Вычитание дробей

При вычитании дробей, как и при сложении, могут встретиться несколько случаев.

Алгебраические дроби складывают и вычитают по
правилам сложения и вычитания
обыкновенных дробей.

Похоже, вы используете . Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Вычитание дробей является действием, обратным к
сложению. Вычесть из одной дроби другую –
это означает найти такую третью дробь, которая в сумме со второй дробью дает первую.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно от
числителя первой дроби отнять числитель второй, а
знаменатель оставить без изменений.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.

В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.

Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю.

Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на
правила приведения к общему знаменателю
обыкновенных дробей.
.

В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.

• Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем
  НОК
  (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
• Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
• Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
• Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.

Вернемся к нашему примеру.

Рассмотрим знаменатели «» и «» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

• Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка
  делится на каждый числовый коэффициент).
  Для «» и «» — это «».
• Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях.
  В знаменателях «» и «» есть только один одночлен — «».
• Перемножим НОК из п.1 «» и одночлен «» из п.2. У нас получится «». Это и будет общим знаменателем.
• Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «»?».

Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «», значит, ее не требуется ни на что умножать.

Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «», чтобы получить «»?»
Ответ — на «».

При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «»
и числитель, и знаменатель.

Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через
.

Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.

Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.

В таком виде вычитать дроби нельзя, так как у них разные знаменатели. Чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю.

Рассмотрим знаменатели «(x − y)» и «(x + y)» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

• Работаем с числовыми коэффициентами. Числовых коэффициентов в знаменателях нет, поэтому переходим к многочленам.
• Работаем с многочленами. Находим все различные многочлены из знаменателей в наибольших степенях и перемножаем их.

  Многочлены необходимо рассматривать целиком!
  Для удобства заключайте целый многочлен в скобки.

У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y)» и «(x + y)».
Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y)» — общий знаменатель.

Теперь дроби можно вычитать, т.к. у них одинаковый знаменатель.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать
формулы сокращенного умножения.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.

В первой алгебраической дроби знаменатель «(p2 − 36)». Очевидно, что к нему можно
применить формулу разности квадратов.

После разложения многочлена «(p2 − 36)» на произведение
многочленов «(p + 6)(p − 6)»
видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6)».
Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6)».

Прежде чем приводить многочлены к общему знаменателю, попытайтесь
использовать формулы сокращённого умножения или вынесение общего множителя за скобки.

Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями с использованием формул сокращенного умножения.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с вынесением общего множителя за скобки

На первый взгляд одинаковых многочленов в обеих дробях нет.

Вынесем общий множитель
«» за скобки в обоих знаменателях.

После вынесения общего множителя «» за скобки, в
обоих знаменателях появился одинаковый одночлен «».
Значит, общий знаменатель для обеих дробей будет выглядеть так: «а(а + 1)(b + 1)».

Сложение алгебраической дроби с одночленом или числом

Рассмотрим пример. Требуется сложить алгебраическую дробь с одночленом (буквой).

Чтобы сложить одночлен или число с алгебраической дробью,
нужно представить одночлен в виде дроби со знаменателем «».

Представим одночлен «» как алгебраическую дробь со знаменателем «».

Подобное действие можно сделать, так как при делении на единицу получается тот же самый одночлен.

Теперь приведем алгебраические дроби к общему знаменателю «(а − 1)» и решим пример.

Сложение дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться
следующими правилами.

Пример. Сложить дроби.

Как найти общий знаменатель

Находим НОК .

НОК (15, 18) = 3 · 2 · 3 · 5 = 90

• Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель (НОК из пункта 1)
  делим по очереди на знаменатель каждой дроби. Полученные числа и будут дополнительными множителями
  для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.
  90 : 15 = 6 — дополнительный множитель для дроби .90 : 18 = 5 — дополнительный множитель для дроби .
• Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель, пользуясь
  основным свойством дроби. После умножения в знаменателях
  обеих дробей должен получиться наименьший общий знаменатель.
  Затем складываем дроби как дроби с одинаковыми знаменателями.
• Проверяем полученную дробь.
  Eсли в результате получилась
  неправильная дробь,
  результат записываем в виде смешанного числа. Проверим нашу
  дробь. 38 < 90 У нас дробь правильная.Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.
• Eсли в результате получилась
  неправильная дробь,
  результат записываем в виде смешанного числа. Проверим нашу
  дробь. 38 < 90 У нас дробь правильная.
• Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.
• Ещё раз весь пример целиком.

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями от числителя уменьшаемого (первой дроби) отнимают
числитель вычитаемого (второй дроби), а знаменатель оставляют прежним.

Прежде чем записать конечный ответ, проверьте, нельзя ли сократить полученную дробь.

В буквенном виде правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями
записывают так:

Вычитание правильной дроби из единицы

Когда нужно вычесть из единицы правильную дробь, единицу представляют в виде
неправильной дроби, знаменатель которой, равен знаменателю вычитаемой дроби.

и вычитают по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа

Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число
в виде смешанного числа.

Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби,
знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.

В примере единицу мы заменили неправильной дробью

и вместо записали смешанное
число и от дробной части отняли дробь.

Сложение смешанных чисел

Сочетательное и переместитительное свойства сложения позволяют привести
сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей.

Чтобы сложить смешанные числа нужно.

• Отдельно сложить их целые части.

  Складываем целые части.

• Отдельно сложить дробные части.
  Если у дробных частей знаменатели разные, то
  сначала приводим их к общему знаменателю, а затем складываем.
• Сложить полученные результаты из пунктов 1 и 2.
• Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то нужно
  выделить целую часть из этой дроби и прибавить к полученной
  в пункте 1 целой части.

Ещё один пример на сложение смешанных чисел.

Сложение алгебраических дробей

Складывать можно только дроби с знаменателями!

Нельзя складывать дроби без преобразований

Можно складывать дроби

При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

• числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
• знаменатель остаётся прежним.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

Так как знаменатель у обеих дробей «», значит, дроби можно сложить.

Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним.
При сложении дробей в полученном числителе
приведем подобные.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы вычислить дроби с разными знаменателями, нужно вначале привести их к наименьшему
общему знаменателю, а затем отнимать их как дроби с одинаковым знаменателем.

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Решение. Заданные дроби имеют разные знаменатели, приводим их к общему, который равен 15 (как НОК знаменателей 5 и 3),
тогда дополнительные множители соответственно к первой дроби –
$15:5=3$ , ко второй – $15:3=5$ . Получаем:

Вычитание смешанных чисел

При вычитании смешанных чисел отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части
вычитают дробную часть.

При подобных расчётах могут встретиться разные случаи.

Первый случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части
уменьшаемого (из чего вычитаем) больше или равен числителю дробной части вычитаемого
(что вычитаем).

Второй случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей разные знаменатели.

В этом случае вначале нужно

привести к общему знаменателю
дробные части, а затем
выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Третий случай вычитания смешанных чисел

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и
во втором случае, вначале приведём обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого.

3 < 14

Поэтому, вспомнив
вычитание правильной дроби из целого числа, займём единицу из целой части и представим
эту единицу в виде неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем равным .

Сложим полученную неправильную дробь

и дробную часть
уменьшаемого и получим:

Все рассмотренные случаи можно описать с помощью правил вычитания
смешанных чисел.

• Привести дробные части уменьшаемого и вычитаемого к наименьшему общему знаменателю.
• Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части
  вычитаемого, то занимаем у целой части уменьшаемого единицу. Эту единицу
  превращаем в неправильную дробь с одинаковым числителем и знаменателем равными наименьшему общему знаменателю.
• Прибавляем полученную неправильную дробь к дробной части уменьшаемого.
• Вычитаем из целой части целую, а из дробной — дробную.
• Проверяем, нельзя ли сократить и выделить целую часть в конечной дроби.

Вычитание смешанных дробей

Чтобы вычесть одно смешанное число из другого смешанного числа, надо, если это возможно, от целого отнять целое, а от дроби отнять дробь.

Решение. Выполним вычитание по описанному выше правилу

В случае, когда дробь вычитаемого больше, чем дробь уменьшаемого, поступают следующим образом: берут одну единицу
(целое) из целого числа уменьшаемого, записывают его как неправильную дробь, числитель и знаменатель которой равны между
собой и равны знаменателю дробной части, и прибавляют к дробной части, далее отнимают две смешанные дроби, как описано выше.

Аналогичным образом поступают, когда надо вычесть из целого числа дробное.

Решение. Выполним вычитание дробей по описанному выше правилу

Замечание. Производить операции со
смешанными числами можно и иначе: записать смешанное число в виде
неправильной дроби и уже работать далее как с
обыкновенными дробями.

Читать следующую тему: умножение дробей.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают
числители, а знаменатель оставляют тот же.

C помощью букв это правило сложения можно записать так:

Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.

При сложении дробей могут встретиться разные случаи.

Вычитать можно только дроби с знаменателями!

При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

• из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
• знаменатель остаётся прежним.

Обязательно заключите в скобки весь вычитаемой дроби.

Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.

Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «», значит, эти дроби можно вычитать.

Вычтем из числителя первой дроби «(a + d)» числитель второй дроби
«(a − b)».
Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем
правило раскрытия скобок.