Wiki.eduVdom.com

Смежные углы

Смежные углы — это два угла, у которых есть общая вершина и одна сторона, а две другие стороны являются продолжением друг друга и лежат на одной прямой.

Свойства и виды смежных углов в геометрии

• Так как две стороны смежных углов образуют прямую линию, то вместе они составляют развернутый угол. Его градусная мера составляет 180^circ. Следовательно — сумма смежных углов тоже равна
• Если две прямые пересекаются, то они образуют две пары смежных углов:  и ,  и , а также  и ,  и . При этом объединение пар, которые обозначены обозначениями 1 и 4, 2 и 3, представляют из себя вертикальные углы, а значит — они равны. Поэтому рассматривать можно только одну из пар смежных углов, другая окажется идентична по всем показателям.
• У смежных углов одинаковые синусы.
• Для косинусов и тангенсов тоже распространяется равенство, но их значения противоположны по знаку.
• Чтобы построить смежный угол уже заданному, требуется продлить одну из сторон существующего угла дальше вершины.

В паре, если один угол тупой, то по правилу другой обязательно острый.

Если один из углов является прямым, то второй тоже прямой.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как найти, чему равна сумма

Сумма смежных углов всегда составляет 180 градусов.

Отсюда следует формула:

Примеры решения задач

Дано:  и  — смежные, .

Найти: чему равен .

Так как углы смежные, значит:

Дано:  и  — смежные,  на  больше, чем

Найти: чему равны  и

Так как сумма смежных углов равна 180 градусов, то получаем уравнение, которое выглядит, как:

Чтобы найти , нужно выполнить стандартные вычисления согласно теореме о сумме:

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой

Расскажите, что не так

Какие углы называются смежными, а какие вертикальными

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополняющими лучами.

Вертикальные углы – это два угла, стороны одного из которых являются дополняющими лучами сторон другого.

Теорема о смежных и вертикальных углах

Теорема о СУ гласит, что их сумма равна 180°.

Доказательство данного положения легко узнать на практике при помощи построения. Так как у СУ есть общая сторона, это значит, что они расположены на развернутом угле. А поскольку такая геометрическая фигура равна 180°, то и сумма СУ будет приравниваться к этому же значению.

Следствием из данной теории будет то, что если смежные углы равны, то они прямые. ПУ = 90°. Это есть половина от величины развернутого угла, на котором и находятся два СУ.

Еще одно следствие. Если два угла равны, то смежные с ними тоже имеют одно значение.

Теорема о вертикальных углах гласит, что ВУ равны. Доказательство: Рассмотрим ВУ AOB и COD. ∠BOD смежный для каждого из ∠AOB и ∠COD. По теореме 1 ∠АОВ+∠BOD=180°, ∠COD+∠BOD=180°. Из этого ∠АОВ=∠COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым, есть прямой угол. Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD. Они образуют четыре угла. Если один из них прямой, то остальные также прямые (1 и 2, 1 и 4 — смежные, 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Перечислим не отмеченные ранее свойства СУ:

• угол, смежный с прямым, является прямым; смежный с острым – тупым; смежный с тупым – острым;
• чем больше угол, тем меньше СУ, и наоборот;
• биссектрисы СУ образуют прямой угол.

Приведем пример решения задачи со СУ.

∠1 и ∠2 – смежные, ∠1 : ∠2 = 3 : 7.

Найти ∠1 и ∠2.

Пусть х – коэффициент пропорциональности. Тогда ∠1=3х, ∠2=7х. Так как ∠1+∠2=180°(по теореме о СУ), то 3х+7х=180°, 10х=180°, х=18°. Следовательно ∠1=3×18°=54°, ∠2=7×18°=126°

Ответ: ∠1=54°, ∠2= 126°.

Вертикальные углы

Отметим также неупомянутые свойства ВУ:

• ВУ по-другому называют углом между двумя прямыми;
• биссектрисы ВУ лежат на одной прямой.

Приведем пример решения задачи с ВУ.

Пусть на рисунке 1  равен . Чему равны ∠ и ∠ ?

Так как ∠ и ∠ вертикальные, то значит, они равны, а тогда:

(angle AOB=angle COD=45^circ)

(∠AOBangle AOB+angle AOC=180^circ)

Из этого (angle AOC=180^circ-angle AOB=180^circ-45^circ=135^circ.)

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1
∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x, тогда согласно теореме 1.

44° + х = 180°.

Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.

∠ АОС = 180° – ∠ COD = 180° – 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.

Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол
АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1

∠ BOD = ∠ АОС = 180° – 50° = 130°.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°.

Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.

Многогранники являются геометрическими телами,
совершенство, красота и гармония которых удивляет и завораживает глаза.
Многогранники окружают нас в жизни повсюду. Их создают люди своими руками, их
создает природа.

Прежде чем мы перейдем к изучению вопросов о
правильных многогранниках, напомним некоторые уже известные вам понятия.

Вообще,многогранник
представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских
многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости.

Многоугольники, из
которых составлен многогранник, называют его гранями. Заметим, что
никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости.

Стороны граней называются
ребрами многогранника. А концы ребер – вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий
две вершины, не принадлежащие одной грани – называется диагональю
многогранника.

Также элементами
многогранника называют углы его граней и углы между гранями.

По числу граней различают
четырехгранники, пятигранники, шестигранники и т.д.

Многогранники, также
как и многоугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми. Смотрите, если провести
плоскость черезкакую-нибудь грань, то весь многогранник будет лежать по одну
сторону от этой плоскости. Аналогично, если провести плоскости и через
остальные его грани, многогранник всегда будет расположен по одну сторону от
этих плоскостей. Такой многогранник называется выпуклым. Напомним определение: многогранник
называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой
своей грани.

Если это условие не
выполняется, т.е. многогранник лежит по разные стороны хотя бы от одной
плоскости, проходящей через грань, то многогранник называется невыпуклым.

На рисунке изображен пример невыпуклого
многогранника. Если провести, например, плоскость через указанную грань, то
видно, что одна часть многогранника расположена по одну сторону, а вторая его
часть по другую сторону этой плоскости.

Легко заметить, что все грани выпуклого многогранника
являются выпуклыми многоугольниками.

Вам уже знакомы такие словосочетания,
как «правильная призма», «правильная пирамида». Оказывается, эти словосочетания,
знакомых вам понятий, образуют совершенно новое с геометрической точки зрения
понятие.

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным,
если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится
одно и то же число ребер.

Существует и другое
определение правильного многогранника. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани
равные правильные многоугольники и двугранные углы при всех ребрах равны между
собой.

Оба эти определения
используются в математике как равноправные.

Вообще существует пять
видов правильных многогранников. Два из них мы уже знаем – это куб и тетраэдр.

Куб в ряду правильных
многогранников называют гексаэдром. Все грани куба –равные квадраты (правильные
четырехугольники), а в каждой его вершине сходятся три ребра.

Многогранник, вершинами
которого являются концы двух скрещивающихся диагоналей противолежащих граней
куба, также является правильным. Каждая его грань – равносторонний треугольник,
а в каждой вершине сходятся три ребра. Это тетраэдр.

Очевидно, все ребра
правильного многогранника равны друг другу.

Мы с вами уже отметили,
что существует только пять видов правильных многогранников. Для того чтобы
установить это, заметим, что можно доказать следующее свойство: в
выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой вершине меньше 360°.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями
которого являются правильные 6, 7 и вообще n-угольники при n≥6.

С другой стороны, при
каждой вершине многогранника должно быть не менее 3 плоских углов. Поэтому если
бы существовал правильный многогранник, гранями которого являются правильные n-угольники
при n≥6, то сумма всех плоских углов при каждой
вершине была бы не меньше чем 120°·3=360°. Но это невозможно, так как сумма
всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.

Что и требовалось
доказать.

Сделаем вывод: каждая
вершина правильного многогранника может быть вершиной:

– трех, четырех или
пяти равносторонних треугольников;

– трех квадратов;

– трех правильных
пятиугольников.

Таким образом,
существуют следующие пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр
(или куб), октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

Рассмотрим каждый из
них.

Правильный тетраэдр составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая
его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских
углов при каждой вершине равна 180°.

Правильный октаэдр составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая
вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма
плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Правильный икосаэдр составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая
вершина икосаэдра является вершиной 5 треугольников. Следовательно, сумма
плоских углов при каждой вершине равна 300°.

Гексаэдр (или куб) составлен из 6 квадратов. Каждая вершина куба
является вершиной 3 квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой
вершине равна 270°.

Правильный додекаэдр составлен из 12 правильных пятиугольников. Каждая
вершина додекаэдра является вершиной 3 правильных пятиугольников.
Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

В переводе с греческого
тетраэдр, гексаэдр или куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр означают
четырехгранник, шестигранник, восьмигранник, двенадцатигранник,
двадцатигранник.

Других видов правильных
многогранников, кроме перечисленных пяти, не существует.

Факт существования пяти
правильных многогранников был установлен еще во времена древних греков. В
Древней Греции пяти правильным многогранникам придавали особый мистический
смысл. Впервые исследованные пифагорейцами эти пять правильных многогранников
были впоследствии описаны Платоном и стали называться Платоновыми телами.
Согласно Платону, атомы четырех основных элементов, из которых строится мир,
имеют форму правильных многогранников. Тетраэдр символизировал огонь,
поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени. Икосаэдр
– воду, так как самый «обтекаемый». Куб – землю, как самая
устойчивая из фигур. Октаэдр – воздух, как самый «воздушный». А вся
Вселенная, согласно Платону, имеет вид додекаэдра. Додекаэдр символизировал
все мироздание, считался главным.

Большой интерес к
формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы,
художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да
Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

Сальвадор Дали на
картине «Тайная вечеря» изобразил Иисуса Христа со своими учениками на фоне
огромного прозрачного додекаэдра.

Ярчайшим примером художественного изображения
многогранников в XX веке являются, конечно, графические
фантазии голландского художника Маурица Эшера. Правильные геометрические тела —
многогранники — имели особое очарование для Эшера. В его многих работах
многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они
встречаются в качестве вспомогательных элементов. На гравюре «Четыре тела» Эшер
изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на
одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и
сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Каждый правильный
многогранник обладает определенными элементами симметрии. Например, прямая,
проходящая через середины противолежащих ребер правильного тетраэдра, является
его осью симметрии. Всего тетраэдр имеет три оси симметрии.

Интересно знать! Кристаллы поваренной соли имеют форму куба, а
кристаллы пирита имеют форму додекаэдров.

Модели поверхностей
правильных многогранников можно склеить из плотной бумаги или картона,
воспользовавшись для этого развертками этих многогранников.

Помимо правильных многогранников существуют так называемые полуправильные
многогранники. Это выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными,
имеют их некоторые признаки. Например: все грани равны, все грани являются
правильными многоугольниками. К таким фигурам относятся, например,  кубоэктаэдр
– фигура, гранями которой являются восемь правильных треугольников и шесть
квадратов, или, например, курносый додекаэдр – фигура, которая состоит из
восьмидесяти правильных треугольников и двенадцати правильных пятиугольников.

Подобных многогранников существует 26.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы
познакомились с понятием правильного многогранника. Выявили, что существуют только пять видов правильных
многогранников: тетраэдр, гексаэдр (или куб), октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. А
также рассмотрели каждый из них.

Свойство граней, вершин и ребер правильных многогранников

ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Количе
Правильный
ство
многогран
гран
ник
ей
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Количеств
Количеств
о
о рёбер
вершин
Сумма
граней и
вершин
Количество
ребер +2

2 Правильный октаэдр

Составлен из восьми
равносторонних
треугольников.
Каждая вершина
октаэдра является
вершиной четырех
треугольников.
Следовательно
сумма плоских углов
при каждой вершине
равна 240°.

Названия правильных многогранников пришли из
Греции. В дословном переводе с греческого
тетраэдр означает четырехгранник, октаэдр восьмигранник, гексаэдр – шестигранник,
додекаэдр – двенадцатигранник, икосаэдр –
двадцатигранник. Этим красивым телам
посвящена 13-я книга “Начал” Евклида.

Вариант 1

а) 3
б) 6
в) 4,8
16

Свойства вертикальных углов

1. Вертикальные углы равны.

2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.

Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем

. Аналогично доказывается, что

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

Эйлерова
характеристика многогранника
Г+В=Р+2
Открытие удивительной закономерности
у правильных многоугольников
Л. Эйлер
Теорема о числе граней, вершин и рёбер
выпуклого многогранника – 1755 год

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.

Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

«эдра» – грань
«тетра» – 4
«гекса» – 6
«окта» – 8
«икоси» – 20
«додека» – 12

Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов

Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.

МКОУ «Погорельская СОШ» Кощеев М.

Вариант 1
Использован шаблон создания тестов в PowerPoint

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.

Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .

1 Правильный тетраэдр

o Составлен из
четырех
равносторонних
треугольников.
Каждая его вершина
является вершиной
трех треугольников.
Следовательно
сумма плоских углов
при каждой вершине
равна 180°.

Свойства треугольника

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Итак:
• Всего существует 5 правильных многогранников, других
видов правильных многогранников нет.
• Правильные многогранники могут называться «Телами
Пифагора», им посвящена 13-я книга Евклида.
• Было выяснено, как определить в них количество ребер,
граней, вершин. Теперь это нетрудно сделать благодаря
знаменитому математику Л. Эйлеру, получившему
формулу В+Г-Р=2, которая связывает число вершин /В/,
граней /Г/ и ребер /Р/ любого многогранника.

Задачи и решения

Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).

Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то

. Углы 1 и 4 смежные. Следовательно

Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда

Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.

Решение. Из образованных четырех углов любые две или смежные, или вертикальные. Поскольку в нашей задаче сумма двух углов равна 220°, то эти углы вертикальные (так как сумма смежных углов равна 180°). Тогда каждый из этих углов равен 220°:2=110°. Смежный по отношению угла 110° , будет угол 180°-110°=70°. Следовательно остальные два угла равны 70°. Отметим, что сумма всех четырех углов равен 360°:

Сколько существует различных видов правильных многогранников?

При одной вершине сходится n плоских углов,
но чтобы образовался многогранный угол сумма
их градусных мер должна быть меньше 360°, т.е.
n 360°

Признаки правильных многогранников

Многогранник –
выпуклый
Все его грани –
равные правильные
многоугольники
В каждой вершине
сходится одинаковое
число граней
Равны все
двугранные углы,
содержащие две
грани с общим
ребром.

Существует пять различных видов правильных многогранников

Тетраэдр
4 грани
Гексаэдр
6 граней
Октаэдр
8 граней
Название правильного
многогранника
определяется количеством граней
Икосаэдр
20 граней
Додекаэдр
12 граней

Примеры решения задач с вертикальными углами

Решение. Так как углы
$COD$ и
$AOB$ вертикальные, то значит, они равны, а тогда

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

$$angle A O B=angle C O D$$

Тогда из условия имеем:

Углы $AOC$ и
$BOD$ вертикальные, а значит

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )

где n – это количество углов в n -угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Чтобы найти величину угла правильного n -угольника , необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n

9. Сколько осей симметрии имеет
октаэдр?
а) 9
б) 5
в) 3
11

Вертикальные треугольники в геометрии

Ключевые слова конспекта: углы, биссектриса, виды углов, измерение углов, смежные и вертикальные углы, свойства смежных и вертикальных углов, углы при пересечении двух прямых секущей.

Угол — фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки (вершины). Биссектриса — луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам.

Виды углов. Измерение углов

• Развернутый угол — угoл, стороны которого лежат на одной прямой.
• Прямой угoл — угoл, который равен половине развернутого угла.
• Острый угол — угoл меньше прямого угла.
• Тупой угoл — угoл больше прямого, но меньше развернутого.

Единицы измерения углов: Градус — величина (градусная мера) угла, равная части развернутого угла. Минута — часть градуса. Секунда — часть минуты.

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая,а две другие стороны являются дополняющими лучами. Вертикальные углы — два угла, стороны одного из которых являются дополняющими лучами сторон другого.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Свойства смежных и вертикальных углов

Углы при пересечении двух прямых секущей

Вы смотрели конспект по геометрии «Угол. Смежные и вертикальные углы». Использованы цитаты из учебных пособий:

Цитирование указанных пособий произведено в учебных целях (часть 1 статьи 1274 Гражданского кодекса РФ) с указанием авторства, источника заимствования и ссылки на покупку учебного пособия в крупнейшем книжном Интернет-магазине. Выберите дальнейшие действия:

а) 3
б) 2
в) 4
14

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .

( 1 ) и ( 3 ) ( 2 ) и ( 4 )

называются вертикальными .

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B ∠ B O D = ∠ A O C

( 1 ) и ( 2 ) ( 2 ) и ( 3 ) ( 3 ) и ( 4 ) ( 4 ) и ( 1 )

называются смежными .

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Определение вертикальных углов

Углы, у которых вершина общая и
стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами (рис. 1).

На приведенном рисунке вертикальными есть углы
$AOB$ и
$COD$, а также
$AOC$ и
$BOD$ .

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых.

4 Куб.

Составлен из шести
квадратов. Каждая
вершина куба
является вершиной
трех квадратов.
Следовательно,
сумма плоских углов
при каждой вершине
равна 270 °.

Правильный многогранник

-это выпуклый многогранник,
все грани которого являются равными правильными
многоугольниками,
и в каждой вершине сходится одинаковое число
граней.
куб

3 Правильный икосаэдр

Составлен из двадцати
равносторонних
треугольников. Каждая
вершина икосаэдра
является вершиной пяти
треугольников.
Следовательно сумма
плоских углов при
каждой вершине равна
300 °.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

( 1 ) и ( 5 ) ( 2 ) и ( 6 ) ( 3 ) и ( 7 ) ( 4 ) и ( 8 )

называются соответственными . (Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

( 3 ) и ( 5 ) ( 4 ) и ( 6 )

называются внутренними односторонними . (Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

( 1 ) и ( 7 ) ( 2 ) и ( 8 )

называются внешними односторонними . (Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

( 3 ) и ( 6 ) ( 4 ) и ( 5 )

называются внутренними накрест лежащими . (Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

( 1 ) и ( 8 ) ( 2 ) и ( 7 )

называются внешними накрест лежащими . (Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны , то углы имеют следующие свойства:

• Соответственные углы равны.
• Внутренние накрест лежащие углы равны.
• Внешние накрест лежащие углы равны.
• Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
• Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Урок геометрии
в 10 классе

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B или ∠ B O A , но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .

Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .

Геометрия. Урок 2. Углы

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Правильная форма алмаза.

Правильные многогранники

21.12.2020.
Тест. Геометрия, 11 класс

Все тесты в этом разделе разработаны пользователями сайта для собственного
использования.
Администрация сайта не
проверяет возможные ошибки,
которые могут встретиться в тестах.

Ученик должен показать знание правильных многогранников.

Правильный додекаэдр

Составлен из двенадцати
правильных
пятиугольников.
Каждая вершина
додекаэдра является
вершиной трех
правильных
пятиугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине равна
324°.

Математика владеет не только истиной, но и высшей
красотой – красотой отточенной и строгой,
возвышенно чистой и стремящейся к подлинному
совершенству, которое свойственно лишь величайшим
образцам искусства.
Бертран Рассел

Леонард Эйлер
(1707 – 1783 гг.)
немецкий математик и физик
Простота этой формулы заключается в
том, что она не связана ни с расстоянием,
ни с углами. Для того чтобы определить
число ребер, вершин и граней правильного
многогранника, найдем сначала число к=2у ху+2х, где х – число ребер, принадлежащих
одной грани, у – число граней, сходящихся в
одной вершине.
В+Г–Р=2

Медианы треугольника

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра.

Ключи к тесту: Правильные многогранники.
1 вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Отв.
а
б
б
б
в
а
в
а
а
в
а
б
а
б
2 вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Отв.
б
а
а
а
в
б
б
а
а
в
а
б
а
в
Литература
Г.И. Ковалева, Н.И. Мазурова Геометрия 10-11 классы. Тесты для текущего и обобщающего
контроля. Изд-во «Учитель», 2009г.
17

Определение треугольника

Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Треугольник ABC (△ABC)

• Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
• Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
• Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — ∠. После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

Строение молекулы
метана . Подобное строение имеют и
Кристаллы белого фосфора, и
Фосфорноватистая кислота. Всем
известный Алмаз, так же решёткой
напоминает тетраэдр

Список вопросов теста

Какой правильный многогранник имеет двадцать вершин?

Варианты ответов

• Тетраэдр
• Октаэдр
• Додекаэдр
• Икосаэдр

Вопрос 2

У какого правильного многогранника сумма всех плоских углов при одной вершине равна

• Куб
• Октаэдр
• Додекаэдр
• Икосаэдр

Вопрос 3

Какое утверждение относительно правильных многогранников неверно?

• Только у трех правильных многогранников гранями являются правильные треугольники
• Только у одного правильного многогранника гранями являются квадраты
• Только у одного правильного многогранника гранями являются правильные шестиугольники
• Только у одного правильного многогранника гранями являются правильные пятиугольники

Вопрос 4

Какой правильный многогранник имеет двенадцать граней?

Вопрос 5

Все грани правильного икосаэдра правильные

• Треугольники
• Квадраты
• Пятиугольники
• Шестиугольники

Вопрос 6

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани:

• Правильные многоугольники
• Равные многоугольники
• Многоугольники
• Равные правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Результат теста

Верно: 14
Ошибки: 0
Отметка: 5
Время: 0 мин. 27 сек.
ещё