Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии.
Геометрия Планиметрия Стереометрия stereos телесный, твердый, объемный, пространственный
Стереометрия. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основные фигуры в пространстве: А Точка. а Прямая. Плоскость.
Геометрические тела: Куб. Параллелепипед. Тетраэдр.
Геометрические понятия. Плоскость – грань Прямая – ребро Точка – вершина вершина грань ребро
Аксиома (от греч. ax íõ ma – принятие положения) исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства
АКСИОМЫ планиметрия стереометрия 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Характеризуют взаимное расположение точек и прямых Основное понятие геометрии «лежать между» 4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Аксиомы стереометрии описывают: А1. А В С b Способ задания плоскости. b А В Взаимное расположение прямой и плоскости a b Взаимное расположение плоскостей
Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая лежит в плоскости. Прямая пересекает плоскость. Прямая не пересекает плоскость. Множество общих точек. Единственная общая точка. Нет общих точек. g а g а М g а а Ì g а Ç g = М а Ë g
Прочти чертёж A С
Прочти чертёж B c b a
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB , в плоскости АВС; б) плоскость, в которой лежит прямая MN , прямая КМ; в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC , плоскости SAC и CAB. К А В М S N C
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC ; плоскости FDE и SAC ; в) две плоскости, которые пересекает прямая SB ; прямая AC. А С В S D F E
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D
А А 1 В В 1 С D 1 D C 1 а) В 1 С ?
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; б) прямую, по которой пересекаются плоскости B 1 CD и AA 1 D 1 ; плоскости ADC 1 и A 1 B 1 B ; C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D Плоскости: (АА 1 В 1 ), (АВ 1 С), (АВ 1 С 1 )
А А 1 В В 1 С D 1 D C 1 б)
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; б) прямую, по которой пересекаются плоскости B 1 CD и AA 1 D 1 ; плоскости ADC 1 и A 1 B 1 B ; в) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD 1 ; с прямой B 1 C. C C 1 A 1 B 1 D 1 A B D
А А 1 В В 1 С D 1 D C 1 в)
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; б) прямую, по которой пересекаются плоскости B 1 CD и AA 1 D 1 ; плоскости ADC 1 и A 1 B 1 B ; в) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD 1 ; с прямой B 1 C C C 1 A 1 B 1 D 1 A B D Плоскость (АА 1 D 1 )
Проверь себя: №1 а) РЕ ( ADB), (DEC), MK ( DBC ) , DB ( DBC), (ADB), AB (ABC), (ADB), EC (ABC), (DEC) б) DK (ABC)= C CE (ADB) = E в) (А DB): A,D,B,P,E ( DBC): D,B,C,M,K г) ( ABC) ( DCB) = BC (ABD) (CDA) = AD (PDC) (ABC) = CE Ì Ì Ì Ì Ì
Проверь себя: № 2 (DCC 1 ) : D,D 1 ,C,C 1 ,K,M,R ( BQC): B,B1,C,C1,Q,M,P б) (AA 1 D), (AA 1 B) в) MK (ABD) = R DK (A 1 B 1 C 1 ) = D 1 BP (A 1 B 1 C 1 ) = Q г) (AA 1 B 1 ) (ACD) = AB (PB 1 C 1 ) (ABC) = BC д) MK DC = R B 1 C 1 BP = Q C 1 M DC = C
Домашнее задание: Выучить аксиомы 2) учебник: п. 1- 2 стр. 4 – 6. 3) Учебник №№ 3 ,10,12,13. Успехов!
Вводный урок геометрии в 10 классе
“Стереометрия. Аксиомы стереометрии
Владимирова Регина Валерьевна,
МБОУ «Гимназия № 94»
Московского района г. Казани
Тема: “Стереометрия. Аксиомы стереометрии
Образовательные: повторить геометрические фигуры на плоскости, ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии, изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве, применять их при решении задач.
Развивающие: развивать память, аргументированную речь, любознательность, познавательный интерес. Творческую самостоятельность мышления, умственные операции, вычислительные навыки, коммуникативные навыки общения. Развитие пространственного воображения, умения анализировать, обобщать, классифицировать.
Воспитательные: воспитывать аккуратность, дисциплину, настойчивость в достижении цели. Ответственное отношение к учёбе, самостоятельность, аккуратность, трудолюбие, чувство взаимопомощи, культуры общения. Воспитывать у учащихся навыки учебного труда. Воспитывать культуру устной и письменной математической речи. Прививать интерес к истории математики. Показать, что источник возникновения изучаемой темы – реальный мир, что она возникла из практических потребностей.
Тип урока: урок получения новых знаний.
Вид урока: комбинированный урок.
Формы работы: фронтальная, индивидуальная.
Оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска, презентация «Стереометрия. Аксиомы стереометрии. », модели фигур, раздаточный материал.
Организационный момент. Рефлексия (1-2 слайды).
Содержание курса стереометрии ( 3-10 слайды).
III. Аксиомы стереометрии (11-15 слайды).
Закрепление нового материала (16-18 слайды).
Домашнее задание (19-20 слайд).
Итог урока. Рефлексия (21 слайды).
• Приветствие.
• Проверка готовности обучающихся к уроку.
• Рефлексия в начале урока «Красота геометрии. Город в небесах». Настрой на работу (слайд № 2).
Содержание курса стереометрии.
Школьный курс геометрии.
Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В геометрии мы изучаем свойства фигур. Планиметрия рассматривает свойства фигур на плоскости. Стереометрия – в пространстве. (слайд № 3).
Стереометрия – греческое слово. «Стереос» – тело, «метрео» – измерять.
«Историческая справка» (слайд № 4).
Стереометрия, как и планиметрия, возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека.
Одной из самых первых и самых известных школ была пифагорейская (VI-V вв. до н. ), названная так в честь своего основателя Пифагора. Для своих философских теорий пифагорейцы использовали правильные многогранники, формы которых придавали элементам первооснов бытия, а именно: огонь – тетраэдр, земля – гексаэдр (куб); воздух – октаэдр; вода – икосаэдр; вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додекаэдра.
Более поздняя философская школа – Александрийская – интересна тем, что дала миру знаменитого ученого Евклида, который жил около 300 г. до н. В его тринадцати книгах «Начала» впервые было представлено аксиоматическое построение геометрии. На протяжении около двух тысячелетий этот труд остается основой изучения систематического курса геометрии.
Актуализация опорных знаний.
Задание № 1. Давайте вспомним с какими фигурами мы встречались в планиметрии?
Учащиеся устно отвечают на вопросы. Проговариваем (кратко) определения и свойства фигур (слайд № 5).
Точка, прямая, луч, отрезок, квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм, треугольник, трапеция, круг, окружность.
Фигуры стереометрии.
В пространстве основными фигурами являются: точка, прямая, плоскость. Точки обозначаются прописными латинскими буквами (A, B, C, D, E, F, G, H,. ) Прямые – строчными латинскими буквами (a, b, c, d, e, f, g, h,. ) Плоскости – строчными греческими буквами (слайды № 6,7).
Геометрическое тело.
Геометрическое тело – это предмет от которого отняты все его свойства, кроме пространственных. Геометрические тела являются воображаемыми объектами. Чтобы получить представление о свойствах реальных предметов, мы изучаем свойства геометрических пространственных фигур (слайд № 8).
Изображение пространственных фигур.
Задание № 2. Что изображено на рисунке? (слайд № 9).
/Изображен шар (Учащиеся предполагают, что это окружность). Если его изобразить так, то можно подумать, что это круг. Теперь точно похож на шар
Трудно изобразить объемную фигуру на плоскости. Для этого есть определенные правила (невидимые «линии» строятся пунктиром) (слайд № 10).
III. Аксиомы стереометрии.
Точки, прямые, плоскость – взаимное расположение.
Вспомним условные обозначения «принадлежит», «не принадлежит», «пересечение».
Как записать? Точка А принадлежит плоскости альфа. Точка В не принадлежит плоскости альфа. Прямая АВ пересекается с плоскостью альфа в точке А (слайд № 11).
Задание № 3. Какие точки принадлежат плоскости альфа, а какие не принадлежат?
Какие прямые принадлежат плоскости альфа, а какие не принадлежат?
Учащиеся отвечают на вопросы устно (слайд № 12).
Рассмотрим три аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна.
(Слайд № 13).
Задание № 4. Выберите верные утверждения:
Через четыре точки можно провести плоскость.
Через три точки всегда проходит плоскость и притом только одна.
Через две точки всегда можно провести единственную плоскость.
Учащиеся отвечают на вопрос устно. Поясняя свой ответ. Рассуждая.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.
(Слайд № 14).
Задание № 5. Выберите верные утверждения:
Если отрезок лежит в плоскости, то и все точки прямой, на которой лежит отрезок, лежат в этой плоскости.
Если сторона параллелограмма лежит на прямой, лежащей в некоторой плоскости, то и все точки параллелограмма лежат в этой плоскости.
Если три точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
(Слайд № 15).
Задание № 6. Выберите верные утверждения:
Две плоскости имеют только две точки пересечения.
Две пересекающиеся плоскости имеют бесконечное число точек пересечения.
Закрепление нового материала.
Задание № 7. Упражнение № 2 (Учебник стр. 7) (слайд № 16).
Задание № 8. Вставьте пропущенные слова (слайд № 17).
Задание учащимися выполняется самостоятельно на подготовленных листочках. Затем (взаимопроверка) проверяется соседом по парте.
Затем правильные ответы сверяются с доской (слайд № 18).
Домашнее задание.
Учебник: стр. 3, п. 1, п. 2; стр. 25 вопросы 1-3; № 4, № 1, 3,4.
Творческое задание «Геометрическое чудо». Придумать рисунок, в котором использованы пространственные геометрические тела. (Оформите их листах формата А4) (слайд № 19,20).
Итоги урока. Рефлексия (слайд № 21).
Геометрия 10кл PPTX / 4. 52 Мб
В пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой
плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии.
Некоторые следствия из аксиом.
Теорема1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит
Дано: а – прямая, т М ¢ а.
Доказать: 1) существует α: а Є α.
2) α – единственная.
1) Дополнительные построения: т. В Є а, т. С Є а.
2) В, С, М не лежат на одной прямой,
следовательно, по первой аксиоме существует плоскость α.
3) т. В Є а
В Є а (по А2) а Є α. и т. М Є α.
С Є α.
4) Единственность α. следует из того, что любая плоскость, проходящая
через прямую а и т. М, проходит через М, В, С. Значит, она совпадает с α
(по А1).
Теорема2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и,
причём только одна.
Дано: а ∩ b в т
Доказать: Существует ! α. : а Є α.
b Є α.
1) Дополнительные построения: N Є b, N ¢ a.
2) Существует α : N Є α.
a Є α.
3) т. к М Є α.
N Є α. (по А2) b Є α.
4) Из 2) и 3) следует α. проходит через прямые а и b.
5) Единственность α следует из того, что любая плоскость, проходящая
через прямые а и b, проходит через т. N, значит она совпадает с α (по
Итог урока (5 мин).
Оценить работу класса на уроке и назвать учащихся, отличившихся на
1 – 3, № 1, № 2, № 3, № 8, № 10.
Предмет «Математика».
По перспективно – тематическому плану урок № __
В теме урок №1
По плану тема № __ «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве».
Тема урока: «Введение в стереометрию».
Тип урока: урок по передаче и усвоению новых знаний
Вид урока: деловая игра.
обучающая: кратко ознакомить с историей развития геометрии как науки; познакомить с именами выдающихся ученых;
сформировать представление о геометрии как продукта творческой деятельности человеческого гения в течение тысяч лет, а не хитрая выдумка «мудреца»; развеять ореол о математике как о «сухой» науке;
сформировать знания об аксиомах стереометрии; умение соотносить математическую формулировку аксиомы, следствия из аксиом с графическим изображением;
развивающая: развивать вкус к самостоятельной, активной, творческой деятельности;
познавательный интерес; коммутативные качества; пространственное
воспитательная: воспитывать усидчивость, внимательность, наблюдательность,
Метод обучения: наглядный, репродуктивный, словесный.
Технические средства обучения: мультимедийный проектор.
Литература: Л. Атанасян «Геометрия», учебник для 10 – 11 классов средней школы.
Методическая характеристика урока
Урок по теме: «Введение в стереометрию» проводится в виде деловой игры «Времена». Несколько учащихся (по желанию) подготовили сообщения к вопросам, которые были заранее сообщены учащимся. Учащимися, подготовившими сообщения, разработаны презентации (с помощью преподавателя) в виде электронных иллюстративных приложений в среде Power Point. Остальные учащиеся являются гостями передачи «Времена». Подготовленные презентации (Презентация1. ppt) учащиеся демонстрируют на экране с помощью мультимедийного проектора.
Преподаватель свой рассказ сопровождает демонстрацией рисунков выполненных в Power Point (Презентация2. ppt), при этом выполняет построение рисунков сам, сопровождая построение необходимыми комментариями. Преподаватель знакомит учащихся с доказательством Т1
Ход урока.
Вступительная часть. (до 3 мин
Оргмомент. Краткая вводная беседа с изложением целей урока, этапов урока.
Основная часть. ( до 40 мин
- Выступление главного редактор ж. «Математика в школе» – Ф.И.О. учащегося.
- Выступление академика – Ф.И.О. учащегося.
- Выступление авторов учебника «Геометрия 10 – 11кл.» – Ф.И.О. 2-х учащихся.
Подведение итога урока, задание на дом. (до 2 мин
Конспект урока.
Преподаватель: «Позвольте представить мне вам наших гостей:
- главного редактора ж. «Математика в школе» – Ф.И.О. учащегося;
- академика – Ф.И.О. учащегося;
- 2-х авторов учебника «Геометрия 10 – 11кл.» – Ф.И.О. 2-х учащихся;
Когда речь идет о чем – нибудь очень простом, понятном, мы часто говорим: «Дело ясно, как дважды два – четыре!».
А ведь прежде чем додуматься до того, что дважды два – четыре, людям пришлось учиться много, много тысяч лет. (Презентация1)
<Слайд 1> И для удовлетворения непрерывно возрастающих потребностей человеческого общества, возникла и развивалась геометрия.
<Слайд 2>В свое время Галилео Галилей так отзывался о геометрии: «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».
Первое слово я хочу предоставить главному редактору ж. «Математика в школе» – Ф. учащегося:
«В процессе длительного исторического развития человеческого общества создается геометрия – наука о форме, размерах и взаимном расположении фигур.
Слово «геометрия» греческого происхождения, оно означает «земледелие».
<Слайд 4>Свыше 4000лет назад геометрические знания в виде практических навыков по измерению площадей и объемов некоторых тел зародились в древнем Египте.
<Слайд 5>Древние египтяне были замечательными инженерами. Об этом свидетельствуют всем известные египетские пирамиды. Но геометрии как науки у них не было. В V в. до н. Гиппократ Хиосский сделал попытку изложить все знания по геометрии в одном сочинении. Его сочинение до нас не дошло. К 300-м годам до н. геометрия становится самостоятельной наукой.
<Слайд 6>Большую лепту в развитие геометрии внесли вавилонские ученые. Около 6000 лет назад они изобрели колесо. Значимость колеса в жизни человека всем известна.
<Слайд 7,8> Вавилонские горшечники стали делать посуду на гончарном круге; научились измерять длину окружности. Они были замечательными астрономами».
<Слайд 9> Вавилонские астрономы – жрецы наблюдают затмение. Вавилоняне не только знали планеты – Венеру, Меркурий, Юпитер, Марс, Сатурн, но даже пытались вычислять, предугадывать наперед пути их движения на небе.
Академик – Ф. учащегося:
<Слайд 10,11> «Я хочу отметить, что настоящей наукой геометрия стала только у древних греков. Греки не только заметили свойства «египетского «треугольника, но и сделали интересное открытие.
<Слайд 12,13>Две с половиной тысячи лет назад греческий математик Пифагор доказал, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
<Слайд 14>) Греческий математик Фалес научил египтян определять высоту пирамиды по длине ее тени. Полагают, что Фалесу принадлежит первое доказательство теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов и некоторые другие теоремы начальной геометрии. Древние греки приписывали Фалесу первое в истории науки предсказание солнечного затмения, которое произошло якобы точно в срок, предсказанный Фалесом (28 мая 585г. до н
<(Слайд 15>Греки первыми научились издали определять расстояние до корабля в море. Много практических задач решил греческий ученый и изобретатель Архимед.
<Слайд 16>) Он определил, что объем вписанного шара равен объема цилиндра, и велел, чтобы после его смерти на могильном камне вырезали чертеж этой задачи: шар в цилиндре. Потом, 200лет спустя, по этому чертежу нашли могилу Архимеда.
<Слайд 17> Одним из изобретений Архимеда часто пользуется каждая хозяйка: винтом, который он изобрел две с лишним тысяч лет».
Автор учебника «Геометрия 10 – 11кл. » – Ф. учащегося : <Слайд 18>«Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрия и стереометрия. «Планиметрия» – греческое слово; оно произошло от двух слов: «план» – место и «метрос» – мера.
<Слайд 19> В планиметрии мы рассматриваем свойства плоских фигур.
В стереометрии рассматриваются свойства фигур, расположенных в пространстве.
<Слайд 20> «Стереометрия» – слово греческое; и произошло от двух слов: «стерео» – тело, и «метрос» – мера. Немецкий историк математики И. Тропфке считает, что «стереом» встречается впервые в IVв. до н. Возникла стереометрия позже, чем планиметрия. И стереометрия, и планиметрия развивались из наблюдений природы и решения вопросов, которые возникали в процессе практической деятельности человека.
<Слайд 21> Ученый древней Греции Евклид (III в. до н. ) собрал, обработал и привел в стройную систему дошедший до него материал по стереометрии. К 300-м годам до н. геометрия становится самостоятельной математической наукой. К этому времени ученый Евклид написал книгу, названную им «Начала», написание которой относится к 325-300-м годам до н. В «Началах» Евклид развил аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формируются основные положения (аксиомы). Из них путем последовательных рассуждений сумел вывести все теоремы геометрии. «Начала» Евклида более полутора тысяч лет переписывались от руки в Греции, Италии и других странах. С возникновением книгопечатания «Начала» сотни раз перепечатывались на всех языках мира.
<Слайд 22>В развитии геометрии важную роль сыграла аксиома, которая в «Началах» Евклида называлась пятым постулатам: «Две прямые, которые при пересечении с третьей образуют с ней по одну сторону внутренние углы, в сумме меньше двух прямых, при продолжении в туже сторону пересекаются».
Эта аксиома параллельности – с самого начала показалась не совсем очевидной. Попытки доказать пятый постулат длились около 2000лет.
<Слайд 23> 174 года назад великий русский ученый Николай Иванович Лобачевский пришел к выводу, что аксиома параллельности Евклида не может быть доказана. В 1826г. на заседании физико-математического отделения Казанского университета Лобачевский сделал доклад о своем открытии, заменив пятый постулат новым предложением: через точку вне данной прямой и в одной с ней плоскости можно провести более чем, одну прямую, не пересекающую данную прямую». Он показал, что это предложение ведет не к противоречию, а своеобразной геометрической системе, отличной от геометрии Евклида. Лобачевского высмеивали , но это не заставило великого ученого отказаться от своих идей. Через 12 лет после его смерти была найдена поверхность, на которой справедлива новая геометрия.
<Слайд 24> Геометрия Евклида – геометрия земных пространств и расстояний. Геометрия Лобачевского – геометрия гигантских межпланетных и исчезающих малых атомных пространств, она включает геометрию Евклида как составную часть, как частный случай.
автор учебника «Геометрия 10 – 11кл. » – Ф. учащегося : «Мне хочется дополнить выступление участников передачи и обратить ваше внимание на свойство предметов, окружающих нас. Все предметы в окружающем нас мире имеют три измерения, хотя далеко не у всех можно указать длину, ширину, высоту.
<Слайд 25> Геометрическое тело, полностью описываемое тремя измерениями – длиной, шириной, высотой называется – параллелепипедом. Множество предметов имеют форму параллелепипеда. Параллелепипед можно считать символом нашего пространства
А теперь представим, что высота исчезла. Весь мир стал плоским как лист бумаги, остались только два измерения – длина и ширина. Математики говорят, что плоскость является двумерным пространством.
<Слайд 26>Какие геометрические фигуры могут «жить» в этом мире? Конечно это круг, прямоугольник, отрезок, треугольник, многоугольник и т.
<Слайд 27> «Уберем» теперь и ширину. Останется одномерное пространство с одним измерением – длиной. Этот мир лежит полностью на прямой, жители его – отрезки, лучи, точки. В удивительном мире геометрии существует и фигура, которая не имеет измерений – длины, ширины, высоты. Вы догадались, что это? Конечно, это точка. Пространство в котором располагается только точка называется нулевым.
<Слайд 28>Подводя итог нашей беседы, мне хочется сказать: «Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период.
<Слайд 29> Все вокруг – геометрия».
Преподаватель: «А теперь начнем знакомиться с разделом геометрии «Стереометрия». Как уже говорилось сегодня, что Евклид развил аксиоматический подход к построению геометрии, поэтому изучение стереометрии мы начнем со знакомства с аксиомами стереометрии.
Итак, запишем в тетради заголовок:
«Основные понятия, аксиомы, следствия из аксиом стереометрии».
Рассказ преподавателя (Презентация 2):
Простейшие фигуры стереометрии.
А1 Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
А2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Т1 Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Т2 Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Преподаватель подтверждает достижение целей урока; сообщает о выполнении намеченного плана работы.
На дом: Выучить формулировку аксиом и следствий из них.
1
Аксиомы стереометрии Урок-лекция в 10-м классе Учебник геометрии для классов Автор Л. Атанасян Урок подготовила Грошева Н.
2
ПЛАНИМЕТРИЯ 7-9 классы ГЕОМЕТРИЯ на плоскости СТЕРЕОМЕТРИЯ классы ГЕОМЕТРИЯ в пространстве «планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. metreo – измерять и лат. planum – плоская поверхность (плоскость) Это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости «стереометрия» – от греч. stereos – пространственный Это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве Школьный курс ГЕОМЕТРИИ
3
При изучении стереометрии мы будем пользоваться чертежами. « Правильно составленный чертеж – половина решенной задачи!» «Мой карандаш, бывает еще остроумней моей головы», признавался великий математик Леонард Эйлер ( ).
4
Учебный материал 10 класса по геометрии ЧТО БУДЕМ ИЗУЧАТЬ В 10-м КЛАССЕ Аксиомы стереометрии Параллельность прямых и плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей Многогранники Векторы в пространстве
6
Аксиомы стереометрии Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории. Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах
7
Аксиомы стереометрии А-1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна (способ задания плоскости) D B С = (DBС)
8
Аксиомы стереометрии А-2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости (если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в плоскости) С М m М, C,m М m, C m, Если то
9
Аксиомы стереометрии А-3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой) М m М, М, М m m, m = m
10
Решите задачу Точки А и В лежат и в плоскости и в плоскости. Докажите, что и пересекаются по прямой АВ.
11
Доказательство: Т. и имеют общую точку А, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей, а следовательно и точка В. Следовательно плоскости пересекаются по прямой АВ.
Цикл уроков по теме: «Аксиомы стереометрии и их следствия».
Урок 1. Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии.
- ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии;
- изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве;
- учить применять аксиомы стереометрии при решении задач.
Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.
Изучение нового материала.
Учитель: Уже три года, начиная с 7 класса, мы с вами изучаем школьный курс геометрии.
Слайд 2. Вопросы учащимся:
– Что такое геометрия? (Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур)
– Что такое планиметрия? ( Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости)
– Какие основные понятия планиметрии вы знаете? (точка, прямая)
Учитель: Сегодня мы приступаем к изучению нового раздела геометрии – стереометрии.
Слайд 3. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. (Учащиеся делают запись в тетрадь)
Слайд 4. Основные понятия пространства: точка, прямая, плоскость.
Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола, стены, пола, потолка и т. Плоскость, как геометрическую фигуру, нужно представлять простирающейся во все стороны, бесконечной. Обозначаются плоскости греческими буквами α, β, γ и т.
Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.
Назовите прямые: лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.
Слайд 5. Об основных понятиях (точка, прямая, плоскость) мы имеем наглядное представление и определения им не даются. Их свойства выражены в аксиомах.
Наряду с точкой, прямой, плоскостью в стереометрии рассматривают геометрические тела (куб, параллелепипед, цилиндр, тетраэдр, конус и др. ), изучают их свойства, вычисляют их площади и объемы. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы.
Слайд 6. Вопросы учащимся:
– Какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках.
– Назовите предметы из окружающей вас обстановки (нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.
Слайд 7. Практическая работа ( в тетрадях)
Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром).
Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА1В1С1Д1
Выделите цветным карандашом:
Обратить внимание учащихся на видимые и невидимые линии на рисунке; изображение квадрата АА1В1В в пространстве.
Слайд 8. Вопросы к учащимся:
– Что такое аксиома? Какие аксиомы планиметрии вы знаете?
В пространстве основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.
Слайд 9. Учащиеся делают записи и рисунки в тетрадях.
Аксиома 1. (А1) Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
Слайд 10. Отметить, что если взять не 3, а 4 произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть 4 точки могут не лежать в одной плоскости.
Слайд 11. Аксиома 2. (А2) Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Слайд 12. Вопрос учащимся:
– Сколько общих точек имеют прямая и плоскость? (рис. 1 – бесконечно много; рис. 2 – одну)
Слайд 13. Аксиома 3. (А3) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.
Закрепление изученного материала.
Слайд 14. Решение задач из учебника № 1(а,б), 2(а).
Учащиеся читают условие задач и по рисунку на слайде дают ответ с объяснением.
а) Р, Е (АДВ) РЕ (АДВ) по А2
Аналогично МК (ВДС)
В,Д (АДВ) и (ВДС) ВД (АДВ) и (ДВС)
Аналогично АВ (АДВ) и (АВС)
С, Е (АВС) и (ДЕС) СЕ (АВС) и (ДЕС)
б) С (ДК) и (АВС) ДК ∩ (АВС) = С. точек пересечения прямой и плоскости не более одной ( прямая не лежит в плоскости), то это единственная точка.
Аналогично СЕ ∩ (АДВ) = Е.
В плоскости ДСС1: Д, С, С1, Д1, К, М, R. В плоскости ВQС: В1, В, Р, Q, С1, М, С.
Слайд 15. Подведение итогов урока. Вопросы учащимся:
- Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать в 10-11 классах?
- Что такое стереометрия?
- Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии, которые вы изучили сегодня на уроке.
Слайд 16. Домашнее задание.
Урок 2. Некоторые следствия из аксиом.
– повторить аксиомы стереометрии и применение их при решении задач домашнего задания;
– ознакомить учащихся со следствиями из аксиом;
– научить применять следствия из аксиом при решении задач, а также закрепить умение применять аксиомы стереометрии при решении задач;
– повторить формулы вычисления площади ромба.
Слайд 1. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.
Слайд 2. Проверка домашнего задания.
Перед уроком у нескольких учащихся взять на проверку тетради с домашней работой.
1)Сформулируйте аксиомы стереометрии и оформите рисунки на доске.
2) №1 (в,г); 2(б,д).
Учащиеся устно с места по рисунку на слайде отвечают на вопросы домашнего задания.
Слайд 3. Изучение нового материала. Рассмотрим и докажем следствия из аксиом.
Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.
Учащиеся записывают формулировку в тетради и, отвечая на вопросы учителя, делают соответствующие записи и рисунки в тетрадь.
– Что дано в теореме? (прямая и не лежащая на ней точка)
– Что надо доказать? (проходит плоскость; одна)
– Что можно использовать для доказательства? (аксиомы стереометрии)
– Какая из аксиом позволяет построить плоскость? (А1, через три точки проходит плоскость и притом только одна)
– Что есть в данной теореме и чего не хватает для использования А1 (имеем – точку; необходимы – еще две точки)
– Где построим еще две точки? (на данной прямой)
– Какой вывод можем сделать? ( через три точки строим плоскость)
– Принадлежит ли данной плоскости прямая? ( да)
– На основании чего можно сделать такой вывод? ( на основании А2: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости)
– Сколько плоскостей можно провести через данные прямую и данную точку? (одну)
– Почему? (так как плоскость, проходящая через прямую и плоскость, проходит через данную точку и две точки на прямой, значит по А1 эта плоскость – единственная)
Слайд 4. Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.
Учащиеся доказывают теорему самостоятельно, затем прослушиваются несколько доказательств и делаются дополнения и уточнения (если они необходимы)
Слайд 5. Закрепление изученного материала.
Учащиеся работают в тетрадях, предлагают свои варианты решения, затем сравнивают свое решение с решением на экране. Разбираются два случая: 1) точки не лежат на одной прямой; 2) точки лежат на одной прямой.
Слайд 6,7. Задача на слайде. Учащиеся читают условие, делают рисунок и необходимые записи в тетрадях. Учитель проводит фронтальную работу с классом по вопросам задачи. В ходе решения задачи повторяем формулы вычисления площади ромба.
Дано: АВСД – ромб, АС∩ВД=О, М, (А,Д,О); АВ = 4см, А=60º.
Найти: (В,С); Д (МОВ); (МОВ)∩(АДО); SАВСД.
Обратить внимание на тот факт, что если две плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.
– Сформулируйте аксиомы стереометрии.
– Сформулируйте следствия из аксиом.
Цель урока достигнута. Аксиомы стереометрии повторили, познакомились со следствиями из аксиом и применили их при решении задач.
Выставление отметок (с комментариями)
Слайд 8. Постановка домашнего задания:
Урок 3. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.
– повторить аксиомы стереометрии и их следствия;
– сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;
– учащиеся знают аксиомы стереометрии и их следствия и умеют применять их при решении задач.
Актуализация знаний учащихся.
1) Проверка домашнего задания по вопросам учащихся.
2) Двое учащихся готовят у доски доказательство следствий из аксиом.
3) Двое учащихся (1 уровень) и двое учащихся (2 уровень) работают по карточкам индивидуального опроса. Слайд.
4) Фронтальная работа с учащимися.
Слайд 2. Дано: куб АВСДА1В1С1Д1
- Несколько точек, которые лежат в плоскости α; (А, В, С, Д)
- Несколько точек, которые не лежат в плоскости α; (А
- Несколько прямых, которые лежат в плоскости α; (АВ, ВС, СД, АД, АС, ВД)
- Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α; (А
- Несколько прямых которые пересекают прямую ВС; (ВВ
- Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС. (АД, АА
Слайд 3. Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:
Слайд 4. Лежат ли прямые АА1, АВ, АД в одной плоскости? (Прямые АА1, АВ, АД проходят через точку А, но не лежат в одной плоскости)
Решение задач.
Слайд 5. Учащиеся решают задачи № 7, 10, 14 из учебного пособия, делая соответствующие рисунки и записи на доске и в тетрадях.
2) Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?
Решение: По следствию 2:
2) Все прямые, проходящие через точку М, не обязательно лежат в одной плоскости. (см. пример со слайда 4)
Задача 10. Учащиеся решают задачу самостоятельно (аналогично задаче № 7). Учитель выборочно берет тетради на проверку и оказывает индивидуальную помощь в решении задачи учащимся, которые не справились с заданием.
Задача № 14. Решение: Все прямые а, b, с лежат в одной плоскости. В этом случае по следствию 2 можно провести плоскость, и через три прямые проходит одна плоскость.
Одна из трех прямых, например с, не лежит в плоскости α, определяемой прямыми а и b. В этом случае через заданные три прямые проходят три различные плоскости, определяемые парами прямых а и b, а и с, b и с.
Слайд 6. Учащиеся делают рисунок и необходимые построения и записи в тетрадях. При построении учащиеся проговаривают аксиомы, результат построения записывают с помощью символики.
Задача. Дано: куб АВСДА1В1С1Д1
М лежит на ребре ВВ1, т. N лежит на ребре СС1 и точка К лежит на ребре ДД1
а) Назовите плоскости, в которых лежат точки М; N.
б) найдите т. F-точку пересечения прямых МN и ВС. Каким свойством обладает точка F?
в) найдите точку пересечения прямой КN и плоскости АВС.
г) найдите линию пересечения плоскостей МNК и АВС.
Слайд 7. Для решения следующей задачи повторим формулу вычисления площади четырехугольника. Вывод формулы разбирают по слайду.
Учащиеся записывают формулу в тетрадь.
Слайд 8. Докажите, что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.
Вычислите площадь четырехугольника, если АС┴ВД, АС = 10см, ВД = 12см.
Ответ: 60 см2
– Какие аксиомы и теоремы мы применяли на уроке при решении задач? Сформулируйте.
– Какие задачи были самыми интересными, самыми сложными?
– Что полезного для вас лично было на уроке?
– Что вызвало затруднения? Учитель объявляет отметки за урок с комментарием.
Слайд 9. Постановка домашнего задания:
Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.
– провести контроль знаний аксиом стереометрии и их следствий;
– закрепить сформированный навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач;
– повторить: теорему Пифагора и ее применение; формулы вычисления площадей равностороннего треугольника, прямоугольника.
Остальные учащиеся отвечают на вопросы математического диктанта по слайду.
Слайд 3. Решение задач (фронтальная работа с классом)
Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см.
- Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и МFС; б) МСF и АВС.
- Найдите длину СF и SАВС
- Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?
Вопросы к учащимся ( при необходимости):
– Какие точки одновременно принадлежат обеим плоскостям. На основании какой аксиомы можно сделать вывод?
– Сформулируйте свойство медианы равнобедренного треугольника.
– Сформулируйте теорему Пифагора.
– Почему можно применить теорему Пифагора в данном случае?
– Какими способами можно вычислить площадь равностороннего треугольника?
– Всегда ли можно построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?
Слайд 4. Задача №2.
- Как построить точку пересечения плоскости АВС с прямой Д
- Как построить линию пересечения плоскости АДР и АВВ
- Вычислите длину отрезков АР и АД, если АВ = а
- Р и ДВ лежат в одной плоскости ДДВ. Пусть они пересекаются в точке К. Тогда точка к принадлежит прямой ДВ, а значит, К
- Точка Р принадлежит ВВ, а значит, и плоскости АВВ. Точка А принадлежит АВ, а значит, и плоскости АВВ. Аналогично АРР. Значит, (АД
- а)Из ∆АВР, по теореме Пифагора АР =; б) Из ∆АДДпо теореме Пифагора АД
Слайд 5. Задача №3.
Дано: Точки А, В, С не лежат на одной прямой.
Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС.
С помощью анимации на слайде учащиеся делают соответствующие построения и необходимые выводы. Делают записи в тетрадях с помощью математических символов, проговаривая соответствующие аксиомы и следствия из аксиом.
Вопросы учащимся ( по необходимости):
– Зная, что точки А, В, С не лежат на одной прямой, какой вывод можно сделать?
– Если точки А и В лежат в плоскости, какой вывод о прямой АВ можно сделать?
– Какой вывод можно сделать о точке М?
– Если точки А и С лежат в плоскости, какой вывод о прямой АС можно сделать?
– Какой вывод можно сделать о точке К?
– Зная, что точки М и К лежат в плоскости, какой вывод можно сделать о прямой МК?
– Какой вывод можно сделать о точке Р?
Решение ( другой способ доказательства):
АВ∩АС=А. По второму следствию, прямые АВ и АС определяют плоскость α. Точка М принадлежит АВ, а значит, принадлежит плоскости α, и точка К принадлежит АС, а значит, и плоскости α. По аксиоме А2: МК лежит в плоскости α. Точка Р принадлежит МК, а значит, и плоскости α.
Слайд 6. Задача № 4.
Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые а и с? Почему?
Вопросы учащимся (при необходимости):
– Зная, что прямая а пересекает плоскость β, какой вывод можно сделать? (Прямая и плоскость имеют общую точку, например, точку В)
– Каким свойством обладает точка В? ( Точка В принадлежит и прямой а, и плоскости α, и плоскости β)
– Если точка принадлежит двум плоскостям одновременно, то что мы можем сказать о взаимном положении плоскостей? (плоскости пересекаются по прямой, например с)
– Каково взаимное расположение точки В и прямой с? ( точка В принадлежит прямой с)
– Зная, что точка В принадлежит и прямой а, и прямой с, какой вывод можно сделать об этих прямых? ( прямые пересекаются в точке В)
Слайд 7. Задача №5.
Дан прямоугольник АВСД, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В, О лежат в плоскости α. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости α. Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 см, АОВ = 60º.
Задача предназначена для самостоятельного решения с обсуждением решения и оказанием индивидуальной помощи учащимся. Полезно обсудить различные способы нахождения площади прямоугольника:
- Найти стороны прямоугольника.
- Использовать тот известный факт, что диагонали параллелограмма ( прямоугольника) разбивают его на четыре равновеликих треугольника, и найти сначала площадь одного из треугольников.
Предложить учащимся решить задачу разными способами. Ответ: 16см2.
Подведение итогов урока:
Выставление отметок за урок ( с комментированием каждой отметки)
Урок 5. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий. Самостоятельная работа (20 мин
– закрепить усвоение вопросов теории в процессе решения задач;
– проверить уровень подготовленности учащихся путем проведения самостоятельной работы контролирующего характера.
Прямые а и b пересекаются в точке О, А а, В b, Р АВ. Докажите, что прямые а и b и точка Р лежат в одной плоскости.
Слайд 3. Задача 2.
На данном рисунке плоскость α содержит точки А, В, С, Д, но не содержит точку М. Постройте точку К – точку пересечения прямой АВ и плоскости МСД. Лежит ли точка К в плоскости α.
Слайды 4, 5, 6 3. Устное решение задач на повторение теории (по слайдам)
Слайды 7,8 4. Самостоятельная работа (разноуровневая, контролирующего характера) Учащиеся выбирают свой уровень сложности.
Подведение итогов.
1) Собрать тетради с самостоятельной работой.
2) Объявление отметок с комментированием.
Слайд 9. Домашнее задание.
(точка, прямая) (точка, прямая, плоскость)
Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их
поверхности. Примером геометрического тела может быть куб, шар
(продемонстрировать на макете). (Показать макет пирамиды, конуса,
цилиндра, призмы, прямоугольного параллелепипеда, попросив назвать
учеников название демонстрируемых геометрических тел).
Назовите пожалуйста предметы напоминающие вам геометрические тела.
Ответ: шляпа (цилиндр), телефон (прямоугольный параллелепипед), мяч
(шар), банка консервная (цилиндр), шляпа мага (конус), кирпич
(прямоугольный параллелепипед).
В отличии от реальных предметов геометрические тела являются
воображаемыми объектами. Открываем учебники на странице 3, находим
предложение: «мы представляем геометрическое тело как часть
пространства, отделенную от остальной части пространства поверхностью –
границей этого тела». Подчеркните это предложение. Кто может ответить,
что является границей шара?
Ответ: граница шара есть сфера.
Запишите вторую часть урока – аксиомы стереометрии.
расположения выражаются в аксиомах. Что такое аксиома?
Ответ: аксиома – основные положения геометрии, принимаемые в качестве
исходных без доказательств.
Мы рассмотрим 3 аксиомы, без знания которых невозможно дальнейшее
изучение курса геометрии.
Аксиома 1: «через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит
плоскость и притом только одна».
1
Стереометрия Введение (шесть уроков) по учебнику для классов средней школы Авторы Л. Атанасян, В. Бутузов и др.
2
Поурочное планирование 1. Предмет и аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Решение задач на построение. Решение задач на построение 5. Решение задач на построение. Практическая работа.
3
Предмет и аксиомы стереометрии. СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» – объёмный, пространственный и «метрео» – измерять. Первый дошедший до нас учебник – руководство по математике под названием «Начала», созданное древнегреческим ученым Евклидом в III в. до н. В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге.
4
Неопределяемые понятия и отношения Точка есть то, что не имеет частей. Прямая есть длина без ширины. Плоскость есть то, что имеет только длину и ширину. Точка Прямая Поверхность Принадлежность Между Конгруэнтность Формулировки Евклида: Современная концепция :
5
Простейшие геометрические тела. Геометрическое тело – это предмет, от которого отняты все его свойства, кроме пространственных.
6
Геометрические фигуры Геометрические тела, как и другие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Изучая свойства геометрических пространственных фигур мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов.
7
Условные изображения пространственных фигур. Условное изображение пространственной фигуры – это её проекция на плоскость. Обычно выбирают то изображение, которое создаёт правильное представление о форме фигуры.
8
Условные обозначения Точки – прописными латинскими буквами (A, B, C, D, E, F, G, H,. ) Прямые – строчными латинскими буквами (a, b, c, d, e, f, g, h,. ) Плоскости – строчными греческими буквами (
9
Греческий алфавит альфа бета гамма дельта эпсилон дзета каппа тэта ню кси омикрон пи ро сигма тау ипсилон фи хи пси омега – йота – каппа – мю – лямбда
10
Условные изображения и обозначения прямых, точек и плоскостей Точка А принадлежит плоскости Точка В не принадлежит плоскости Прямая с не лежит в плоскости Прямая k лежит в плоскости Прямая m пересекает плоскость в точке А Плоскости и пересекаются по прямой а
11
Что такое аксиома? АКСИОМА – это высказывание, истинность которого принимается без доказательства (аксиома – греческое слово, означающее «бесспорное положение»). Аксиомы были сформулированы Евклидом ( III в. До н. ) в его знаменитом сочинении «Начала».
12
Вспомним известные вам аксиом планиметрии: Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Если две фигуры совмещаются наложением, то говорят, что они равны.
13
А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна. ВОПРОСЫ: -всегда ли три точки лежат в одной плоскости? -всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости? -всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна? -сколько плоскостей можно провести через две точки?
14
А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. ВОПРОСЫ: верно ли утверждение: -если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? -если три точки окружности лежат в в этой плоскости? -если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника?
15
А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей ВОПРОСЫ: могут ли две плоскости иметь: -только одну общую точку? -только две общие точки? -только одну общую прямую? -могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?
16
Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 г) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DD 1 C 1, BB 1 C 1 и AA 1 B 1, AA 1 D 1 и A 1 B 1 C 1 ; а) назовите точки, которые лежат в плоскости DCC 1, ABC, ADD 1 ; б) назовите плоскости, которым принадлежат точки М, К, P 1, R, S, N; в) назовите плоскости, в которых расположены прямые KP, С 1 D 1, RP, MK ; ВОПРОСЫ:
17
Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 д) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и KPN, RPK и DСС 1, BDC 1 ; е) назовите точки пересечения прямых DS и CC 1, AD и PC, MR и AD, KP и AD, DC1 и RP1; ж) назовите общие точки плоскостей CDD 1 и BCC 1, ABC и АА1D1, BDC и ABB1. BDС1 и RSP; ВОПРОСЫ:
18
Проверим выполнение задания. а) R DCC 1, P DCC 1, S DCC 1, К ABC, K 1 ABC, P ABC, P 1 ABC, M ADD 1, R ADD 1, K ADD1, P1 ADD1; б) M ABB 1, M ADD 1, K 1 ABC, K ABB 1, P 1 ABC, P 1 DCC1, R ADD 1, R DCC 1, S DCC 1, N A 1 B 1 C 1, N BCC 1 ; в) KP ABC, C 1 D 1 CDD 1, C 1 D 1 A 1 B 1 C 1, RP CDD 1, MK AA 1 B 1 ; г) ABC DD 1 C 1 =DC, BB 1 C 1 AA 1 B 1 =BB 1, AA 1 D 1 A 1 B 1 C 1 =A 1 D 1 ; д) ABC KPN = KP, RPK DCC 1 = RP, BDC 1 RSP = DC 1 ; е) DS CC 1 =C 1, AD PC=D, MR AD=P 1, KP AD=K 1, DC 1 RP 1 = ; ж) C,C 1 (CDD 1 BCC 1 ), A 1,D 1,K 1, P 1 (ABC AA 1 D 1 ), A,K,B (BDC ABB 1 ). ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: устно п. 1-2, письменно 1 (перечертить чертеж и ответ записать с помощью символики), 11.
