на пропорциональную зависимость трёх и более величин. Причем настолько, что когда в 7 классе в учебнике геометрии (например, в учебнике Погорелова) встречается задача, где в условии говорится, что углы треугольника пропорциональны числам 2, 3, 4 (т.е. относятся как 2:3:4), некоторые ученики приходят в замешательство и утверждают, что не понимают условие.

В последнее время задачи на пропорциональное деление стали встречаться в некоторых сборниках по занимательной, нестандартной и олимпиадной математике. Рассмотрим задачу такого плана.

Задача 2 на деление в данном отношении. Три предпринимателя – Давыдов, Петров и Максимов вложили в совместную организацию предприятия по производству мебели деньги. Первый вложил 60 тыс. руб., второй – 90 тыс. руб., а третий – 150 тыс. руб. Они получили прибыль в размере 117 тыс. руб. Сколько денег из прибыли получит каждый из предпринимателей при условии распределения ее пропорционально их вкладам?

Найдём, каким числам пропорциональны вклады предпринимателей. Все числа запишем в тыс. руб. 60 : 90 : 150, т.е. 2 : 3 : 5. Исходя из этого, можно записать, что 2x + 3x + 5x = 117, где 2x – часть прибыли, которую должен получить Давыдов, 3x – часть прибыли, которую должен получить Петров, 5x – часть прибыли, которую должен получить Максимов, исходя из пропорциональности вкладов. Отсюда x = 11,7 тыс. руб., т.е. Давыдов получит 23,4 тыс. руб., Петров – 35,1 тыс. руб., а Максимов – 58,5 тыс. руб. Задачу можно решить и немного иначе:1) 60 + 90 + 150 = 300 тыс. руб.2) 117 : 300 x 60 = 23,4 тыс. руб.3) 117 : 300 x 90 = 35,1 тыс. руб.4) 117 : 300 x 150 = 58,5 тыс. руб. Ответ: 23, 4 тыс. руб., 35,1 тыс., руб., 58,5 тыс. руб.

Классика нестандартных задач на пропорциональность трёх и более величин:

Задача 3. Три курицы за 3 дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

И сразу аналогичная, коих может быть бесконечное множество, а решаются они одинаково:

Задача 4. Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 метров канавы. Сколько потребуется землекопов, чтобы за 100 часов выкопать 100 м канавы?

Напрашивается ответ 12 в задаче про куриц и 100 в задаче с канавой, но это не верно. В задаче про куриц правильный ответ 48, а в задаче про землекопов правильный ответ – 5.

Если дней в 4 раза больше, а кур также в 4 раза больше, то яиц они снесут 3 х 4 х 4 = 48.

Что касается задачи про землекопов, то решение еще проще. Так как за 5 часов землекопы выкапывают 5 метров канавы, то за 1 час – 1 метр канавы. И значит, за 100 часов 100 м канавы выкопают те же 5 землекопов.

Задача 5. 2 робота за 3 часа собирают 1 компьютер. Сколько компьютеров соберут 10 роботов за 12 часов?

Иногда условия таких задач выписывают примерно также как обычную пропорцию и делают стрелочки. Например:

Если 2 робота за 3 часа собирают 1 компьютер, то сколько компьютеров соберут те же два робота за 12 часов? 12 : 3 = в 4 (раза) – больше будет времени у 2х роботов на сборку компьютеровЕсли у двух роботов будет времени в 4 раза больше, то и соберут они в 4 раза больше компьютеров, т.е. 1 * 4 = 4 (компьютера)  – собирают 2 робота за 12 часов.

Если роботов будет 10, то сколько компьютеров они соберут за 12 часов? 10 : 2 = в 5 (раз) – больше роботовТак как роботов будет в 5 раз больше, то и соберут они за 12 часов в 5 раз больше компьютеров. 4 * 5 = 20 (компьютера)  – соберут 10 роботов за 12 часов.

Ответ: 20 компьютеров.

Задача 6. 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?

60 : 3 =  20 (окон) – может покрасить 1 маляр за 5 дней, 20 : 5  = 4 (окна) – маляр покрасит за 1 день4 * 4 = 16 (окон) –  он покрасит за 4 дня. А если таких маляров будет 5, то окон будет покрашено 5 : 16 = 80 (окон) – покрасят 5 маляров за 4 дняОтвет: 80 окон.

Лишь только тогда, когда ученик приобретает опыт в решении таких задач поэтапно, можно показать ему решение подобной задачи пропорцией.

3 маляра за 5 дней выполнят работу, которую можно измерить как 3 х 5 человеко-дней. Можно пояснить, что человеко-дни – единица, с помощью которой учитывается рабочее время на производстве. И по условию эта работа выражается в 60-ти окнах. В задаче требуется узнать, чему равна работа, которая измеряется как 4 х 5 человеко-дней. Значит, можно составить пропорцию:

К-во окон   К-во человеко-дней60 окон        3*5 человеко-днейх окон          4*5 человеко-дней

Однако надо быть внимательным. В некоторых задачах имеет место быть и обратно пропорциональная зависимость. Если, например, количество рабочих увеличивается, то количество дней, за которые им надо выполнить заданную работу, уменьшается.

Задача 7. 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. За сколько дней 5 маляров смогут покрасить 80 окон?

За 1 день один маляр покрасит 4 окна, а 5 маляров за 1 день – 20 окон. А 80 окон 5 маляров смогут покрасить за 4 дня (80 : 20 = 4).

Кол-во маляров Скорость покраски3 м.                        60/5 окон/день5 м.                        80/х  окон/день

В заключение обзора сложных задач на пропорцию и методов их решения рассмотрим задачу, с четырьмя величинами. Такие задачи сегодня могут встречаться на олимпиадах. Но было время, когда они входили в курс школьной математики (учебник Киселева).

Задача 8. На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 часов ежедневно, израсходовано 120 л керосина. На сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 часов в день?

С тем, чтобы не запутаться в условии, выпишем все данные в виде таблички. В учебнике Киселева таблицы отсутствуют, а условие записано двумя строчками. Последуем его примеру:

5 керосинок 24 дня по 6 часов – 120 л9 керосинок x дней по 8 часов – 216 л

Далее, если следовать логике решений задач, приведённых на этой странице, а также логике Киселева, решим задачу поэтапно. Сначала решим такую задачу: На сколько дней хватит 216 л керосина, если те же 5 керосинок будут гореть по 6 часов в день? То есть:

120 л – на 24 дня216 л – на y дней

То есть 216 л керосина хватит на 43,2 дня, если будет работать 5 керосинок.

Теперь найдём, на сколько дней хватит 216 л керосина, если керосинок будет не 5, а 9. То есть, если 5 керосинок могут работать 43,2 дня, то 9 керосинок меньше в 1,8 раза (9 : 5 = 1,8). То есть 9 керосинок, работая по 6 часов в день при запасе в 216 литров, проработают 24 дня.

Осталось найти, на сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 часов в день. То есть:

24 дня – по 6 часов в деньх дней – по 8 часов в день

Все выполненные действия можно записать одной дробью и сократить ее:

Ответ: 18 дней.

Надеемся, что способы решения задач на пропорцию, изложенные в этой статье, помогут пятиклассникам и шестиклассникам, стремящимся изучить школьный материал, в том числе и тот, который выходит за рамки программы обычной школы, но который может быть полезен при подготовке к олимпиадам.

Задачи на пропорции из учебников

Основная сложность в задачах такого типа – составить пропорцию и определить, прямо или обратно пропорциональны величины.

В шестом классе условие задач на пропорции записывают таблицей, а пропорциональность обозначают стрелкам в одном либо противоположных направлениях.

Решите с помощью пропорции задачи:

1) Для изготовления 8 одинаковых приборов необходимо 18 кг металла. Сколько таких приборов можно изготовить из 27 кг металла?

2) За 5 ч турист прошел 24 км. Какое расстояние он пройдет за 8 ч с той же скоростью?

3) Из 140 кг свежих вишен получают 21 кг сушеных. Сколько килограммов сушеных вишен получится из 160 кг свежих? Сколько килограммов свежих вишен необходимо взять, чтобы получить 31,5 кг сушеных?

Пусть из x кг свежих вишен необходимо взять, чтобы получить 31,5 кг сухих вишен.

4) Объем бруска, изготовленного из древесины вишни, равен 800 см3, а его масса − 528 г. Какова масса бруска, изготовленного из этого же материала, если его объем равен 1500 см3?

Пусть x г масса бруска, если его объем равен 1500 см3.

5) Из 45 т железной руды выплавляют 25 т железа. Сколько требуется тонн руды, чтобы выплавить 10 т железа?

Пусть x т руды требуется, чтобы выплавить 10 т железа.

6) Площадь поля 480 га. Пшеницей засеяли 24% площади поля. Сколько гектаров земли засеяли пшеницей?

Пусть x га земли засеяли пшеницей.

7) За первый час автомобиль проехал 70 км, что составило 14% всего пути. Сколько километров составляет весь путь?

Пусть x км составляет весь путь.

8) Сплав содержит 12% цинка. Сколько килограммов цинка содержится в 80 кг сплава?

8) Пусть x кг цинка содержится в 80 кг сплава.

9) На пошив 14 одинаковых костюмов израсходовали 49 м ткани. Сколько таких костюмов можно сшить из 84 м ткани?

Пусть x костюмов можно сшить из 84 м ткани.

10) За 7 ч в бассейн налилось 224 л воды. За какое время в него нальется 288 л воды?

Пусть за x часов в бассейн нальется 288 л воды.

11) Из 150 кг картофеля получают 27 кг крахмала. Сколько килограммов крахмала получат из 420 кг картофеля? Сколько килограммов картофеля необходимо, чтобы получить 30,6 кг крахмала?

Пусть x кг крахмала получат из 420 кг картофеля.

Пусть x кг картофеля необходимо, чтобы получить 30,6 кг крахмала.

12) В саду растет 320 деревьев, из которых 40% составляют яблони. Сколько яблонь растет в саду?

13) Масса соли составляет 24% массы раствора. Сколько килограммов раствора необходимо взять, чтобы он содержал 96 кг соли?

Пусть x килограммов раствора необходимо взять, чтобы он содержал 96 кг соли.

14) На изготовление 3,5 кг ржаного хлеба требуется 2,5 кг муки. Сколько хлеба можно испечь из 17,5 т ржаной муки?

В задачах выше зависимость между величинами была прямо пропорциональная, но бывают задачи и с обратно пропорциональной зависимостью.

1) Самолет со скоростью 200 км/ч преодолевает расстояние от Москвы до Тюмени за 2 часа, за сколько он преодолеет это же расстояние со скоростью 150 км/ч?

2) Три трактора вспахали поле за 7 часов. Сколько нужно тракторов, чтобы вспахать такое же поле за 5 часов?

Пусть нужно х тракторов, чтобы вспахать поле за 5 часов.К-во тракторов   Время ↓3                          7 ч ↑   х                          5 ч$rac3х=rac57$5 х = 3 * 7х = 4,2Так как количество тракторов не может быть дробным числом, округлим до большей величины.х ≈ 5Значит, 5 тракторов нужно, чтобы вспахать такое же поле за 5 часов.Ответ: 5 тракторов.

3)  Для покрытия пола требуется 45 м линолеума шириной 2,2 м. Сколько потребуется линолеума шириной 1,5 м для покрытия пола той же площади?

Решение задач на пропорции

Часто задачи на пропорции тесно связаны с процентами. Свои знания о процентах, вы
можете освежить в разделе «Проценты».

Разбор примера

Из лука сделано выстрелов. стрел пролетело мимо мишени.
Определите процент .

По традиции подчёркнем важные и числовые данные в задаче.

Обратите внимание, что нам нужно определить процент попаданий, а не процент пролетевших мимо стрел.

Поэтому вначале посчитаем, сколько стрел попало в цель. Сделать это не составит труда.

Далее для решения задачи составим таблицу, куда занесём все данные. Запомните, что напротив

в таблице обычно пишется общее количество чего-либо. Неизвестные проценты обозначим буквой
.

Чтобы правильно записывать нужные данные в таблицу, запомните простое правило.

Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом.
Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д.

Теперь, используя таблицу, составим нужную пропорцию и решим её с помощью правила «креста».

Ответ: — процент попадания в мишень.