Значение. Примеры вычисления площади поверхности и объема шара, через радиус и диаметр шара

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства шара и сферы, а также формулы, с помощью которых можно найти площадь поверхности и объем данных геометрических фигур.

Определение шара и сферы

Шар – это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на расстоянии не больше заданного от точки, называемой центром шара (на рисунке ниже – это точка O). Другими словами, это совокупность точек, ограниченных сферой.

Шар образуется путем вращения круга вокруг своего диаметра (оси) на 180° или полукруга – на 360°.

Сфера – это поверхность шара. Образуется путем вращения окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности – на 360°.

Различают два вида шаров:

• замкнутый – включает сферу;
• открытый – исключает сферу.

Радиус шара (сферы) – расстояние между центром и точками, лежащими на его поверхности. На рисунке выше обозначен буквой R.

Диаметр шара (сферы) – отрезок, проходящий через центр шара и соединяющие две противоположные точки на его поверхности. Совпадает с осью шара, обычно обозначается буквой d.

Полюсы шара (сферы) – точки A и B, расположенные на концах его диаметра.

Свойства шара и сферы

Любое сечение шара плоскостью является кругом.

Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

Все точки сферы равноудалены от ее центра.

Сфера имеет самый большой объем среди всех фигур в пространстве, имеющих одинаковую площадь поверхности.

Через две любые диаметрально противоположные точки (максимально отдаленные друг от друга точки на окружности) можно провести неограниченное количество кругов для шара или окружностей для сфер радиусом, равным радиусу шара/сферы.

Примечание: если точки не диаметрально противоположны, то провести можно только один круг (окружность).

Части шара

Сегмент шара – это часть шара, отсекаемая плоскостью. Иногда называется шаровым сегментом. На рисунке ниже окрашен в зеленый цвет.

Срез шара – часть шара между двумя параллельными плоскостями, пересекающими его. Также может называться шаровым слоем. На рисунке ниже закрашен желтым.

Сектор шара – состоит из шарового сегмента и конуса, вершина которого находится центре шара, а основание совпадает с основанием сегмента. На рисунке ниже сектор залит оранжевым.

Формулы для шара/сферы

Площадь поверхности сферы

Все формулы для площадей полной и боковой поверхности тел

Формула площади поверхности куба,(S):

Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Формула площади поверхности параллелепипеда, (S):

Найти площадь поверхности шара, сферы

Формула площади поверхности шара (S):

Найти площадь боковой и полной поверхности цилиндра

– высота цилиндра

Формула площади боковой поверхности цилиндра, (S):

Формула площади всей поверхности цилиндра, (S):

Площадь поверхности прямого, кругового конуса

Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус () и образующую (), (S):

Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус () и высоту (), (S):

Формула площади полной поверхности конуса, через радиус () и образующую (), (S):

Формула площади полной поверхности конуса, через радиус () и высоту (), (S):

Формулы площади поверхности усеченного конуса

– радиус верхнего основания

– образующая усеченного конуса

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса, (S):

Формула площади полной поверхности усеченного конуса, (S):

Площадь поверхности правильной пирамиды через апофему

– апофема (опущенный перпендикуляр из вершины , на ребро основания )

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (Sбок):

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды (S):

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

– апофема пирамиды, отрезок

– периметр нижнего основания,

– периметр верхнего основания,

Формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды, (S):

Площадь поверхности шарового сегмента

Формула площади поверхности шарового сегмента, (S):

Площадь поверхности шарового слоя

– высота шарового слоя, отрезок KN

– радиус самого шара

Формула площади боковой поверхности шарового слоя, (S):

Площадь поверхности шарового сектора

– радиус основания конуса = радиус сегмента

Формула площади поверхности шарового сектора, (S):

Апофема правильной пирамиды

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Тогда (displaystyle SK) – апофема данной пирамиды.

Пусть (displaystyle BC=4) – сторона основания правильной треугольной пирамиды.

В условии задачи дана площадь поверхности пирамиды.

Воспользуемся формулой для вычисления площади полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды (displaystyle S ) равна

Площадь поверхности — аддитивная числовая характеристика поверхности.

ОпределенияПравить

Во всех определениях площади в первую очередь описывается класс поверхностей, для которых она определяется.
Проще всего определяется площадь многогранных поверхностей: как сумма площадей их плоских граней.
Тем не менее класс многогранных поверхностей недостаточно широк для большинства приложений

Чаще всего площадь поверхности определяют для класса кусочно гладких поверхностей с кусочно гладким краем.
Это можно сделать с помощью следующей конструкции:
Поверхность разбивают на части с кусочно гладкими границами: для каждой части выбирают плоскость и ортогонально проецируют на неё рассматриваемую часть; площадь полученных плоских проекций суммируют.
Площадь самой поверхности определяют как точную верхнюю грань таких сумм.

Если поверхность в евклидовом пространстве задана параметрически кусочно  -гладкой функцией  , где параметры  ,   изменяются в области   на плоскости  ,
то площадь   можно выразить двойным интегралом

где   обозначает векторное произведение, a   и   — частные
производные по   и  .

Этот интеграл можно переписать в следующим образом:

где  ,  ,   и, также,

где   обозначает матрицу Якоби отображения  .

• В частности, если поверхность есть график  -гладкой функции   над областью   на плоскости  , то
• Для двумерных кусочно гладких поверхностей в римановых многообразиях эта формула служит определением площади, при этом роль  ,   и   играют составляющие метрического тензора самой поверхности.

• Попытка ввести понятие площади кривых поверхностей как предела площадей вписанных многогранных поверхностей (подобно тому, как длина кривой определяется как предел вписанных ломаных) встречает трудность. Даже для весьма простой кривой поверхности площадь вписанных в неё многогранников со всё более мелкими гранями может иметь разные пределы в зависимости от выбора последовательности многогранников. Это наглядно демонстрирует известный пример, так называемый сапог Шварца, в котором последовательности вписанных многогранников с разными пределами площади строятся для боковой поверхности прямого кругового цилиндра.
  Тем не менее, площадь замкнутой выпуклой поверхности равна точной верхней грани площадей вписанных в неё выпуклых многогранных поверхностей.
• Тем не менее, площадь замкнутой выпуклой поверхности равна точной верхней грани площадей вписанных в неё выпуклых многогранных поверхностей.

СвойстваПравить

Статья будет полезна школьникам и будущим абитуриентам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ.

Формула объема шара через радиус

Данная формула является базовой!

Формула для вычисления объема шара, если известен радиус R шара

Формула объема шара через диаметр

Формула вычисления объема шара, если известен диаметр D шара

Примеры вычисления объема шара, через радиус и диаметр шара

Радиус шара равен 10 см. Найди его объем.

Пример вычисления объема шара, если радиус шара задан в условии задачи

Диаметр шара равен 10 см. Найди его объем.

Пример вычисления объема шара, если диаметр шара задан в условии задачи

Соотношение диаметра Луны и диаметра Земли 1:4. Во сколько раз объем Земли больше объема Луны?

Пример решения задачи

Ответ: в 64 раза.

Важно: существует множество онлайн калькуляторов, позволяющих быстро найти заданную величину. Например, сервис Webmath.

Формула полной поверхности шара, сферы через радиус

Формула для вычисления площади полной поверхности шара, если известен радиус R шара

Формула полной поверхности шара, сферы через диаметр

Формула вычисления площади полной поверхности шара, если известен диаметр D шара

Примеры вычисления площади поверхности, сферы шара, через радиус и диаметр шара

Как найти объем шара через площадь поверхности шара, сферы

Пример решения задачи.

Как найти площадь поверхности пирамиды

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь основания и апофему.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.

Боковая поверхность через периметр и апофему

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему:

p – периметр основания пирамиды; l – апофема пирамиды.

Боковая поверхность через высоту и сторону основания

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:

a – сторона основания; h – высота пирамиды; n – число сторон в основании.

Полная поверхность через высоту и сторону основания

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:

Полная площадь тетраэдра

Формула полной площадь тетраэдра:

a – сторона основания.

Площадь поверхности любой пирамиды равна сумме площади основания и площадей боковых граней. Если дана правильная пирамида, площадь ее поверхности вычисляется с помощью формулы, но нужно знать, как найти площадь основания пирамиды. Так как в основании пирамиды может лежать любой многоугольник, нужно уметь находить площади многоугольников, включая пяти- и шестиугольники. Площадь поверхности правильной квадратной пирамиды очень легко найти, если известны сторона квадрата (который лежит в основании) и апофема пирамиды.

• В формулу подставьте значение периметра. Если периметр не дан, но известна сторона основания, периметр вычисляется умножением значения стороны на число сторон основания.
• В формулу подставьте значение апофемы. Не перепутайте апофему с высотой. В задаче должна быть дана апофема; в противном случае воспользуйтесь другим методом.
  Например, апофема шестиугольной пирамиды равна 12 см. Формула запишется так: .
• Например, апофема шестиугольной пирамиды равна 12 см. Формула запишется так: .
• Вычислите площадь основания. Формула для вычисления площади основания зависит от фигуры, лежащей в основании. Чтобы узнать, как находить площади правильных многоугольников, прочитайте эту статью.
• В формулу подставьте площадь основания. Найденное значение площади основания подставьте вместо .
  В нашем примере площадь шестиугольного основания равна 41,57 квадратных сантиметров, поэтому формула запишется так:
• В нашем примере площадь шестиугольного основания равна 41,57 квадратных сантиметров, поэтому формула запишется так:
• Перемножьте периметр основания и апофему. Полученный результат разделите на два. Вы найдете площадь боковой поверхности пирамиды.
• Сложите два значения. Сумма площади боковой поверхности и площадь основания есть площадь поверхности пирамиды (в квадратных единицах).

• Возведите в квадрат сторону основания. Вы найдете площадь основания.
• Перемножьте сторону основания и апофему. Результат разделите на 2, а затем умножьте на 4. Вы найдете площадь боковой поверхности пирамиды.
• Сложите площадь основания и площадь боковой поверхности. Вы найдете площадь поверхности пирамиды (в квадратных единицах).

Что вам понадобится

• Карандаш
• Бумага
• Калькулятор (по желанию)
• Линейка (по желанию)

Об этой статье

У этого термина существуют и другие значения, см. Шар (значения).

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Поверхность шара — сфераr — радиус шара

Связанные определенияПравить

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулыПравить

Площадь поверхности   и объём   шара радиуса   (и диаметром  ) определяются формулами:

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке  . Уравнение окружности этого круга :  , откуда  .

Функция   непрерывная, убывающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

Откуда   Ч. т. д.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Пусть дано метрическое пространство  . Тогда

Шар радиуса   с центром   также называют  -окрестностью точки  .

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой  .
• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой  .
• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке   являют собой её базу.
• Очевидно,  . Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром:  
  Например: пусть   — дискретное метрическое пространство, и   состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого   имеем:
• Например: пусть   — дискретное метрическое пространство, и   состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого   имеем:

где — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

Знаком здесь обозначен двойной факториал.

Эти формулы также можно свести в одну общую:

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности   (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

То же без гамма-функции:

Пространства младших размерностей

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Пространства старших размерностей

Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

ПримерыПравить

если (пространство — прямая), то — открытый и замкнутый отрезок соответственно.если (пространство — плоскость), то
 — открытый и замкнутый диск соответственно.если  , то
 
  — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

Тогда
если , то  — это открытый квадрат с центром в точке и сторонами длины , расположенными по диагонали к координатным осям.если  , то   — это открытый трёхмерный октаэдр.

ЛитератураПравить

Стоит остановиться на определении некоторых составляющих пирамиды.

У нее, как и у других многогранников, есть ребра. Они сходятся к одной точке, которая называется вершиной пирамиды. В ее основании может лежать произвольный многоугольник. Гранью называется геометрическая фигура, образованная одной из сторон основания и двумя ближайшими ребрами. В нашем случае это треугольник. Высотой пирамиды называется расстояние от плоскости, в которой лежит ее основание, до вершины многогранника. Для правильной пирамиды существует еще понятие апофемы — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к её основанию.

Вычисление площади боковых граней и полной поверхности

Боковые грани правильной треугольной пирамиды представлены тремя равнобедренными треугольниками. Выведем формулу расчета площади каждого из них из классического способа вычисления площади треугольника:

Здесь переменная a обозначает основание треугольника, h — его высоту.

Теперь выполним подстановку выражения, с помощью которого находится высота треугольника с одинаковыми бедрами, и получим уравнение определения площади равнобедренного треугольника:

В этом случае b — это боковые ребра треугольника, равные между собой.

Подставим в выражение (1) формулы (2) и (3) и получим уравнение, с помощью которого рассчитывается площадь полной поверхности правильного тетраэдра:

Видео

https://youtube.com/watch?v=Vq8Y_AVofZY%3Fwmode%3Dopaque

Свойства и теоремы

Для фигуры характерны некоторые свойства. БР одинаковы, если нижняя сторона вписывается в сферу либо окружность так, что вершина приходится на центр. Другие особенности фигуры:

• Боковые рёбра и плоскость нижней стороны формируют равные углы.
• Если БР образуют с плоскостью одинаковые углы либо вблизи основания описывается окружность с вершиной в её центре, тогда все БР одинаковые.
• Если грани наклонены к плоскости основания под определённым углом, тогда площадь боковой поверхности (БП) пирамиды равна ½ произведения периметра нижней стороны на высоту грани.

При решении задач на сайтах онлайн либо из учебников по геометрии используются теоремы, которые связывают пирамиду с иными телами.

Для расчета нужной величины применяется калькулятор, подходящая формула, свойства многогранников. Учёные доказали, что вокруг пирамиды можно описать сферу, если в основании находится многоугольник с окружностью.

Центр сферы — точка, в которой пересекаются плоскости, проходящие через центральную часть ребер. Из теоремы вытекает, что около прямоугольной, квадратной и правильной пирамиды возможно описать сферу. В фигуру вписывается сфера, если биссекторные плоскости двугранных внутренних углов пересекаются в единой точке. Согласно другой теореме, конус вписан в пирамиду, если их вершины совпадают. Основание фигур и апофемы совпадают. Конус описывается вокруг пирамиды, если БР последней фигуры одинаковые.

Цилиндр находится внутри многоугольника, если любое его основание совмещено с окружностью. Цилиндр описан около пирамиды, если вершина последней фигуры находится на одном из его оснований. Другая его нижняя часть описана внизу пирамиды. Подобное действие возможно, если в основании пирамиды вписан многоугольник.

Для правильной пирамиды (нижняя сторона представлена в виде правильного многоугольника с вершиной в центре) характерны некоторые свойства: равенство БР, гранями являются равнобедренные конгруэнтные (равные) треугольники, внутрь и вокруг легко описывается и вписывается сфера. В последнем случае, когда центры сфер совпадают, сумма плоских углов равняется числу пи, а каждый — π/n, где n — количество сторон фигуры в основании.

Пирамида считается прямоугольной, если одно БР перпендикулярно нижней стороне. В таком случае ребро является высотой. В тетраэдре либо треугольной пирамиде любая грань принимается в качестве основания.

Площадь основания любой пирамиды

Площадь основания любой пирамиды — это площадь ее основания.

Если в основании пирамиды треугольник, то формулы для нахождения площади любого треугольника вы можете посмотреть в статье «Площадь треугольника».

В основании пирамиды может лежать любой прямоугольник, любой многоугольник. Обычно в школьных задачах, в основании пирамиды часто лежит треугольник, редко прямоугольник. Задачи, в которых в основании пирамиды лежит пятиугольник, семиугольник или произвольных многоугольник, практически не встречаются. Хотя их можно увидеть в олимпиадных задачах.

Теперь давайте решим несколько задач для нахождения площади основания пирамиды

Теги

На странице вы найдете онлайн-калькуляторы, которые помогут найти площадь полной и боковой поверхности правильной пирамиды, а также треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамиды. Кроме того приводятся формулы, по которым вы можете произвести расчет самостоятельно.

Познакомьтесь с важными понятиями, которые необходимо знать для расчета площади поверхности пирамиды.

Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина фигуры проецируется в центр ее основания.

Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей боковых граней и площади основания.

Площадь боковой поверхности пирамиды – это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.

Апофема — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ребро основания.

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через периметр, площадь и апофему

S – площадь основания пирамиды

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту

a – сторона основания пирамиды

n – число сторон основания

Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему

Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань

b – боковая грань пирамиды

Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту

Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань

Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту

Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему

Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему

Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань

Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту

Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему

Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань

Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту

Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через периметр основания и апофему

Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему

Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань

Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту

Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 60см, боковые ребра равны 78см. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Так как пирамида правильная четырехугольная, то воспользуемся соответствующей формулой площади поверхности через сторону основания и боковую грань.

Ответ: 12240 см²

Проверим полученный ответ с помощью .

Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной 6см и апофемой 10см.

Из условия мы знаем апофему и сторону правильной треугольной пирамиды, поэтому нам потребуется эта формула.

Ответ: 90 см²

Убедимся в правильности решения с помощью .

Найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды сторона основания 6см и высота 4см.

Подставим значения в формулу и произведем расчет.

Ответ: 60 см²

Сфера

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 15 декабря 2021 года; проверки требуют 8 правок.

У этого термина существуют и другие значения, см. Сфера (значения).

Сфера (каркасная проекция)

Расстояние от точки сферы до её центра называется радиусом сферы.
Сфера радиуса 1 называется единичной сферой.

Сфера является поверхностью вращения, образованной вращением полуокружности вокруг своего диаметра.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны.

Сфера является поверхностью шара.

Сфера имеет наименьшую площадь из всех поверхностей, ограничивающих данный объём, другими словами — из всех поверхностей с данной площадью сфера ограничивает наибольший объём. Именно из-за минимизации площади поверхности силой поверхностного натяжения маленькие капли воды в невесомости приобретают сферическую форму.

«Кубок Кеплера»: модель Солнечной системы из пяти правильных многогранников и их вписанных и описанных сфер.

Значение в естествознанииПравить

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат:

где   — координаты центра сферы,   — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке  :

где   и

Гауссова кривизна сферы постоянна и равна 1/R².

Координаты сферы, проходящей через заданные точки

Через четыре точки пространства   может проходить единственная сфера с центром

Радиус данной сферы:

Полный телесный угол сферы

Объём шара, ограниченного сферой

Площадь сегмента сферы высоты

Геометрия на сфереПравить

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие окружности являются геодезическими линиями на сфере; любые две из них пересекаются в двух точках. Иными словами, большие круги сферы являются аналогами прямых на плоскости, расстояние между точками на сфере — длина дуги проходящего через них большого круга. Углу же между прямыми на плоскости соответствует двугранный угол между плоскостями больших кругов. Многие теоремы геометрии на плоскости справедливы и в сферической геометрии, существуют аналоги теоремы синусов, теоремы косинусов для сферических треугольников. В то же время, существует немало отличий, например, в сферическом треугольнике сумма углов всегда больше 180 градусов, к трём признакам равенства треугольников добавляется их равенство по трём углам, у сферического треугольника может быть два и даже три прямых угла — например, у сферического треугольника, образованного экватором и меридианами 0° и 90°.

Расстояние между двумя точками на сфере

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

Однако, если угол   задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

В этом случае   и   называются широтами, а   и   долготами.

N-мерная сфераПравить

В общем случае уравнение (n−1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид:

где   — центр сферы, а   — радиус.

Пересечением двух n-мерных сфер является (n−1)-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1
сфер.

n-мерная инверсия переводит (n−1)-мерную сферу в (n−1)-мерную сферу или гиперплоскость.

С трёхмерной сферой связана одна из задач тысячелетия — гипотеза Пуанкаре, в которой утверждается, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно такой сфере. Эта гипотеза была доказана Г. Я. Перельманом в начале 2000-х годов на основе результатов Ричарда Гамильтона.

• Древнегреческо-русский словарь Дворецкого „σφαῖρα“. Дата обращения: 17 июня 2019. Архивировано из оригинала 25 марта 2016 года.
• Климишин И. А. Астрономия наших дней. — 3-е изд. — М.: Наука, 1986. — С. 30—33. —
• Оригинальный латинский текст цитаты: «Dei trinuni imago in Sphærica superficie, Patris scilicet in centro, Filij in superficie, Spiritus in æqualitate σχέσεως inter punctum & ambitum». См.: Kepler J. Mysterium Cosmographicum (неопр.). — 1596. — С. 19. Архивная копия от 30 мая 2014 на Wayback Machine
• Шевченко В.В. Небесная музыка // Земля и Вселенная. — 1973. — . — .
• Тихо Браге. Автобиография // Историко-астрономические исследования / Отв. ред. Л.Е. Майстров. — М.: Наука, 1984. — . — .