Задачи на проценты. 6-й класс

Оборудование: мультимедийный проектор.

Основные определения

Когда мы описываем разные части целого, мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Это удобно: отрезать половину пирога, пройти треть пути, закончить первую четверть в школе.

Чтобы называть сотые доли, придумали процент (1/100): с латинского языка — «за сто».

Процент — это одна сотая часть от любого числа. Обозначается вот так: %.

Как перевести проценты в десятичную дробь? Нужно убрать знак % и разделить число на 100. Например, 18% — это 18 : 100 = 0,18.

А если нужно перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Например:

А вот, как перевести проценты в десятичную дробь — обратным действием:

Выразить дробь в процентах просто. Для перевода сначала превратим ее в десятичную дробь, а потом используем предыдущее правило и переведем десятичную дробь в проценты:

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почтуРеши домашку по математике на 5.Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Самостоятельная работа по теме «Главная задача на проценты». 6 класс. Учебник

1. Выразите десятичной дробью:

5%, 8%,18%, 400%,113%

2. Начертите отрезок длиной 10 см. Начертите отрезок, длина которого составляет

50% длины отрезка АВ.

3. Число 121 составляет 14 искомого числа. Найдите это число.

4. начисляет на вклад ежегодно 3%. Сколько денег будет на счету, если было

вложено 12000 рублей?

5. Иванов купил у производителя товар за 5000 рублей и планирует продавать его на

10% дороже. Какая новая цена товара?

6. Выразите десятичной дробью:

3%, 7%,19%, 100%,119%

7. Начертите отрезок длиной 8 см. Начертите отрезок, длина которого составляет 25

8.31 14 искомого числа. Найдите это число.

9. начисляет на вклад ежегодно 5%. Сколько денег будет на счету, если было

10. Иванов купил у производителя товар за 3рублей и планирует продавать его на

11. Выразите десятичной дробью:

2%, 5%,21%, 300%,125%

12. Начертите отрезок длиной 6 см. Начертите отрезок, длина которого составляет 50%

13. Число 141 составляет 4 искомого числа. Найдите это число.

14. Банк начисляет на вклад ежегодно 5%. Сколько денег будет на счету, если было

вложено 13000 рублей?

15. Иванов купил у производителя товар за 2000 рублей и планирует продавать его на

12% дороже. Какая новая цена товара?

16. Выразите десятичной дробью:

4%, 9%,27%, 200%,151%

17. Начертите отрезок длиной см. Начертите отрезок, длина которого составляет

25% длины отрезка АВ.

18. Число 1составляет 3 искомого числа. Найдите это число.

19. Банк начисляет на вклад ежегодно 5%. Сколько денег будет на счету, если было

вложено 9000 рублей?

20. Иванов купил у производителя товар за 5000 рублей и планирует продавать его на

Цена товара понизилась на 40%, а затем ещё на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной? Сколько стал стоить товар, если его первоначальная стоимость была 3000 р.?

Решение. Первоначальную цену принимаем за 100%. После первого понижения цена товара стала равна:

1) 100% – 40% = 60% Второе снижение происходит от новой цены:

2) 60% . 25% : 100 = 15%

Таким образом, общее снижение цены товара равно:

3) 40% + 15% = 55%

Цена товара после второго снижения стала равной:

4) 100% – 55% = 45% Найдем 45% от 3000р.

5) 3000 . 45 : 100 = 1350 (р.) Ответ: на 55% понизилась цена товара по сравнению с первоначальной; 1350 р. стал стоить товар.

Катя ест пирожок с малиновым вареньем. После каждого откусывания масса пирожка уменьшается на 20%. После второго откусывания она составила 160г. Какой она была вначале? Сможет ли Катя при таких условиях доесть пирожок?

1) 100% – 20% = 80%- процентное содержание пирожка после первого откусывания;

2) Второе откусывание происходит от остатка. 80% . 20 : 100 =16% – откусили во второй раз

3) 80% – 16% = 64% – процентное содержание пирожка после второго откусывания;

4) Т.к 64% равны160 г, имеем 160 . 100 : 64 = 250 (г) – первоначальная масса пирожка

Ответ: 250г, нет

В магазине батон хлеба стоит 10 руб., а на лотке цена такого же батона – 9 руб.

1) На сколько процентов дешевле продается батон с лотка, чем в магазине? 2)На сколько процентов батон хлеба в магазине дороже, чем на лотке?

1) По условию цена “дешевого” батона сравнивается с ценой “дорогого”. В таких задачах всегда за 100% принимают то, с чем сравнивают. 100% – батон в магазине: 9 : 10 . 100= 90% 100%-90%=10% – продается дешевле с лотка

2) На этот раз “дорогой” батон сравнивается с “дешевым”. Значит 100% – батон на лотке: 10 : 9 . 100= 111,1% 111,1% – 100% = 11,1% – продается дороже в магазине

Ответ: на лотке батон на 10 % дешевле, чем в магазине; в магазине батон на 11,1% дороже, чем на лотке.

На складе было 100 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах 99% воды. Через некоторое время часть воды испарилась, и её процентное содержание в ягодах упало до 98 %. Сколько теперь весят ягоды?

Решая задачи, в которых речь идёт о свежих и сухих фруктах и т. п., как правило, следует найти массу сухого вещества, которая остается неизменной.

1) Найдем массу сухого вещества в ягодах. 100%-99% =1% -процентное содержание сухого вещества в ягодах; 100: 100 = 1(кг) – масса сухого вещества.

2) 100%-98% =2% – процентное содержание сухого вещества в ягодах после испарения части воды;

3) Найдем новую массу ягод. Т.к. 2% равны 1 кг, имеем 1 . 100 : 2 = 50(кг) Ответ: 50 кг

Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько сушеных грибов получится из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушеных?

1) 100%-90% =10% – процентное содержание сухого вещества в свежих грибах; 17 . 10 : 100 = 1,7(кг) – масса сухого вещества 100%-15% =85% – процентное содержание сухого вещества в сушеных грибах; Т.к. 85% равны 1,7 кг, имеем 1б7 . 100 : 85 =2(кг) – сушеных грибов

2) Найдем массу сухого вещества в 3,4 кг сушеных. 3,4 . 85 : 100 = 2,89 (кг) Т.к 2,89 кг равны 10%, имеем 2,89 . 100 : 10 =28,9 (кг)- свежих грибов надо взять

Ответ: 2 кг, 28,9 кг

В 400 г воды растворили 80 г соли. Какова концентрация полученного раствора?

1) Учтем, что масса полученного раствора 400+80 = 480(г)

2) Сколько процентов 80 г составляют от 480 г? 80 : 480 . 100 = 16,7%

Ответ: 16,7% концентрация полученного раствора.

• развивать мышление, интерес к предмету,
  познавательную деятельность учащихся,
  математическую речь;
• учить учащихся учиться математике,
  самостоятельно добывать знания;

• воспитывать у учащихся ответственное отношение
  к учебному труду, волю;
• воспитывать умение к совместной деятельности;

Методы обучения: словесный, деятельностный.

Оборудование: игровое поле – 3 штуки,
игральные кубики – 3 штуки, фишки – 3 штуки,
отличительные знаки для консультантов – 3 штуки,
лист учёта знаний – 3 штуки, карточки с заданиями
– 5 комплектов.

Форма организации учебной деятельности –
групповая.

Класс разбит на 3 группы. В группе работа
ведётся под руководством консультанта,
закреплённого за данной группой. Консультанты
заранее сдали весь теоретический и практический
материал игры. В группе над выполнением задания
работает каждый её участник. Участник группы
может попросить, при необходимости, помощь у
своих товарищей по группе. В каждой группе есть
бригадир. От этапа к этапу игры все участники
группы переходят вместе. Каждая группа сидит за
отдельным столом, на столе игровое поле,
игральный кубик. Обязательное требование к
групповой работе является выполнение всех
заданий каждым участником группы. У каждого
ученика двойной листок бумаги, дневник, ручка,
карандаш.

• Организационный момент – 3 минуты.
• Постановка домашнего задания – 1 минута.
• Игра “Лабиринт” – 38 минут.
• “Свободная минутка” – резервное время.
• Подведение итогов урока – 3 минуты .

В классе две доски (на центральной и боковой
стене). На центральной доске табло игры. На
боковой доске задачи “Свободной минутки”.
Учитель всё время наблюдает за ходом игры,
разрешает все спорные вопросы, возникающие в
ходе игры.

Организационный момент

Приветствие учеников. Сообщение учащимся темы,
целей, плана урока. Напомнить правила игры
“Лабиринт”, представить консультантов,
бригадиров, пожелать хорошей игры.

Учащиеся класса поделены заранее на равные по
силам 3 группы.

Постановка домашнего задания

№1035, №1527, №1528, №1551 (для желающих)

III. Игра “Лабиринт”

С помощью игрального кубика члены каждой
команды выбирают себе задание из каждой части
теоретического и практического материала игры
по теме урока.

Игровое поле игры “Лабиринт”.

1.Что называется процентом? Замени проценты
десятичной и обыкновенной дробью: 1%, 2%, 5%, 10%, 20%, 25%,
50%, 75%, 100%.

2. Как выразить число в процентах? Поясните на
примере.

3. Как выразить проценты десятичной дробью?
Поясните на примере.

4. Как найти несколько процентов числа?
Приведите пример.

5. Как найти число по его процентам? Приведите
пример.

6. Как найти процентное отношение двух чисел?
Приведите пример.

II. Решите задачу (нахождение процентов числа).

• В школе 400 учащихся, 52% этого числа составляют
  девочки. Сколько мальчиков в школе? (Ответ: 192
  мальчика)
• Товар стоил 5000 р. Его цена повысилась на 20%.
  Какова новая цена товара? (Ответ: 6000 р.)
• Масса сушёных груш составляет 20% массы свежих.
  Сколько сушёных груш получится из 350 кг свежих?
  Сколько процентов массы свежих груш потеряется
  при сушке? (Ответ: 70 кг, 80%)
• Что больше 30% от 40 или 40% от 30? (Ответ: равно)
• Банк выплачивает доход из расчёта 2% вложенной
  суммы в год. Сколько рублей оказалось на счёте
  через год, если на него положили 70000 р.? (Ответ: 71400
  р.)
• Надо окрасить 60 м2 поверхности стены. 75%
  работы уже сделали. Какую площадь осталось
  окрасить? (Ответ: 15 м2)

III. Решите задачу (нахождение числа по его
процентам).

• Трава при сушке теряет 80% своей массы. Сколько
  тонн травы надо накосить, чтобы насушить 14 тонн
  сена? (Ответ: 70 тонн)
• Цена альбома была снижена на 15%. Новая цена
  альбома 34 рубля. Определите его первоначальную
  цену. (Ответ: 40 р.)
• Цена товара повысилась на 30% и составляет теперь
  91 рубль. Сколько стоит товар до повышения цены?
  (Ответ: 70 р.)
• Сколько учеников в классе, если 1 ученик
  составляет 4% всех учащихся класса? (Ответ: 25
  человек)
• При продаже товара за 693 рубля получено 10%
  прибыли. Определите себестоимость товара. (Ответ:
  630 рублей)
• 60% класса пошли в кино, а остальные 12 человек на
  выставку. Сколько учащихся в классе? (Ответ: 30
  человек)

IV. Решите задачу (нахождение процентного
отношения).

• Даша прочитала 120 страниц, ей осталось прочитать
  130 страниц книги. Сколько процентов всех страниц
  она прочитала? (Ответ: 48%)
• В месяце было 12 пасмурных и 18 солнечных дней.
  Сколько процентов месяца составляют солнечные
  дни? Пасмурные дни? (Ответ: 60%, 40%)
• На сколько процентов 50 больше 40? (Ответ: 25%)
• Цена товара снизилась с 40 рублей до 30 рублей. На
  сколько процентов снизилась цена? (Ответ: 25%)
• Для приготовления компота купили 2 кг
  чернослива, 1кг изюма, 4 кг кураги, 5 кг сушёных
  яблок, 3 кг сушёных груш. Сколько процентов всего
  компота составляют груши? (Ответ: 20%)
• Масса ящика с товаром 11,5 кг. Масса товара 9,2 кг.
  Сколько процентов масса пустого ящика
  составляет от массы ящика с товаром? (Ответ: 20%)

V. Решите задачу (сложные задачи на проценты).

• Имеется 2 раствора соли массой 80 г и 120 г. В
  первом растворе содержится 12 г соли, а во втором
  – 15 г соли. Какова будет концентрация, если оба
  раствора смешать? (Ответ: 13,5%)
• В 200 г воды растворили 50 г соли. Какова
  концентрация полученного раствора? (Ответ: 20%)
• Сколько соли надо растворить в воде, чтобы
  получить 400 г 5% раствора соли? (Ответ: 20 г)
• Сколько надо взять воды, чтобы получить 200 г 10%
  раствора соли? (Ответ: 180 г)
• Сколько граммов йода содержится в 400 г 3%
  раствора? (Ответ: 12 г)
• Банк выплачивает доход из расчёта 7% вложенной
  суммы в год. Сколько денег окажется на счёте
  через 2 года, если на него положили 10000 рублей?
  (Ответ: 11449 р.)

“Свободная минутка”

Если учащиеся справятся с заданиями игры
быстро, то им предлагаются дополнительные
задачи, за верное решение которых, группа может
заработать дополнительные баллы.

Задача №1. Сумма трёх чисел равна70. Второе
число на 28% больше первого, а третье на 48% меньше
первого. Найдите третье число. 1) 13; 2) 25; 3) 32.

Задача №2. Число увеличили на 10%, а потом ещё
на 10%. На сколько процентов увеличили число за 2
раза? 1) 20%; 2) 21%; 3) 30%.

Подведение итогов урока

1) Консультанты заполняют на центральной доске
табло игры, подсчитывают количество баллов,
заработанных каждой группой.

2) Выявляется группа – победительница. Эту
группу поздравляем. Утешительные слова для
других групп.

3) Зачитываются отметки, которые получили
учащиеся в ходе игры. Отметки выставляют
консультанты вместе с членами своих групп.

4) Поблагодарить всех учащихся за урок.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. Математика 6 класс.
  Учебник для общеобразовательных учреждений, М.:
  -МНЕМОЗИНА, 2007.
• Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика 6 класс, I
  часть. Баласс. С-ИНФО, 1998.
• Чесноков А.С., Нешков К.И. Дидактический материал
  по математике. 6 класс. М.: – Просвещение, 2007.
• Шпилевская Г.Н. Практическое руководство по
  изучению темы: “Проценты” в 5-6 классах. МИПКРО,
  учебно-методическая лаборатория.

Типы задач на проценты

В 5, 6, 7, 8, 9 классах в задачках по математике на проценты сравнивают части одного целого, определяют долю части от целого, ищут целое по части. Давайте рассмотрим все виды задач на проценты.

Тип 1. Нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

Задача. Блогер записал 500 видео для тиктока, но его продюсер сказал, что 20% из них — отстой. Сколько роликов придется перезаписать блогеру?

Как решаем: нужно найти 20% от общего количества снятых роликов (500).

20% = 0,2

500 * 0,2 = 100

Ответ: из общего количества снятых роликов продюсер забраковал 100 штук.

Тип 2. Нахождение числа по его проценту

Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.

Задачи по поиску процента по числу и числа по его проценту очень похожи. Чтобы не перепутать — внимательно читаем условия, иначе зайдем в тупик или решим неправильно. Если в задании есть слова «который», «что составляет» и «который составляет» — перед нами задача по нахождению числа по его проценту.

Задача. Школьник решил 40 задач из учебника. Что составляет 16% числа всех задач в книге. Сколько всего задач собрано в этом учебнике?

Как решаем: мы не знаем, сколько всего задач в учебнике. Но нам известно, что 40 задач составляют 16% от общего количества. Запишем 16% в виде дроби: 0,16. Далее известную нам часть целого разделим на ту долю, которую она составляет от всего целого.

40 : 0,16 = 40 · 100 : 16 = 250

Ответ: 250 задач собрано в этом учебнике.

Тип 3. Нахождение процентного отношения двух чисел

Задача. В секретном чатике 25 человек. 10 из них — девочки. Сколько процентов девочек в чате?

Как решаем: поделим 10 на 25, полученную дробь переведем в проценты.

10/25 * 100% = 2/5 * 100% = 2 * 100/5 = 40%

Ответ: в чатике 40% девочек.

Тип 4. Увеличение числа на процент

Чтобы увеличить число на некоторое количество процентов, можно найти число, которое выражает нужное количество процентов от данного числа, и сложить его с данным числом.

А можно воспользоваться формулой:

a = b · (1 + с : 100),

где a — число, которое нужно найти,

b — первоначальное значение,

c — проценты.

Задача. В прошлом месяце стикерпак стоил 110 рублей. А в этом месяце на 12% больше. Сколько стоит стикер-пак?

Как решаем: можно найти 12% от 110:

0,12 · 110 = 13,2.

Прибавить к исходному числу:

110 + 13,2 = 123,2 рубля.

Или можно воспользоваться формулой, тогда:

110 · (1 + 12 : 100) = 110 · 1,12 = 123,2.

Ответ: стоимость стикерпака в этом месяце — 123 рубля 20 копеек.

Тип 5. Уменьшение числа на процент

Чтобы уменьшить число на несколько процентов, можно найти число, которое выражает нужное количество процентов данного числа, и вычесть его от данного числа.

a = b · (1 − с : 100),

Задача. В прошлом году школу закончили 100 ребят. А в этом году выпускников на 25% меньше. Сколько выпускников в этом году?

Как решаем: можно найти 25% от 100:

0,25 · 100 = 25.

Вычесть из исходного числа 100 − 25 = 75 человек.

Ответ: 75 выпускников в этом году.

Тип 6. Задачи на простые проценты

Простые проценты — метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада или долга.

Формула расчета выглядит так:

S = а · (1 + у · х : 100),

где a — исходная сумма,

S — сумма, которая наращивается,

x — процентная ставка,

y — количество периодов начисления процента.

Задача. Марии срочно понадобились деньги и она взяла на один год в долг 70 000 рублей под 8% ежемесячно. Сколько денег она вернет через год?

Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

70 000 · (1 + 12 · 8 : 100) = 137 200

Ответ: 137 200 рублей вернет Мария через год.

Тип 7. Задачи на сложные проценты

Сложные проценты — это метод расчета процентов, когда проценты прибыли прибавляют к сумме на остатке каждый месяц. В следующий раз проценты начисляют на эту новую сумму.

S = а · (1 + х : 100)y,

где S — наращиваемая сумма,

a — исходная,

Задача. Антон хочет оформить вклад 10 000 рублей на 5 лет в банке, который дает 10% годовых. Какую сумму снимет Антон через 5 лет хранения денег в этом банке?

Как решаем: просто подставим в формулу данные из условий задачи:

10000 · (1 + 10 : 100)3 = 13 310

Ответ: 13 310 рублей снимет Антон через год.

Курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы. Вводный урок — бесплатно!

Решения задач на проценты

Ключевые слова конспекта: решения задач на проценты, ответы на типовые задачи, решения с пояснениями, математика для 5-6 классов; нахождение нескольких процентов от данной величины, восстановление величины по известным ее процентам, выражение отношения в процентах, увеличение (уменьшение) на несколько процентов, прикидка вместо точных подсчетов, увеличение (уменьшение) на несколько процентов раз и еще раз, сложные проценты, увеличение на 100%, 200%, уменьшение в несколько раз, проценты от процентов целого, нахождение целого по его процентам, выражение остатка процентами целого, выражение величины процентами целого, проценты от процентов целого, оставшиеся проценты целого, сложение процентов, уменьшение (увеличение) на несколько процентов, сравнение величин, отношение процентов, «потери», выраженные в процентах, концентрация раствора.

Задача № 1. Нахождение нескольких процентов от данной величины.

В избирательном округе 35 000 избирателей. В голосовании приняло участие 67% всех избирателей. Сколько человек голосовало?

Способ 1.
 Сначала найдем 1% всего числа избирателей, т.е. одну сотую целого: 35 000 : 100 = 350. Теперь найдем 67% всего числа избирателей: 350 • 67 = 23 450.

Способ 2.
 Используем умение находить часть целого. 67% величины – это 67 ее сотых долей, т.е. 67% выражаются дробью 67/100, или 0,67. Чтобы найти 67/100 (или 0,67), нужно 35 000 умножить на дробь: 35 000 • 0,67 = 23 450.

Ответ: 23 450 избирателей.

Задача № 2. Восстановление величины по известным ее процентам.

В избирательном округе голосовало 23 450 избирателей, что составило 67% всех избирателей. Сколько всего избирателей в округе?

Способ 1.
Сначала найдем 1% избирателей, принявших участие в голосовании: 23 450 : 67 = 350. Теперь найдем 100% всего числа избирателей: 350 • 100 = 35 000.

Способ 2.
Используем умение восстанавливать целое по известной его части.
67% величины – это 67 ее сотых долей, т.е. 67% выражаются дробью 67/100 или 0,67.
Чтобы найти 67/100 (или 0,67), нужно 23 450 разделить на дробь: 23 450 : 0,67 = 35 000.

Ответ: 35 000 избирателей.

Задача № 3. Выражение отношения в процентах.

На телеграфе получено 360 телеграмм. Из них 144 телеграммы – поздравительные. Сколько процентов составляет часть поздравительных телеграмм?

Сначала найдем, какую часть одна величина (число поздравительных телеграмм) составляет от другой (общего числа телеграмм): 144/360 = 2/5, затем выразим ее при необходимости десятичной дробью, а затем – и процентах 40%.

Задача № 4. Увеличение (уменьшение) на несколько процентов.

Цена упаковки составляет 6% цены игрушки. Какова стоимость игрушки с упаковкой, если цена игрушки 650 р.?

Способ 1.
Сначала найдем цену упаковки: 650 : 100 • 6 = 39 (р.). Теперь, увеличив цену, найдем стоимость игрушки с упаковкой: 650 + 39 = 689 (р.).

Способ 2.
Стоимость игрушки с упаковкой увеличилась на 6% и составила 100% + 6% = 106% цены игрушки. Так как 106% соответствует дроби 1,06 (или 106/100), то найдем 1,06 от 650. Имеем 650 • 1,06 = 689 (р.)

Ответ: 689 р.

Задача № 5. Прикидка вместо точных подсчетов.

Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213 р. за коробку продавали на 19% дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок?

213 р. – это примерно 200 р., 19% – это примерно 20%, т.е. пятая часть цены. Следовательно, коробка красок стоит на 200 : 5 = 40 р. дешевле, а 150 коробок на 40 • 150 = 6000 р. дешевле.

Ответ: примерно 6 тыс. р.

Задача № 6. Увеличение (уменьшение) на несколько процентов раз и еще раз.

а) Зонт стоит 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре – еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?

Найдем стоимость зонта в ноябре: она составляет 85% от 360 р. Имеем: 360 • 0,85 = 306 (р.). Второе снижение цены происходило относительно новой цены зонта; теперь следует находить 90% от 306 р. Имеем: 306 • 0,9 = 275,4 (р.).

Ответ: 275 р. 40 к.

Ответ: зонт подешевел на 23,5%.

Задача № 7. Сложные проценты.

а) Несколько лет тому назад в лесничестве росло 10 000 берез. Ежегодно подсаживали примерно 10% новых берез и в этом году насчитали примерно 13 300 берез. За сколько лет произошел такой прирост березовой рощи?

Ежегодно число деревьев увеличивалось на 10%, т.е. в 1,1 раза, и составило в первый год 10 000 • 1,1 = 11 000, во второй 11 000 • 1,1 = 12 100, в третий 12 100 • 1,1 = 13 310 берез.

Ответ: за 3 года.

Задача № 8. Увеличение на 100%, 200%.

Фирма в первый месяц выпустила 160 игрушечных автомобилей. В следующем месяце она увеличила выпуск этих игрушек на 200%. Во сколько раз увеличился выпуск игрушечных автомобилей? Сколько игрушечных автомобилей стала выпускать фирма?

Исходный выпуск автомобилей составляет 100%, т.е. 160 автомобилей – это 100%. Тогда в следующем месяце выпуск автомобилей составил 100% + 200% = = 300%, т.е. в 3 раза больше. Значит, фирма стала выпускать 160 • 3 = 480 автомобилей.

Ответ: в 3 раза, 480 автомобилей.

Задача № 9. Уменьшение в несколько раз.

Стоимость товара 100%, а после его уценки на 98% стала 100% – 98% = 2%, т.е. уменьшилась в 100 : 2 = 50 раз.

Ответ: в 50 раз.

Задача № 10. Проценты от процентов целого.

Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении Ученического совета участвовали 88% всех учащихся. На вопрос референдума 75% учащихся, принявших участие в голосовании, ответили «да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, которые ответили положительно?

Способ 1.
Выразим проценты дробями и вычислим число учащихся, утвердительно ответивших на вопрос референдума. Имеем 550 • 0,88 • 0,75 = 363 (уч.). Теперь найдем ответ на вопрос задачи: 363 : 550 = 0,66 – это 66%.

Способ 2.
Выразим проценты дробями и перемножим дроби, т.е найдем 0,75 от 0,88 и получим 0,66 – это 66%.

Задача № 11. Нахождение целого по его процентам.

Летом на дачу с детским садом выехали 180 детей. Известно, что 10% детей не поехали на дачу. Сколько всего детей в детском саду?

Выразим в процентах число детей, которые поехали на дачу: 100% – 10% = 90% и продолжим решение.

Способ 1: если 90% – это 180 детей, то 10% в 9 раз меньше, т.е. 20 детей, а 100% – это 200 детей.

Способ 2: 180 детей составляют 90%, т.е. 0,9 всех детей, найдем целое по его части: 180 : 0,9 = 200.

Ответ: 200 детей.

Задача № 12. Выражение остатка процентами целого.

Андрей за работу над новым проектом получил премию. Он истратил часть денег на подарки: 5% – родителям, 10% – жене, 7% – сыну и у него осталось 11 700 р. Какую сумму денег составила премия?

Выразим в процентах количество денег, оставшихся от премии, и вычислим целое по его проценту.
100% – 5% – 10% – 7% = 78%.
11 700 : 78/100 = 15 000 (р)

Ответ: 15 тыс. р.

Задача № 13. Выражение величины процентами целого.

Среди участников кросса 35% студенты, остальные – старшеклассники, причем их на 252 человека больше, чем студентов. Сколько спортсменов участвует в кроссе?

Найдем, на сколько процентов больше старшеклассников, чем студентов: (100% – 35%) – 35% = 30%. Эти 30% составляют 252 человека. Имеем 252 : 0,3 = = 840 (чел.).

Ответ: 840 человек.

Задача № 14. Проценты от процентов целого.

Четверть тиража новой газеты раскуплена в первый же день ее выпуска, причем 64% этой газеты продано в газетных киосках. Сколько процентов всего тиража продано в газетных киосках?

Четверть тиража новой газеты составляют его 25%. Найдем 64% от 25%, получим 0,16, т.е. 16%.

Ответ: 16% тиража.

Задача № 15. Оставшиеся проценты целого.

Автомобиль прошел 40% пути, а затем 30% оставшегося расстояния. Сколько процентов всего пути ему осталось пройти?

Способ 1.
После того как автомобиль прошел 40% пути, ему осталось пройти еще 60% пути. Найдем 30%, т.е. 0,3 от 60%, получим 18%. Значит, всего автомобиль прошел 40% + 18% = 58% пути и ему осталось пройти 100% – 58% = 42% пути.

Способ 2.
После того как автомобиль прошел 40% пути, ему осталось пройти еще 60% пути. А когда он пройдет 30% оставшегося расстояния, то ему останется пройти 70% оставшегося расстояния. Найдем 70%, т.е. 0,7 от 60%, получим 42%.

Ответ: 42% пути. Проверьте ответ, считая путь равным конкретному числу, например, 100 км.

Задача № 16. Сложение процентов.

В школе 16% девочек и 28% мальчиков занимаются в спортивных секциях. Сколько всего процентов школьников занимаются в спортивных секциях, если число мальчиков и число девочек в школе одинаково?

Число мальчиков и девочек в школе одинаково, а значит, в школе 50% мальчиков и 50% девочек. Найдем 16%, т.е. 0,16 от 50%, получим 8%. Найдем 28%, т.е. 0,28 от 50%, получим 14%. Сложим проценты: 8% + 14% = 22% – столько процентов составляют учащиеся школы, которые занимаются в спортивных секциях.

Ответ: 22% школьников.

Задача № 17. Уменьшение (увеличение) на несколько процентов.

На весенней распродаже в одном магазине товар уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. На ярмарке тот же товар уценили сразу на 45%. Где выгоднее покупателю купить эту вещь?

Ответ: на ярмарке.

Задача № 18. Сравнение величин.

Во время распродажи кресло, стоившее 3000 р., продавали за 2400 р. На сколько процентов была снижена цена кресла на распродаже?

Способ 1.
На сколько рублей новая цена меньше старой? На 600 р. На какую часть была снижена цена кресла? На 600/3000 = 1/5. На сколько процентов была снижена цена кресла? На 1/5 часть (на 2/10), т.е. на 20%.

Способ 2.
Какую часть новая цена составляет от старой? 2400/3000 = 8/10 = 0,8, т.е 80%. А это значит, что цена снижена на 20%.

Ответ: цена снижена на 20% .

Задача № 19. Отношение процентов.

Отношение числа девочек в школе к числу мальчиков равно 4:5. Какую часть составляют девочки от числа всех учащихся школы? А мальчики? Выразите ответ в процентах.

Если отношение числа девочек в школе к числу мальчиков равно 4:5, то число девочек составляет 4 части, а мальчиков 5 частей, а число всех учащихся школы – 9 таких же частей. Поэтому девочки от числа всех учащихся школы составляют 4/9, а мальчики 5/9.

Ответ: примерно 44% и 56%.

Задача № 20. «Потери», выраженные в процентах.

При сушке яблоки теряют 75% своей массы, т.е. ту часть влаги, которая из нее выпаривается. Сушеные яблоки содержат 20% влаги. Какова влажность свежих яблок?

Масса сушеных яблок составляет 100% – 75% = = 25% массы свежих яблок, и она содержит 0,25 • 0,2 = = 0,05, т.е. 5% влаги. Таким образом, влажность свежих яблок 75% + 5% = 80%.

Ответ: 80% массы.

Задача № 21. Концентрация раствора.

Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, содержащий 20% сахара?

Определим, сколько сахара в данной массе сиропа: 180 • 0,25 = 45 (г). Теперь найдем, сколько граммов 20–процентного сиропа получится, если взять 45 г сахара: 45 : 0,2 = 225 (г). Таким образом, в данную массу сиропа надо добавить 225 – 180 = 45 (г) воды.

Ответ: 45 г.

Это конспект по математике на тему «Решения задач на проценты». Выберите дальнейшие действия:

• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.

Ход урока.

Тему урока вы узнаете после небольшой разминки. Прошу вас хором отвечать на вопросы. В случае правильного ответа ставить на листочке заметку, т. е. считать количество правильных ответов.

Из первых букв верных ответов получилась такая анаграмма:

Р П Е О Ц Т Н. (буквы – на карточках)

Расшифруйте её, т. е. составьте слово из этих букв. Получилось слово процент. Это и есть тема нашего урока, а точнее – проценты.

Сегодня на уроке будет работать накопительная система оценок.

За устные и письменные ответы вы будете получать фишки или баллы,

1 фишка – 1 балл. Кто заработает за урок 5 фишек и более, получит «5», 4 фишки – «4» , 3 фишки – «3». Кто ответил верно на все 7 вопросов разминки, уже получает 1 фишку, кто угадал слово – 1 фишку. Всё зависит от вашей активности.

Тематика задач на уроке будет связана с табакокурением. Поэтому сегодняшний урок поможет нам также дать ответ на следующий вопрос: вредно ли курить?

См. приложение ( презентация, слайды № _1-6)

1) Выразите проценты обыкновенной дробью: 1%, 7%, 13%, 100%.
Сформулируйте правило, как выразить проценты обыкновенной дробью.

2) Как выразить проценты десятичной дробью?
Приведите примеры.

После ответа учащихся на доске прикрепляется табличка:

3) Вспомним правило нахождения процентов от числа.

Пример: найти 32% от числа А

Работа у доски

Задача №1 (1 человек выполняет у доски, остальные – в тетрадях, «цена» задачи- 1 балл)

В нашей школе волонтёрам было проведено и анонимное анкетирование, которое установило,

что 8% шестиклассников пробовали курить. Определите, сколько курильщиков в шестых классах, если всего 75 шестиклассника.

8% от 75 уч.

0,08 * 75= 6 (чел)

Ответ: 6 учащихся

См. Приложение (слайды 7-8 )

Учитель: Обратите внимание на диаграмму на слайде. Мы видим, что с возрастом эту вредную привычку приобретают всё больше и больше учащихся. Эти ученики подвержены большему риску заболеваний внутренних органов, у них желтеют зубы, повышается раздражительность, утомляемость.

Задача №2 ( все решают самостоятельно, 1 ученик – на обратной стороне доски; учитель напоминает, что можно решить также с помощью пропорции, «цена» задачи- 2-3 балла)

Курящие дети сокращают себе жизнь на 15%. Определите, какова продолжительность жизни курящих людей, если средняя продолжительность жизни в России 56 лет.

Учитель: Кто же подаёт плохой пример детям?

Дети, рождённые в семьях курильщиков, в 4-5 раз чаще болеют простудными заболеваниями, хроническими воспалениями, также они становятся пассивными курильщиками, если взрослые курят при детях.

Прежде, чем выполнить следующее задание, напомните мне, как узнать, сколько процентов составляет одно число от другого?

После ответа учащихся на доске прикрепляется табличка:

1) Какую часть составляет 20 от 40?

2) Какую часть составляет 40 от 20?

3) Выразите десятичную дробь в процентах. Правило. Примеры.

Средний вес новорождённого ребёнка 3 кг 300г. Если у ребёнка был курящий отец, то его вес будет меньше среднего на 125 г.; если курящая мать – меньше на 300г.

Определите, сколько процентов в весе теряет новорождённый, если:

а) курит мама, б) курит папа. Ответ округлить до единиц.

/мальчики выполняют задание 3а), девочки – 3б); у доски – мальчик и девочка выполняют самостоятельно, «цена» задачи- 3 балла/

Учитель: Вес для новорожденного – самый важный критерий развития. Согласитесь, что полностью здоровым этот ребёнок быть не может, всю жизнь он будет расплачиваться своим здоровьем за легкомыслие своих родителей.

А теперь давайте вспомним правило нахождения числа по его процентам.

Задача №4. («цена» задачи- 2-3 балла)

В одной школе при проведении медосмотра весной прошлого года врачи выделили группу учащихся со стажем курения около 3 лет. При проверке их состояния здоровья у 14 человек было обнаружено по 2 заболевания (органов пищеварении дыхания), что составило 70% этой группе учащихся, у остальных отмечено по одному заболеванию. Сколько человек относится к данной группе?

Вы, ребята, все устали,
Много думали, решали.
Отдохнуть уже пора!
Предлагается игра!

Прошу всех встать. Сейчас я вам буду показывать карточки. Если вы считаете, что записанное верно, то должны похлопать в ладоши, если неверно, то поднять руки вверх.

• 1% – это 0,1?
• 5²=25?
• 50% – это1/2?
• 0,12 – это12%?
• 16:0,2=0,8?
• 0,4 – это 4%?
• курение опасно для вашего здоровья?

К доске приглашаются два лучших математика (представители от мальчиков и девочек). «Цена» задания – 4 балла.

Для них индивидуальные задания – заполнить таблицу, приготовленную на боковой доске. Остальные приступают к самостоятельной работе.

Индивидуальное задание №1

Индивидуальное задание №2

Самостоятельная работа.

Перед вами лист с самостоятельной работой. Для каждого из двух вариантов –

2 задания различной сложности, выбираете любое задание, кто- то может успеть выполнить 2 задания.

1) 1 задание – тест с 3 вариантами ответов, нужно выбрать правильный ответ и обвести его в кружок. («Цена» задания- 2балла)

2) Задача на проценты.

(«Цена» задания- 3 балла)

Время для выполнения работы- 7мин.

1) Выразите проценты в виде десятичной дроби:

Если секретарь курит, то допускает 4% ошибок на странице печатного текста.

Сколько всего печатных знаков в тексте, если допущено 32 ошибки.

Ответ: 800 знаков в тексте.

1) Выразите десятичную дробь в виде процентов:

Определите, сколько процентов своего дохода тратит на сигареты человек, выкуривающий одну пачку в сутки, если одна пачка сигарет стоит 20 руб., ежемесячная зарплата 6000 руб. (в месяце считать 30 дней).

1) 20 * 30=600 (руб) – на сигареты в месяц

Взаимопроверка. (Презентация. Слайды № 11-12 )

Подведение итогов.

Подведём теперь итог:
Мы успели точно в срок.
Кто же лучше всех трудился
И сегодня отличился?

Поднимите руки, кто набрал 5 баллов и больше? Эти ребята получают в журнал «5». У кого 4 балла? У кого 3 балла? Оценка «3» ставится сегодня по вашему желанию.

Ещё раз вспомним, задачи каких типов мы решали на уроке.

(задачи на нахождение процентов от числа, нахождение числа по его процентам; сколько процентов составляет одно число от другого)

Домашнее задание: составьте задачи на тему «Курение и проценты».

На какой вопрос ещё мы должны были ответить в конце урока?

– Вредно ли курить?

Так какой же ваш ответ?

Литература

• Математика./Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября». /№26. 2000г.
• Все цвета, кроме чёрного: находим ответы на трудные вопросы/А.Г. Макеева; под ред. М.М. Безруких – М.- Просвещение, 2005.-96 с.

Способы нахождения процента

При делении на 100 получается 1% от этого числа. Это правило можно использовать по-разному. Например, чтобы узнать процент от суммы, нужно умножить их на размер 1%. А чтобы перевести известное значение, следует разделить его на размер 1%. Этот метод отлично помогает в вопросе, как перевести целое число в проценты.

Представьте, что вы пришли в магазин за шоколадом. Обычно он стоит 250 рублей, но сегодня скидка 15%. Если у вас есть дисконтная карта магазина, шоколад обойдется вам в 225 рублей. Чем будет выгоднее воспользоваться: скидкой или картой?

• Переведем 15% в рубли:250 : 100 = 2,5 — это 1% от стоимости шоколада,значит 2,5 * 15 = 37,5 — это 15%.
• 250 – 37,5 = 212,5.
• 212,5 < 225.

Ответ: выгоднее воспользоваться скидкой 15%.

Составление пропорции

Пропорция — определенное соотношение частей между собой.

С помощью метода пропорции можно рассчитать любые %. Выглядит это так:

Читается: а относится к b так, как с относится к d. Также важно помнить, что произведение крайних членов равно произведению средних. Чтобы узнать неизвестное из этого равенства, нужно решить простейшее уравнение.

Рассмотрим пример. На сколько выгодно покупать спортивную футболку за 1390 рублей при условии, что в магазине в честь дня всех влюбленных действует скидка 14%?

• Узнаем сколько стоит футболка сейчас в % соотношении:100 – 14 = 86,значит 1390 рублей это 86%.
• 1390 : 100 = х : 86,х = 86 * (1390 : 100),х = 1195,4.
• 1390 – 1195,4 = 194,6.

Ответ: купить спортивную футболку выгоднее на 194,6 рубля.

Соотношения чисел

Есть случаи, когда найти процент от числа проще, если представить проценты в виде простых дробей. В таком случае будем искать часть числа.

• 10% — десятая часть целого. Чтобы найти десять %, понадобится известное разделить на 10.
• 20% — пятая часть целого. Чтобы вычислить двадцать % от известного, его нужно разделить на 5.
• 25% — четверть целого. Чтобы вычислить двадцать пять %, понадобится известное разделить на 4.
• 50% — половина целого. Чтобы вычислить половину, нужно известное разделить на 2.
• 75% — три четверти целого. Чтобы вычислить семьдесят пять %, нужно известное значение разделить на 4 и умножить на 3.

Задача для тренировки. В черную пятницу вы нашли отличный пиджак со скидкой 25%. В обычный день он стоит 8500 рублей, но сейчас с собой есть только 6400 рублей. Хватит ли средств для покупки?

• 100 – 25 = 75,значит нужно заплатить 75% от первоначальной цены.
• Используем правило соотношения чисел:8500 : 4 * 3 = 6375.

Ответ: средств хватит, так как пиджак стоит 6375 рублей.

Задачи на проценты с решением

Как мы уже убедились, решать задачи на проценты совсем несложно. Для закрепления материала рассмотрим реальные примеры на проценты из учебников и несколько заданий для подготовки к ЕГЭ.

Задача 1. Организм взрослого человека на 70% состоит из воды. Какова масса воды в теле человека, который весит 76 кг?

76 · 0,7 = 53,2 кг

Ответ: масса воды 53,2 кг

Задача 2. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?

Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого понижения цена станет равной.

х – 0,4х = 0,6x

Второе понижение цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения получим:

0,6х – 0,25 * 0,6x = 0,45x

После двух понижений изменение цены составит:

х – 0,45x = 0,55х

Так как величина 0,55x составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%.

Задача 3. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. На сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто?

По условиям задачи стоимость четырех пар брюк — это 92% от стоимости пальто

100 – 8 = 92

Получается, что стоимость одной пары брюк — это 23% стоимости пальто.

Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто.

23 * 5 = 115

Ответ: пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.

Задача 4. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.

По условиям задачи общий доход семьи напрямую зависит от доходов мужа. Благодаря увеличению зарплаты общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз 67% от общего дохода.

Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 — это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход.

Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии — это 4% дохода, то вся стипендия — это 6%.

А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100 – 67 – 6 = 27.

Ответ: заработок жены составляет 27%.

Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в сухофрукте кураге только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?

Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге в концентрированном виде — 95%.

Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества.

Значит, 19 килограммов питательного вещества в абрикосах — это 10% веса свежих абрикосов. Найдем число по проценту.

19 : 0,1 = 190

Ответ: 190 кг свежих абрикосов потребуется для изготовления 20 кг кураги.